1、2015届山东省德州市第一中学高三 10月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，集合 ，则 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， ， 所以 . 考点：集合的交集 . 如图所示的是函数 的大致图象，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由图像可得： ， 所以 ， 由题意可得： 是函数 的两个极值点，故 是方程的根， 所以 ，则 . 考点：利用导数研究函数极值 . 下列四个图中，函数 的图象可能是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 是奇函数，所以向左平移一个单位可得： ， 所以 的图像关于 中心对称，故排除 A,D 当 时， 恒成
2、立，所以应选 C 考点：函数的图像 . .若 则 （ ） A B C D 1 答案： B 试题分析：令 ，则 ， 所以 ， 所以 考点：定积分的应用 . 曲线 在点（ 1,1）处切线的斜率等于（ ） A B C 2 D 1 答案： C 试题分析：由 可得： ，所以 ，所以曲线在点 处切线的斜率 . 考点：导数的几何意义 . 已知集合 ， = | ， ， ，则集合 中所有元素之和为（ ） A 2 B -2 C 0 D 答案： B 试题分析：当 或 ，又因为 ，所以 符合题意； 当 ， ，所以 符合题意； 当 ， ，所以 符合题意； 当 ， ，所以 符合题意； 所以 ，所以集合 中所有元素之和为
3、-2. 考点：元素与集合的 关系 . 已知 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则（ ） A B C 1 D 3 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ， 又因为 分别是定义在 上的偶函数和奇函数， 所以 . 考点：函数奇偶性的应用 . 已知函数 ， ，若 ，则 （ ） A 1 B 2 C 3 D -1 答案： A 试题分析：由题意可得： . 考点：幂函数方程求解 . 函数 的定义域为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以函数的定义域为 . 考点：函数的定义域 . 若 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意可得：. 考点：导数的定义及应用 .
4、填空题 已知 为 上增函数，且对任意 ，都有 ，则_ 答案： 试题分析：令 ，则 且 ，所以 ， 所以 ，所以 . 考点：函数单调性的应用 . 不等式 的解集为 _ 答案： 试题分析：原不等式等价于 设 ，则 在 上单调增 . 所以，原不等式等价于 所以原不等式的解集为： . 考点：解不等式 . 如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为 ，拱高为 ，其面积为 _. 答案： 试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为 所以函数与轴围成的部分的面积为 ，所以阴影部分的面积为 . 考点：定积分的应用 . 已知 = 是奇函数，则实数 的值是 答案： 试题分析：因为 ，所以对于定义域内的所有 的有
5、 ，即： 考点：奇函数性质的应用 . 物体运动方程为 ，则 时瞬时速度为 答案： 试题分析：由题意可得： ，所以当 时瞬时速度为 考点：导数的几何意义 . 解答题 已知函数 的定义域为 ，函数 （ 1）求函数 的定义域； （ 2）若 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式 的解集 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由题意可得： ，解此不等式组即可得出函数 的定义域 ；（ 2）由不等式 可得 根据单调性得 进而可得不等式 的解集 . 试题：（ 1）由题意可知： ，解得 3分 函数 的定义域为 4分 （ 2）由 得 ， 又 是奇函数， 8分 又 在 上单调递减， 11分 的解
6、集为 考点：函数的定义域、奇偶性、单调性的应用 . 已知曲线 在点 处的切线 平行直线 ，且点 在第三象限 . （ 1）求 的坐标； （ 2）若直线 , 且 也过切点 ,求直线 的方程 . 答案：（ 1） ;（ 2） . 试题分析：（ 1）根据曲线方程求出导数，因为已知直线 的斜率为 4，根据切线与已知直线平行得到斜率都为 4，所以令导 数等于 4得到关于 的方程，求出方程的解，即为 的横坐标，又因为切点在第三象限，所以即可写出满足条件的切点坐标；（ 2）直线 的斜率为 4，根据垂直两直线的斜率之积等于 ，可得直线的斜率为 ，又由（ 1）可知切点的坐标，即可写出直线 的方程 . 试题：由 ，得
