1、2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 1 页（共 15 页） 绝密 启用 前 试题类型：新课标 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 注意事项 ： 1. 答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择 题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 回 答非选择题时， 将答案写在答题卡上. 写 在本试卷上无效. 3. 考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、 选 择题 ： 本大 题共 12 小 题， 每小题 5 分 ， 在 每小题给 出 的四个选 项
2、中， 只 有一 项是 符 合题目要 求 的. 1 已知集合 |10 Axx ， 0, 1, 2 B ，则A B ( ) A 0B 1C 1, 2D 0, 1, 2 【答案】C 【解析】 :1 A x ， 1, 2 AB 【考点】交集 2 12 ii ( ) A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i 【答案】D 【解析】 2 122 3 iiiii 【考点】复数的运算 3. 中国古建筑 借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯 眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如 图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬 合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
3、2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 2 页（共 15 页） 【答案】A 【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到 小长方体的一个面，而 B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体 的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4. 若 1 sin 3 ，则 cos 2 ( ) A 8 9B 7 9C 7 9 D 8 9 【答案】B 【解析】 2 7 cos 2 1 2sin 9 【考点】余弦的二倍角公式 5. 5 2 2 x x 的展开式中 4 x 的系数为( ) A 10 B 20 C 40
4、 D 80 【答案】C 【解析】 5 2 2 x x 的第 1 r 项为： 5 21 0 3 55 2 2 r r rr r r Cx Cx x ，故令 2 r ，则 10 3 4 5 24 0 rr r Cx x 【考点】二项式定理 俯 视 方 向 D. C. B. A. 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 3 页（共 15 页） 6 直线 20 xy 分别与 x 轴、 y 轴交于点 , AB 两点，点P 在圆 2 2 22 xy 上， 则 ABP 面积的取值范围是( ) A 2, 6B 4, 8C 2, 3 2 D 22 ,32 【答案】A 【解析】 2, 0 , 0,
5、2 AB ， 22 AB ，可设 22 c o s ,2 s i n P ，则 42 s i n 4 22 2 s i n 2 ,32 4 2 PA B d 1 22 , 6 2 ABP P AB P AB SA B dd 注： PA B d 的范围也可以这样求：设圆心为O ，则 2, 0 O ，故 2, 2 PA B OA B OA B ddd ，而 4 22 2 OA B d ， 2, 3 2 PA B d 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型( 圆的参数方程、三角函数) 7 42 2 yxx 的图像大致为( ) 【答案】D x x x x y y y y D. C. B. A
6、. O O 1 1 O O 1 1 1 1 1 12018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 4 页（共 15 页） 【解析】 12 f ，排除 A 、B ； 32 42212 y xxxx ，故函数在 2 0, 2 单增， 排除 C 【考点】函数图像辨识( 按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性( 导数) 的顺序来考 虑) 8. 某群体中的 每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为 该群体的 10 为成员中使用移动支付的人数， 2.4 DX ， 46 PX PX ，则 p ( ) A 0.7 B 0.6 C 0.4 D 0.3 【答案】B 【解析
7、】由题意得X 服从二项分布，即 1 0 , X p ，由二项分布性质可得 10 1 2.4 DX p p ，故 0.4 p 或 0.6 ， 而 64 44 66 10 10 4161 Px Cp p Px Cp p 即 2 2 1 p p ，故 0.5 p 0.6 p 【考点】二项分布及其方差公式 9. ABC 的内角 , ABC 的对边分别为 , abc ，若 ABC 的面积为 222 4 abc ，则C ( ) A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】C 【解析】 222 1 sin 24 ABC abc Sa b C ，而 222 cos 2 abc C ab 故 12 c o s 1
