1、理论力学题解 1-3 已知曲柄 OA r , 以匀角速度 绕定点 O 转动 ,此曲柄借连杆 AB 使滑动 B 沿直线 Ox运动 .设 AC CB a, AOB , ABO .求连杆上 C 点的轨道方程及速度 . 解 : 设 C 点的坐标为 ,xy,则 c o s c o ss i n s i ns i nx r ay r aya 联立上面三式消去 ,得 2 2 2 2 2( 1 / ) 4x a y a y r 整理得轨道方程 2 2 2 2 2 2 2 24 ( ) ( 3 )x a y x y a r 设 C 点的 速度为 v ,即 2 2 2 2 2 2 2s i n 2 s i n s
2、 i nv x y r a r a 考虑 A 点的 速度 c o s 2 c o sAy r a 得 c o s c o s2 c o s 2 c o srraa 所以2c o s 4 s i n c o s s i n ( )2 c o srv 1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度 转动 ,并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动 ,图中的 d 为一已知常数 .试求小环的速度 v 及加速度 a 解 : 小环 C 的位置由 x 坐标确定 tanxd 222s e c dxv x dd 222 2 22 s e c t a n 2 dxa x d xd 解法二 : 设 v 为小环相对于 A
3、B的速度 , 1v为小环相对于 OL的速度 , 2v为小环相绕 O点转动的速度 ,则12v v v又设 OL 从竖直位置转过了 角 ,则 22s i nxxd , 22c o sdxd 2 2 2 22 ()c o s c o sv x d x dvd 2 2 2 212 t a n t a n xv v x d x dd 所以 , 小环相对于 AB 的速度为 22()xdvd ,方向沿 AB 向右 . 沿滑杆 OM 滑动的速度为 221x x dvd ，方向沿 OM 杆向上。 求加速度用极坐标 横向加 速度 22 22122 x x da a v vd 22 2222 ( )c o sa x
4、 x da d 第一章第五节例题一 解：坐标向上为正时，速度 x 也向上为正，而实际速度向下，则有 vx 阻力f m kv m kx ，动力学方程 x kx g ，满足初始条件的解为 2 (1 )ktggx h e tkk 坐标向下 为正时，速度 y 也向下为正，实际速度向下，则有 vy 阻力 f m kv m ky，动力学方程 y ky g ，满足初始条件的解为 2 (1 )ktggy e tkk （ 0 yh） 可以看出 x y h 第一章第五节例题二 解： 双曲正切函数 () kkeeth k ，双曲余弦函数 () 2kkeec h k 反双曲正切函数1 11( ) l n21 kth
5、k k （ 1k ） 1 ( ) l n ( )22xxxxe e d c h xt h x d x d x c h x Cee c h x 12 1 1 1 1 1( ) l n1 2 1 1 2 1d x xd x C t h x Cx x x x 1-10 一质点沿着抛物线 2 2y px 运动 .其切向加速度的量值为法向加速度量值的 2k 倍 .如此质点从正焦 玄 ( ,2pp)的一端以速度 u 出发 ,试求其达到正焦玄另一端时的速率 . 解 : 设条件为 na ka , 2nva, d v d v d d s v d vad t d d s d t d 上面三式联立得 2dv kdv
6、 两边积分 00( 2 )vu dv kdd , 2kv ue 由 2 2y px 可得 dy pdx y在正焦玄两端点 ( , )2pAp和 ( , )2pBp处 , 1Ay , 1By .可看出 ,两点处抛物线得切线斜率互为倒数 ,即2,代入得 kv ue 1-15 当一轮船在雨中航行时 ,它 的雨蓬遮住篷的垂直投影后 2m 的甲板 ,蓬高 4m .但当轮船停航时 ,甲板 上干湿两部分的分界线却在蓬前 3m ,如果雨点的速率为 8/ms,求轮船的速率 . 解 : 设相对于岸的速度为0v,雨相对于岸的速度为 v ,雨相对于船的速度为rv则 0rv v v速度三角形与三角形 ABC 相似 ,得
7、 02223 143v B Cv A B 所以0 8/v v m s方程 3 2 23 2 0y p y p h 的解 解 : 作变换 2pyzz,原方程变为 6323 20pz p hz 设 6 4 2R p p h , 2 1 / 3()A p h R , 2 1 / 3()3 pB p h RA , 1322i 则 实根 2 1 / 3 2 1 / 31 ( ) ( )y A B p h R p h R 两个虚根 : 22y A B, 23y A B对于该题 ,只取实根 . 1-38 已知作用在质点上的力为1 1 1 2 1 3xF a x a y a z ,2 1 2 2 2 3yF
