1、2014年吉林省延边州高考复习质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 , 集合 , 则 A B C D 答案： D 试题分析：根据集合运算的性质可知， 恒成立 . 考点：集合的运算性质 . 若关于 x的方程 有五个互不相等的实根，则 k的取值范围是 A B C D 答案： D 试题分析：由方程 得 kx+1，设函数 f(x) ， g(x) kx+1，然后分别作出函数 f（ x）和 g（ x）的图象，利用图象确定 k的取值范围 . 考点： (1)函数的图像与性质；（ 2）数形结合思想 . 已知函数 是定义在 上的偶函数， 为奇函数， ，当时， log2x，则在 内满足方程 的实数
2、 为 A B C D 答案： C 试题分析：由 f（ x+1）为奇函数，可得 f（ x） =-f（ 2-x）由 f（ x）为偶函数可得 f（ x） =f（ x+4），故 f（ x）是以 4为周期的函数当 8 x9时，求得 f（ x） =f（ x-8） =log2（ x-8） 由 log2（ x-8） +1=0，得 x的值当 9 x 10 时，求得 x无解，从而得出结论 考点：函数性质的综合应用 . 如图，边长为 2的正方形 ABCD中，点 E， F分别是边 AB， BC的中点 AED， EBF， FCD分别沿 DE， EF， FD折起，使 A， B， C三点重合于点 A,若四面体 AEFD的四
3、个顶点在同一个球面上，则该球的半径为 A B C D 答案： B 试题分析：因为 DA Rt AEF，所以四面体 AEFD的外接球，与以 A、 E、 F、D所确定的长方体的外接球是同一外接球，所以其外接球半径 r=. 考点：三棱锥的外接球问题 . 在 的展开中， 的幂指数是整数的项共有 A 6项 B 5项 C 4项 D 3项 答案： B 试题分析 ：利用二项展开式的通项公式求出第 r+1项，令 x的指数为整数求出 r，得到指数是整数的项数 考点：二项式定理 . 设函数 ，则下列结论正确的是 A 的图像关于直线 对称 B 的图像关于点 对称 C把 的图像向左平移 个单位，得到一个偶函数的图像 D
4、 的最小正周期为 ，且在 上为增函数 答案： C 试题分析：把 代入 ，得 ，所以 A错误；把代入 ，等式不成立，所以 B错误；把 的图像向左平移 个单位，得到 ，是一个偶函数， C正确；因为所以 D错误 . 考点：三角函数的图像与性质 . 已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合 ,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为 A B C D 答案： C 试题分析：由题可知双曲线的一个焦点坐标是（ 0,5），可设双曲线方程为，利用 表示坐标，建立方程，解方程即可 . 考点：（ 1）共渐近线的双曲线方程；（ 2）抛物线的几何性质 . 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是（ 0，
5、0，0），（ 1， 2， 0），（ 0， 2， 2），（ 3， 0， 1），则该四面体中以 平面为投影面的正视图的面积为 A B C D 答案： A 试题分析：根据平行投影的知识可知 :该四面体中以 平面为投影面的正视图为一个上底为 1，下底为 2，高为 2的直角梯形，所以面积为 3. 考点：（ 1）空间直角坐标系；（ 2）平行投影三视图 . 读右侧程序框图，该程序运行后输出的 A值为 A B C D 答案： C 试题分析：程序框图描述的是求一个首项是 ，递推公式为 的数列的第五项，根据数列知识即可解决 . 考点： (1) 程序框图；（ 2）数列的递推公式 . 表示不同直线， M表示平面，给出
6、四个命题： 若 M， M，则 或 相交或 异面； 若 M， ，则 M； ， ，则 ； M， M，则 。其中正确命题为 A B C D 答案： D 试题分析：命题 显然正确；命题 还可能 ，错误；命题 ，在空间中不成立，可能则 或 相交或 异面；命题 正确 . 考点：空间中线面的位置关系 . “ ”是 “ ”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由 显然可得 ，而当 时，对应的角有无数多个，比如 ，所以答案：是 B. 考点：（ 1）充要条件；（ 2）三角函数 . 设 z=1i（ i是虚数单位），则复数 i2的虚部是 A 1 B -1 C