8、sin cos 24 2 ab C ab C ab C ， 4 C 【考点】三角形面积公式、余弦定理 10. 设 , ABCD 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 93 ，则三棱锥D ABC 的体积最大值为( ) A 12 3 B 18 3 C 24 3 D 54 3 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 5 页（共 15 页） 【答案】B 【解析】如图，O 为球心，F 为等边 ABC 的重心， 易知OF 底面ABC ，当 , DOF 三点共线， 即DF 底面ABC 时，三棱锥D ABC 的高最大，体积也 最大. 此时： 6 93 ABC A
9、BC AB S 等边 ， 在等边 ABC 中， 23 23 33 BF BE AB ， 在RtO F B 中，易知 2 OF ， 6 DF ，故 max 1 9361 83 3 D ABC V 【考点】外接球、椎体体积最值 11. 设 12 , F F 是双曲线 22 22 :1 0 ,0 xy Ca b ab 的左，右焦点，O 是坐标原点，过 2 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P . 若 1 6 PFO P ，则C 的离心率为( ) A 5 B 2 C 3 D 2【答案】C 【解析】渐近线OP 的方程为： b yx a ， 利用点到直线的距离公式可求得 2 PFb ， ( 此结论可
10、作为二级结论来记忆) ， 在Rt ABC 中，易得OP a ， 1 6 PF a ， 在 1 POF 中，由余弦定理可得： 222 1 6 cos 2 aca POF ac ，又 2 cos a POF c 222 6 0 2 acaa ac c ，故 3 c e a 【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形 O F E C B A D2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 6 页（共 15 页） 12. 设 0.2 log 0.3 a ， 2 log 0.3 b ，则( ) A 0 aba b B 0 ab a b C 0 ab a b D 0 ab a b 【答案】B 【解析
11、】首先由 0.2 log yx 单调递减可知 0.2 0.2 0.2 0 log 1 log 0.3 log 0.2 1 a ，同理可 知21 b ， 0, 0 ab a b ，排除 C 、D 其次：利用作商法： 0.3 0.3 0.3 11 log 0.2 log 2 log 0.4 1 ab ab a b ( 注意到 0 ab ) aba b 【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小 二、填空 题 ：本大题 共 4 小题 ，每小 题 5 分， 共 20 分 13. 已知向量 1, 2 a ， 2, 2 b ， 1, c . 若 / 2 cab ，则 _. 【答案】 1 2【解
12、析】 24 , 2 ab ，故24 【考点】向量平行的坐标运算 14. 曲线 1 x ya xe 在点 0, 1 处的切线斜率为 2 ，则 _. a 【答案】 3 【解析】 1 x x ya ea xe ， 12 ka 【考点】切线斜率的计算方法 15. 函数 cos 3 6 fx x 在 0, 的零点个数为_. 【答案】 3 【解析】 0, x ，3, 3 66 6 tx ，由 cos yt 图像可知，当 35 , 222 t 时 cos 0 t ，即 f x 有三个零点 或者：令 3 62 x k ，则 93 k x ，当 0, 1, 2 k 时， 0, x ，故 3 个零点 2018 年
13、全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 7 页（共 15 页） 【考点】换元法( 整体法) 、余弦函数的图像与性质 16. 已知点 1, 1 M 和抛物线 2 :4 Cy x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于 , A B 两点，若 90 AMB ，则 _. k 【答案】2 【解析】 (1) 常规解法：设直线方程为 1 x my ，联立 2 1 4 x my yx 可求 12 12 4 4 yym yy ，由 12 1 2 12 1 2 11 0 MB MA y y y y x x x x ，可得 1 2 m ，故 2 k (2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切 设AB 中
14、点为N ，则由二级结论可知NM 准线， 1 NM yy ，故 22 ABN yyy ， 由点差法可得， 4 2 AB k yy 进一步可得二级结论： AB M kyp 【考点】直线与抛物线联立( 二级结论、点差法) 三. 解答 题： 共 70 分. 解 答应写出 文 字说明， 证 明过程或 演 算步骤 第 1721 题 为必考 题，每个 试 题考生必 须 作答. 第 22 、23 题为选 考题，考 生 根据要求 作 答. ( 一) 必考题： 共 60 分. 17. (12 分) 等比数列 n a 中， 153 1, 4 aaa . (1) 求 n a 的通项公式； (2) 记 n S 为 n
15、a 的前 n 项和. 若 63 m S ，求 m . 【答案】(1) 1 2 n n a 或 1 2 n n a ；(2) 6 m 【解析】(1) 2 533 4 aaa q ， 2 q ， 1 2 n n a 或 1 2 n n a (2) 当 2 q 时， 11 2 63 1 m m S ，解得 6 m 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 8 页（共 15 页） 当 2 q 时， 11 2 63 3 m m S ，得 21 8 8 m 无解 综上： 6 m 【考点】等比数列通项公式与前 n 项和公式 18. (12 分) 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成