8、a x a y a z , 3 1 3 2 3 3zF a x a y a z 其中, ( , 1, 2 , 3 )ija i j 都是常数 ,问这些,ija应满足什么条件才有势能存在 ?如果这些条件满足 ,试求其势能 . 解 : 由 0F 得 : ,( , 1 , 2 , 3 )i j j ia a i j1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3( ) ( ) ( )x y zd V F d x F d y F d z a x a y a z d x a x a y a z d y a x a y a z d z 1 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 30
9、 0 02 2 21 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1( ) ( )1 ( 2 2 2 )2x y zV a x d x a x a y d y a x a y a z d za x a y a z a x y a y z a z x c 0 0 00 0 0( 5 ) ( 2 ) ( 6 )x y zx y zx y zV F d x F d y F d zx d x x y d y x y z d z 1-39 一质点受一与距离 3/2 次方成反比得引力作用在一条直线上运动 ,试证该质点自无穷远到达 a 时的速度1v和自 a 静止出发到达 /4a 时的速率2v相同 . 解 : 依
10、题意有 3 / 21d v d vm m vd t d x x ,两边积分 13 / 201vam v d v d xx, 21122 mv a再积分 2 43 / 201avam v d v d xx,21122 mv a可知12vv1-43 如果质点受有心力作用 而作双纽线 22cos 2ra 的运动时，则 4273m a hF r 试证明之。 解： 比耐公式 2222()d u Fh u udm 而 2211c o s 2u ra 代入得 2 452 3du a u ud 4273 m a hF r 1-44 质点所受的有心力如果为 223()Fmrr 式中， 及 都是常数，并且 2h
11、，则其轨道方程可写成1 c o sar ek 。试证明之。式中 222hk h ， 222kha， 222Ak he（ A 为积分常数）。 解：比耐公式 2222()d u Fh u udm 将 F 代入得 222du kudh ，式中 222hk h 其解为 20 22c o s ( )u A k k kh 222220021 c o s ( )1 c o s ( )kharA k h e k kkk 式中 222kha， 222Ak he将基准线转动一角度，可使0 0 得 1 c o sar ek 2-1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为 a ，所对的圆心角为 2 。并证明半圆片的质心
12、的距离为 43a解：取对称轴为 x 轴，则质心比在对称轴上。设密度为 00002 c o s 2 s i n32aC ar r d r d axr d r d 对于半圆片，取2， 2 s i n / 2 43 / 2 3C aax 或者直接积分 22 3022202 ( ) / 3 4/ 4 32 ( )aC aa x x d x aaxaa x d x 2-2 如自半径为为 a 的球上，用一与球心相距为 b 的平面，切出一球形帽，求此球形帽的质心。 解：方法一 球形帽可看作由许多圆薄片沿 Z 轴叠成，其质心坐标 0ccxy22 32 2 2c o s 1242c o s /c o s 13c
13、 o s /c o s ( s i n ) ( c o s c o s ) ( c o s )( s i n ) ( 1 c o s ) ( c o s )11( c o s c o s )3 ( )24421( c o s c o s )3rbc rbbrbrr r d z dzr d z drrbrb 方法二 取任一垂直于 OZ 轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。 22()d m d V s d z r z d z 2 2 422 2222311()() 3 ( )24421()()3rrrb b bc r r rbbbr z zz d m r z z d zrbzrbd
14、m r z d zr z z 2-3 重为 W 的人，手里拿着一个重为 w 的物体。此人用与地平线成 角的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度 u 水平向后抛出。问 ： 由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？ 解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为0 cosv ，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为 v ，则 00( c o s ) ( ) c o sW w W wv v u vg g g g 人抛出重物后，做以 v 为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离 000s i n s i nc o svvx v