7、 i D -i 答案： A 试题分析：根据复数的四则运算可得： i2= i, 虚部是 1. 考点：复数的概念与四则运算 . 填空题 给出下列命题： 已知线性回归方程 ，当变量 增加 2个单位，其预报值平均增加 4个单位； 在进制计算中， ； 若 ，且 ，则 ； “ ”是 “函数 的最小正周期为 4”的充要条件； 设函数 的最大值为 M，最小值为 m，则 M m=4027，其中正确命题的个数是 个。 答案： 试题分析： 由线性回归方程的意义可得结论正确； ，正确 由正态分布函数的性质可知正确； 由定积分的知识得： a= ，所以根据周期公式知 T=4，正确； 根据函数 f（ x）在 单调递增和是一
8、个奇函数，然后进行整体运算 . 考点：（ 1）线性回归方程；（ 2）正态分布函数；（ 3）定积分；（ 4）函数的性质 . 已知直角 ABC中 ,AB=2， AC=1， D为斜边 BC的中点，则向量 在上的投影为 。 答案： 试题分析： 在 上的投影为 . 考点：向量的射影问题 . 设变量 x,y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 。 答案： -9 试题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=2x-y表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直线在 y轴上的截距最值即可 考点：线性规划问题 . 解答题 已知数列 的前 项和为 ， . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设
9、 log2an 1 ，求数列 的前 项和 。 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）分别讨论当 时， 和当当 时， 时的情况即可； （ 2）根据通项公式的形式，采用错位相减法即可 . 试题： ( ) 当 时， ， 1分 当 时， 3分 即： ， 数列 为以 2为公比的等比数列 5分 6分 （ 2） 7分 9分 两式相减，得 2分 考点： (1)数列的递推公式；（ 2）数列求和 . 如图 1，在 ABC中， BC=3， AC=6， C=90，且 DE BC，将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使 A1D CD，如图 2。 （ 1）求证： BC 平面 A1DC； （ 2）若 CD=2，
10、求 BE与平面 A1BC所成角的正弦值。 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）可以利用线线 BC ， 垂直，来证明线面 BC 平面 A1DC垂直； （ 2）可以以 D为原点，分别以 为 x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的线面角公式 即可 . 试题：（ ） DE ， DE/BC， BC 2分 又 ， AD 4分 （ 2）以 D为原点，分别以 为 x,y,z轴的正方向， 建立空间直角坐标系 D-xyz 5分 说明：建系方法不唯一 ，不管左手系、右手系只要合理即可 在直角梯形 CDEB中，过 E作 EF BC， EF=2， BF=1， BC=3 6分 B（ 3，
11、 0， -2） E（ 2， 0， 0） C（ 0， 0， -2） A1（ 0， 4， 0） 8分 9分 设平面 A1BC的法向量为 令 y=1, 10分 设 BE与平面 A1BC所成角为 ， 12分 考点： (1)空间位置关系的证明；（ 2）利用向量解决立体几何问题 . 为迎接 2013年 “两会 ”（全国人大 3月 5日 -3月 18日、全国政协 3月 3日 -3月 14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题 A有四个选项，问题 B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题 A可获奖金 元，正确回答问题 B可获奖金 元活动规定：参与者可任意选择回答问题的
12、顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止假设一个参与者在回答问题前，对这两个问 题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大 答案：当 时， ，即先回答问题 A，再回答问题 B，参与者获奖金额的期望值较大； 当 时， ，无论是先回答问题 A，再回答问题 B，还是先回答问题 B，再回答问题 A，参与者获奖金额的期望值相等； 当 时， ，即先回答问题 B，再回答问题 A，参与者获奖金额的期望值较大 试题分析：根据题目条件可以分为 先回答问题 A，再回答问题 B， 先回答问题 B，再回答问题 A，两种情况来作答，分别利用离散型随机变量的分布列知识求参与者获奖金额