16、某项生产任务的两种新的生 产方式. 为比 较两种生产方式的效率，选取 40 名 工人，将他们随机分成两组，每组 20 人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的 工作时间( 单位：min) 绘制了如下茎叶图： 第一种生产方式 第二种生产方式 8655689 9 7 6270122345 6 6 8 9 8 7 7 65 4 3 3281445 2 1 1 0090 (1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2) 求 40 名工 人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列
17、联表： 超过 m不超过 m第一种生产方式 第二种生产方式 (3) 根据(2) 中的列联表，能否有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 2 2 nadbc K abcdacbd ， 2 PK k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 第二组生产方式效率更高；(2) 见解析；(3) 有； 【解析】(1) 第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在 70min80min 之间，而第一组数据集中在 80min90min 之间，故可估计第二组的数据平均 值要小于第一组数据平均值，事实上 1 68 72 76 77 7
18、9 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92 84 20 E 同理 2 74.7 E ， 21 E E ，故第二组生产方式效率更高 (2) 由茎叶图可知，中位数 79 81 80 2 m ，且列联表为： 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 9 页（共 15 页） 超过 m不超过 m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 (3) 由(2) 可知 2 22 2 40 15 5 10 6.635 20 20 20 20 K ， 故有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检
19、验 19 (12 分) 如图，边长为 2 的正方 形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在的平面垂直，M 是 CD 上异于 , CD 的点 (1) 证明：平面AMD 平面BMC ； (2) 当三棱锥M ABC 体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值. 【答案】(1) 见解析；(2) 25 5【解析】(1) ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ( 这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容) (2) ABC S 恒定，故要使 M ABC V 最大，则 M ABC d 最大，结合图象可知M
20、为弧 CD 中点时， M ABC V 最大. 此时 取CD 的中点O ，则MOD C ，故MO 面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系 则： 0, 0, 1 M ， 2, 1, 0 A ， 2, 1, 0 B ， 0, 1, 0 C ， 0, 1, 0 D M B C D A2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 10 页（共 15 页） 0, 2, 0 , 2, 1, 1 AB MA ， 平面MAB 的法向量为 1 1, 0 , 2 n ，易知平面 MCD 的法向量为 2 1, 0, 0 n ，故 12 15 cos , 5 5 nn ， 面MAB 与面MCD 所成二面角
21、的正弦值为 25 5【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12 分) 已知斜率为k 的直线l 与椭圆 22 :1 43 xy C 交于 , A B 两点，线段AB 的中点为 1, 0 Mmm . (1) 证明： 1 2 k ； (2) 设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且 0 FP FA FB . 证明 , FAF PF B 成 等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1) 见解析；(2) 32 1 28 d 【解析】(1) 点差法：设 11 22 , Ax y Bx y ，则 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy 相减化简可得： 1212 1
22、212 3 4 yyyy xxxx ， 3 4 OM AB kk ( 此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接 用) ， 3 4 m k ，易知中点M 在椭圆内， 2 1 1 43 m ，代入可得 1 2 k 或 1 2 k ，又 0 m ， 0 k ，综上 1 2 k O z y x M B C D A2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 11 页（共 15 页） 联立法：设直线方程为 yk xn ，且 11 22 , Ax y Bx y ，联立 22 1 43 xy yk xn 可得， 22 2 43841 20 kxk n xn ，则 12 2 2 12 2 8 43
23、 41 2 43 kn xx k n xx k ， 12 12 2 6 2 43 n yykxxn k 2 2 4 1 43 3 43 M M kn x k n ym k ，两式相除可得 3 4 m k ，后续过程和点差法一样( 如果用 算的话比 较麻烦) (2) 0 FP FA FB ， 20 FP FM ，即 1, 2 Pm ， 2 14 1 43 m ， 3 0 4 mm 7 1, 4 kn m k ， 由(1) 得联立后方程为 2 1 71 4 0 4 xx ， 1, 2 32 1 1 14 x ， 22 121 2 23 ca ca c FA FB x x a x x ac ac a