7、 ， 2分 由 平行直线 得 ，解之得 . 当 时， ; 当 时， . 4分 又 点 在第三象限 , 切点 的坐标为 6分 （ 2） 直线 , 的斜率为 4, 直线 的斜率为 , 8分 过切点 ,点 的坐标为 （ -1,-4） 直线 的方程为 11分 即 12分 考点：利用导数研究曲线方程 . 若实数 满足 ，则称 为 的不动点已知函数 ， 其中 为常数 （ 1）求函数 的单调递增区间； （ 2）若存在一个 实数 ，使得 既是 的不动点，又是 的极值点求实数 的值； 答案：（ 1）当 时， 的单调递增区间为 ，当 时， 的单调递增区间为 ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）首先求出函数的导函
8、数 ，然后根据 的取值范围讨论导数的正负进而得出函数的单调区间； （ 2）由题意可得： ，解方程组可得 . 试题：（ 1）因 ，故 . 1分 当 时，显然 在 上单增； 3分 当 时，由知 或 . 5分 所以，当 时， 的单调递增区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ， 6分 （ 2）由条件知 ，于是 ， 8分 即 ，解得 11分 从而 . 12分 考点：函数性质的综 合应用 . 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米 /小时）的函数式可以表示为： ，已知甲、乙两地相距 100千米 （ 1）当汽车以 40千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油
9、多少升？ （ 2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 答案：（ 1） 17.5；（ 2）以 80千米小时的速度匀速行驶时耗油最少 ,最少为 11.25升 . 试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理 解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（ 2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（ 3）基本不等式具有将 “和式 ”转化为 “积式 ”和将 “积式 ”转化为 “和式 ”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的
10、结构特点，选择好利用基本不等式的切入点 . 试题：（ 1）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时， 2分 要耗油 4分 答当汽车以 40千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油 17.5升 5分 （ 2）当速度为 千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设油耗为 升， 依题意得 （ ） 7分 方法一则 （ ） 8分 令 ，解得 ，列表得 （ 0， 80） 80 （ 80， 120 - 0 所以当 时， 有最小值 11分 方法二 8分 11.25 10分 当且仅当 时成立，此时可解得 11分 答：当汽车以 80千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少 ,最少为 11.25升 1
11、2分 考点：基本不等式及函数模型的应用 . 已知函数 ,函数 （ 1）当 时 ,求函数 的表达式 ; （ 2）若 ,函数 在 上的最小值是 2 ,求 的值 ; （ 3）在（ 2）的条件下 ,求直线 与函数 的图象所围成图形的面积 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）对 的取值分类讨论，化简绝对值求出 得到 和 导函数相等，代入到 即可；（ 2）根据基本不等式得到 的最小 值即可求出 ；（ 3）根据（ 2）知 ，首先联立直线与函数式求出交点，利用定积分求出直线与函数图像围成的区域的面积即可 . 试题：（ 1） , 当 时 , ， 当 时 , , . 当 时 ,函数
12、. 4分 （ 2） 由（ 1）知当 时 , , 当 时 , 当且仅当 时取等号 . 函数 在 上的最小值是 , 依题意得 . 8分 （ 3）由 解得 直线 与函数 的图象所围成图形的面积 = 13分 考点：导数及函数单调性、定积分的应用 . 设关于 的方程 有两个实根 ，函数 . （ 1） 求 的值； （ 2）判断 在区间 的单调性，并加以证明； （ 3）若 均为正实数，证明： 答案：（ 1） ；（ 2）单调递增；（ 3）见 . 试题分析：（ 1）因为 是方程的 的两个实根，利用韦达定理即可得到 的式，求出 进而即可求出 的值；（ 2）利用导数及二次函数的图像来讨论导数的正负，即可判断函数的单调性；（ 3）首先求出的取值范围，然后根据函数的单调性判断出函数值的取值范围，把两个函数值相减即可得到要证的结论 . 试题：（ 1） 是方程 的两个根， ， ， 1分 ，又 ， ， 3分 即 ，同理可得 4分 （ 2） ， 6分 将 代入整理的 7分 又 ， 在区间 的单调递增 ; 8分 （ 3） ， 10分 由（ 2）可知 ，同理 12分 由（ 1）可知 ， ， ， 14分 考点：函数与方程、函数的单调性、不等式的证明 .