15、vgg 两式联立得0 s i nw u vx Wg讨论： 若抛出物体时速度是相对人后来的速度即 v ，则上面第一个方程变为 0( ) ( ) c o sW w W wv v u vg g g g 结果是0 s i nw u vx W w g 一个例子：人重 60 公斤，物重 2 公斤，起跳速度 5/ms，抛物速度 10 /ms， 则 0.12xm 2-13 长为 l 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。 解：【方法一】 设链条的线密度为 ，则 t 时刻下落
16、的链条质量为 ()2lmy，此时链条所受的重力为 ()2lm g y g，根据牛顿第二定律有 ()2d v ll y gdt 作变换 ,dy dvvtdt y代入上式 ()2lv d v y g d y 两边积分 200()2lv lv d v y g d y ， 1 32v gl【方法二】 设链条的线密度为 ，当链条往下移 y ，重力做的功为 0yW y g d y g y y 238ll lW g y d y m g 21328lm v W m g ， 1 32v gl 2 16 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。 解：变质量动力学方程 ()d d
17、mm v u m gd t d t 设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度 0u ，代入上式得 d v d mm v m gd t d t 设雨滴半径 r 的增长率为 ， r a t ，式中 a 为 0t 时雨滴的半径，雨滴的质量 343mr ，式中为 密度 3dv vgd t a t 其解 34( ) ( )4gv a t a t c 设 0t 时， 0v 的 44gac 434 ( )gav a tat 问题：轴为竖直而定点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度 绕轴转动。一质量为 m 的小环套在此金属丝上，并可沿金属丝滑动。是研究其运动。 抛物线方程 2 4x ay 建立动参考系 oxy ，则
18、 动能 2 2 2 21 ( ) 2T m x y x 势能 V mgy 运动微分方程 22 22 2 2( 1 ) ( ) 04 4 2x d x x d x xm m m ga d t a d t a 对上式积分一次 2 2 2 22( 1 ) ( ) ( )42x d x g xCa d t a 再积分一次1 2 20022 / ( )21 / 4xc n x x m g t taa 一个自由度下，应用虚功原理求平衡问题 半径为 r 的光滑半球形碗固定在水平桌面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，另一端在碗外，在碗内长度为 c ，试证棒长为 224 ( 2 )crlc解：主动力 0xF，
19、yF mg，体系平 衡时，由虚功原理得 0xyW F x F y m g y 上式中如选 y 为广义坐标，得出 0y 这与广义坐标的变分独立性相矛盾，故不能选 y 为广义坐标。选 为广义坐标，则 ( 2 c o s / 2 ) s i ny r l， 2 c o s ( / 2 ) c o s y r l 0y ， 2 c o s ( / 2 ) c o s 0rl 而 cos / 2cr ， 22s i n 4 / 2r c r 得棒长 224 ( 2 )crlc取直角坐标为广义坐标，如 ( ),x x y y y，因为 ,dxx y y ydy 则 ( ) 0x y ydxW F F y
20、Q ydy 广义力y x ydxQ F Fdy y 独立，平衡方程为 0yQ ，即 0xydxFFdy 两种特殊情况 当 0xF， 0yF 时，平衡方程简化为 0dxdy； 当 0yF ， 0xF时，平衡方程 0xydxFFdy 改写为 0xydyFFdx，即 0dydx 。 解释 n 个质点组成的力学系统，有 s 个自由度，选取一组广义坐标 12( , , , )sq q q 设去取值范围给出的 s 维区域为 sDR 。主动力作用点（质点）的矢径为12( , , ) , 1 ,isr q q q i n，虚位移1, 1 ,s ii rr q i nq 只有在 ( 1 , ; 1 , )ir
21、i n sq 定义域 iD 的交集 * , iiDD 中成立。一般有* sD D R 。从而产生虚位移和广义力的定义域就是广义坐标的值域的误解。考虑两 种情况 （ 1） 平衡位 置 0*q D D，虚功原理化成10sWQ ； （ 2） 平衡位置 0qD ，但 0*qD ，诸 ( 1 , ; 1 , )ir i n sq 中至少有一个在平衡位置 0q 不存在。所选广义坐标虽能表达质点系的平衡位置，但在平衡位置的虚位移却不能用广义坐标变分的线性组合来表达。即1, 1 ,s ii rr q i nq 不成立。在平衡位置不是 0yQ ，而是yQ不存在。 若取 y 为广义坐标，则 ()r x x i y
22、j， ()dxr i j ydy， dxdy的奇点方程为224 8 0c cL r ，平衡点是虚位移和广义力的奇点。 （论述该问题的文献：大学物理， 200 年 5 月和 2002 年 4 月） 设力 F 在球坐标系中沿坐标轴方向的分量为rF， F， F。 若取三个球坐标 ( , , )r 为广义坐标，试证其三个广义力为s inrrQFQ rFQ r F 。 证明：rrF F e F e F e 虚位移 s i nrr r e r e r e （ 2 分） 虚功 s i nrW F r r F r F （ 2 分） 而虚位移又可以写成rW Q r Q Q （ 2 分） 两式比较得 s i nr