24、 ( 此处用了椭圆的第二定义，否 则需要硬算，计算量太大) 而 3 2 FP 2 FAF BF P 故 , FAF PF B 成等差数列. 22 121 2 32 1 2 14 ca ca c dF AF B x x xx ac ac a 32 1 28 d 【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 12 页（共 15 页） 21. (12 分) 已知函数 2 2l n 12 fxx a xxx . (1) 若 0 a ，证明：当10 x 时， 0 fx ；当 0 x ， 0 fx ； (2) 若 0 x 是 f x 的
25、极大值点，求 a . 【答案】(1) 见解析；(2) 1 6 a 【解析】(1) 常规方法：当 0 a 时， 2l n 12 1 fx x x xx ， 1 l n 1 1 1 fx x x 2 1 x fx x ，当10 x 时， 0 fx ；当 0 x 时， 0 fx f x 在 1, 0 上单调递减，在 0, 上单调递增，而 0 0 f ， 0 fx 恒成立， f x 单调递增，又 00 f 当10 x 时， 0 fx ；当 0 x ， 0 fx 改进方法：若 0 a ，则 2 2l n12 2l n1 2 x fx x x x x x x 令 2 ln 1 2 x gx x x ，则
26、2 22 14 0 1 212 x gx x xxx 所以 g x 在 0, 单增，又因为 00 g 故当10 x 时， 00 gx g ，即 0 fx ； 当 0 x 时， 00 gx g ，即 0 fx ； 方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出 2 x 之 后对数单独存在，一次求导就可消掉对数 (2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数 y f x 在 0 x x 处各阶导数都存在且 连续， 0 x x 是函数的极大值点的一个充要条件为前21 n 阶导数等于 0 ，第 2n 阶导数小 于 0 2 2l n 12 fxx a xxx 2018 年全国卷
27、 3 理科数学试题及其参考答案 第 13 页（共 15 页） 2 1 21 l n1 1 1 ax fx a x x x ， 0 0 f 2 2 34 2 ln 1 1 ax ax x fxax x ， 0 0 f 2 3 2661 1 ax ax x a fx x 0 x 是 f x 的极大值点， 0 6 1 0 fa ， 1 6 a ， 下证：当 1 6 a 时， 0 x 是 f x 的极大值点， 3 1 6 3 1 xx fx x ，所以 f x 在 1, 0 单增，在 0, 单减 进而有 0 0 fxf ，从而 f x 在 1, 单减， 当 1, 0 x 时， 0 0 fxf ，当 0
28、, x 时， 0 0 fxf 从而 f x 在 1, 0 单增，在 0, 单减，所以 0 x 是 f x 的极大值点. 方法二： 0 x 是 f x 的极大值点，所以存在 0 ，使得在 ,0 0 , ， 00 fx f ，即 2 2l n 12 0 xa x x x 当 0, x 时， ln 1 0 x ，故 22 2 2 ln 1 2 2 ln 1 ln 1 x x xx xx a xx x ， 当 ,0 x 时， ln 1 0 x ，故 2 22 l n1 ln 1 xx x a xx 即 22 00 00 2 2 ln 1 1 ln 1 lim lim ln 1 2 1 ln 1 1 l
29、n 1 1 1 lim lim 42 6 42 l n14 4ln 1 4 1 xx xx xx x xx x a xx x xxx x x x xxx x x ( 洛必达法则，极限思想) 【考点】导数的应用 ( 二) 选考题： 共 10 分，请 考生在 22 、23 题中 任选一 题作答， 如 果多做， 则 按所做的 第 一 题计分. 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 14 页（共 15 页） 22. 选修44 ：坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为 cos sin x y ( 为参数) ，过 点 0, 2 且倾斜角为 的直线l
30、与 O 交于 , A B 两点. (1) 求 的取值范围； (2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 【答案】(1) 3 , 44 ；(2) 2sin2 3 , 22 44 cos 2 22 x y 【解析】(1) 当 2 时，直线:0 lx ，符合题意； 当 2 时，设直线:2 lyk x ，由题意得 2 2 1 1 d k ，即 ,11 , k ，又 tan k ， 3 , 42 24 综上， 3 , 44 (2) 可设直线参数方程为 cos 3 , 44 2s i n xt yt ，代入圆的方程可得： 2 22s i n 10 tt 12 2sin 2 P tt t 2sin cos
31、3 , 44 22 s i ns i n x y 即点P 的轨迹的参数方程为 2 2 3 sin 2 , 2 44 2cos x y ( 也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 15 页（共 15 页） 23. 选修45 ：不等式选讲(10 分) 已知函数 21 1 fx x x . (1) 画出 yfx 的图像； (2) 当 0, x 时， fxa xb ，求ab 的最小值. 【答案】(1) 见解析；(2)5 【解析】(1) 1 3, 2 1 2, 1 2 3, 1 xx fxx x xx ，图象如下 (2) 由题意得，当 0 x 时，ax b 的图象始终在 f x 图象的上方，结合(1) 中图象可知， 3, 2 ab ，当 3, 2 ab 时，ab 最小，最小值为 5 ， 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题 x y 2 1.5 3 1 -0.5 O