13、的数学期望，然后利用作差 法进行比较即可 . 试题：该参与者随机猜对问题 A的概率 随机猜对问题 B的概率 1分 回答问题的顺序有两种，分别讨论如下： 先回答问题 A，再回答问题 B，参与者获奖金额 的可能取值为 ， 2分 则 ， ， 3分 数学期望 5分 先回答问题 B，再回答问题 A，参与者获奖金额 的可能取值为 ， 6分 则 ， ， 9分 数学期望 10分 于是，当 时， ，即先回答问题 A，再回答问题 B，参与者获奖金额的期望值较大； 当 时， ，无论是先回答问题 A，再回答问题 B，还是先回答问题 B，再回答问题 A，参与者获奖金额的期望值相等； 当 时， ，即先回答问题 B，再回答
14、问题 A，参与者获奖金额的期望值较大 12分 考点：离散型随机变量的分布列 . 已知椭圆 C: 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切。 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）若过点 M(2， 0)的直线与椭圆 C交于两点 A和 B，设 P为椭圆上一点，且满足 （ O为坐标原点），当 时，求实数 t取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）利用圆心到直线的距离等于短半轴长及离心率为 建立方程，解方程即可求出椭圆 C的方程；（ 2）可以设直线 ： 与椭圆方程联立，得到方程 ，然后结合题目条件满足 （ O为坐标原点）， ，利用判别式及韦达定理建立不等式，可以
15、求出 t的取值范围 . 试题： ( ) 由题意知，短半轴长为： ， 1分 ， ， 即 ， ， 2分 故椭圆 的方程为： . 3分 （ 2）由题意知，直线 的斜率存在，设直线 ： ， 4分 设 ， ， ， 由 得， . 5分 ，解得 . 6分 . ， ，解得 ，. 7分 点 在椭圆上， ， . 8分 ， ， ， ， ， 10分 ， ， ， 或 ， 实数 取值范围为 . 12分 考点：（ 1）椭圆的标准方程；（ 2）向量在几何在的应用；（ 3）直线与圆锥曲线的问题 . 如图， PA为 O的切线， A为切点， PBC是过点 O的割线， PA=10， PB=5。 求：（ 1） O的半径； （ 2） s
16、1n BAP的值。 答案：（ 1） 7.5（ ;2） 试题分析：（ 1）由题可知，利用切割线定理即可；（ 2）根据弦切角定理可知s1n BAP=s1n ACB，然后求出 AB、 BC的比值即可 . 试题：（ ）因为 PA为 O的切线，所以 , 又由 PA=10， PB=5，所以 PC=20， BC=20-5=15 2分 . 因为 BC为 O的直径，所以 O的半径为 7.5. 4分 （ 2） PA为 O的切线， ACB= PAB, 5分 又由 P= P, PAB PCA, 7分 设 AB=k， AC=2k, BC为 O的直径， AB AC 8分 s1n BAP=s1n ACB= 10分 考点：平
17、面几何中圆的性质 . 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆 C的参数方程为（ 为参数），点 Q的极坐标为 。 （ 1）化圆 C的参数方程为极坐标方程； （ 2）直线 过点 Q且与圆 C交于 M， N两点，求当弦 MN的长度为最小时，直线 的直角坐标方程。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1) 先化参数方程为普通方程，然后利用平面直角坐标与极坐标互化公式： 即可；（ 2）先把 Q点坐标化为平面直角坐标，根据圆的相关知识明确：当直线 CQ时， MN的长度最小，然后利用斜率公式求出 MN斜率 . 试题： ( )圆 C 的
18、直角坐标方程为 ， 2分 又 4分 圆 C的极坐标方程为 5分 （ 2）因为点 Q的极坐标为 ，所以点 Q的直角坐 标为（ 2， -2） 7分 则点 Q在圆 C内，所以当直线 CQ时， MN的长度最小 又圆心 C（ 1， -1）， ， 直线 的斜率 9分 直线 的方程为 ，即 10分 考点：（ 1）参数方程与普通方程；（ 2）平面直角坐标与极坐标；（ 3）圆的性质 . 已知函数 ， 。 （ 1）求不等式 的解集； （ 2）若不等式 有解，求实数 的取值范围。 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1）利用绝对值不等式的基本形式 : 即可求解；（ 2）利用绝对值的基本不等式： 来进行放缩求解 . 试题： ( )由题意得 ，得 2分 4分 所以 的取值范围是 。 5分 （ 2）因为 有解 所以 有解 7分 9分 所以 ，即 的取值范围是 . 10分 考点： (1)解绝对值不等式；（ 2）绝对值的性质 .