23、rQFQ rFQ r F （ 2 分） 质量分别为1m和2m的两个质点用一长为 l 的不可伸长的细线连接并挂在一定滑轮上，试用拉格朗日方程求体系的运动微分方程。 解：力学体系有一个自由度。取1m到滑轮固定点的距离 x 为广义坐标 体系势能 为 12 ()V m g x m g l r x （ 2 分） 体系的动能 2121 ()2T m m g x （ 2 分） 拉格朗日函数 21 2 1 21 ( ) ( )2L T V m m g x m g x m g l r x 分别对广义坐标和广义速度求偏导数 12()L m m xx ，12()L m m gx （ 3 分） 代入拉格朗日方程的体系
24、运动微分方程 1 2 1 2( ) ( )m m x m m g （ 3 分） 一个质量为 m 的圆环，从一个倾斜角为 的斜面上无滑动地滚下来。试用拉格朗日方程求环的运动微分方程。 解： 力学体系有一个自由度。取环到斜面顶点的距离 x 为广义坐标 体系势能 为 ( ) s i nV m g l x （ 2 分） 体系的动能 2 2 2 21122T m x m r m x （ 2 分） 拉格朗日函数 2 ( ) s i nL T V m x m g l x 分别对广义坐标和广义速度求偏导数 2L mxx ， sinL mgx （ 3 分） 代入拉格朗日方程的体系运动微分方程 2 sinxg （
25、 3 分） 质量为 m 的小环 P，套在半径为 r 的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速度 绕圈上某点 O 转动，已知体系 的拉氏函数为 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 / 2 ) c o s c o sL m r m r m r m r m r 式中 为 P 与圆心 O 的连线和通过 O 点的直径间所夹的角。试用哈密顿正则方程求关于 的运动微分方程。 解： 体系 拉格朗日函数为 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 / 2 ) c o s c o sL m r m r m r m r m r 2 2 2 c o sLp m r m r m r 2 (1 c o s
26、)pmr （ 2 分） 由勒让德变换得哈密顿函数 22 2 2 2 2211c o s ( 1 c o s )2 2 2 pH L p m r p m r mr （ 3 分） 代入正则方程得222( 1 c o s )s i n c o s s i nHpp m rHp m r p （ 3 分） 整理得：2s i npmr 即 2 s in 0 =常数 （ 2 分） 试用保守系的拉格朗日方程求单摆的运动微分方程并在小角度摆动时解出该方程。 解：取悬线和铅垂线的夹角 为广义坐标，则其动能和势能分别为 21 ()2T m l (1 c o s )V m g l （ 2 分） 拉格朗日函数为 21
27、( ) ( 1 c o s )2L T V m l m g l 2L ml ， s inL m g l （ 2 分） 代如保守系的拉格朗日方程得 2 s i n 0m l m g l （ 2 分） 小角度摆动时变为 0gl（ 2 分） 其解为0 c o s ( / )t g l ，其中0为振幅， 为初位相。 （ 2 分） 质量为1m的质点，被限制在水平固定的光滑直线上滑动，另一质量为2m的质点用一长为 l 的轻杆和1m相联。此杆只能在通过固定直线的铅直平面内运动，设此二质点只受重力作用。解答下列问题： （ 1）若选 x 和 为广义坐标，则体系有没有循环坐标？若有，找出来，并求出相应的守恒量；
28、（ 2）用拉格朗日方程求出体系运动微分方程。 解：如图， 设质点1m的坐标为 ( ,0)x ，质点2m的坐标为 ( c o s , s i n )x l l ，动能和势能分别为 2 2 2 2 2122 2 2212 ( s i n ) c o s 221 ( ) ( 2 s i n )22mmT x x l lmm m x l l x （ 2 分） 2 sinV m gl （ 1 分） 拉氏函数 2 2 221 2 21 ( ) ( 2 s i n ) s i n22 mL T V m m x l l x m g l （ 1 分） （ 1）拉氏函数中不含 x ，是循环坐标，则有 1 2 2(
29、 ) s i nx Lp m m x m lx =C=常数 （ 2 分） （ 2）求体系运动微分方程 222 s i nLp m l m l x 椭圆标准方程 221xyab离心率 22abea ，面积 S ab 周长 /2 2204 1 s i n 4 ( , )2L a e t d t a E e 式中 462 2 2 21 1 3 1 3 5( , ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 4 6 5eeE e e 设 abab ，则 2 4 6 8( ) ( 1 )4 6 4 2 5 6 1 6 3 8 4L a b 1 . 5 ( ) )L a b a b 或 4 26 4 3()6 4 1 6L a b
