1、第二章 初 等 模 型,一、公平的席位问题,问题的提出,把定量的席位分配给不同的单位，并使得分配尽可能 地“公正”，这就是所谓的“席位分配”问题.,问题 某学校有3个系，共200名学生，其中甲系有学 生100名，乙系有学生60名，丙系有学生40名。现拟成 立有20人组成的学生会，问应如何分配学生会名额？,解 3个系的学生数所占须生总额的比例为 ，由 此不难得到名额分配方案为 。,若丙系有6名学生转到他系，其中甲系3人，乙系3人， 此时应如何分配名额呢？,一般原则是先取整数分配，小数部分按取大原则。,甲系： ；,乙系： ；,丙系： 。,即：甲系10人，乙系6人，丙系4人。,这样的分配方案是否公平
2、呢？,假设学生会成员数上升到21人，问应该如何分配？,甲系： ;,乙系： ;,丙系： .,即：甲系11人，乙系7人，丙系3人.,从中可以看出这样的分配方案并不合理. 作为丙系的 代表是不会接受这样的分配方案的.,模型的建立,假设 1.席位是以整数计量的，并且为有限个，设为个;,2.参加分配的单位为有限个，并且不超过席位数. 设 单位数为 ，即 ;,3.每个单位有有限个人，席位是按各集体的人员多少 来分配的.,所谓公平原则指的是: 每个席位在各自的集体中所代 表的人员数希望是相等的.,建模,为体现公平性，引入指标:,设 有 两个集体，人员数分别是 ，分配 到的席位数为 ，故每个席位所代表的人员数
3、分别 为,显然，若 ，则对 两个集体而言，分配是绝,对公平的: 若不相等，则“绝对不公平度”为,但下面的例子说明这样的刻画还是有缺陷的.,在上面的例子中，绝对不公平度都相等:,但实际问题是: 间存在的不公平显然要比 间 存在的不公平要大. 为此我们引入:,当 时， 吃亏，称,为 的相对不公平度；,当 时， 吃亏，称,为 的相对不公平度。,在前例中，,我们的目标是：在每一次分配时都使得相对不公平度 都达到最小.,解模,设 单位已有席位 ， 单位有席位 ，并假定 吃 亏，即 ，因而 有意义.,现考虑下一个席位的分配:,把下一个席位分配给 一定是 吃亏，此时相对不 公平度为,把下一个席位给 使 吃亏
4、，这是不可能的。,问题的关键就是在情况下，通过比较相对不公平 度的大小，确定下一个席位的分配方案，原则是把下一 席位分配给相对不公平度大的一方。由此得到以下结论:,当 时，这一席位分配 给 ;,当 时，这一席位分配 给 .,若 ，即,上式等价于,引入,则在的情况下，席位应分配给 值大的那一方。,在情况，由于,所以，,因而把席位分配给 符合上面的原则.,把上面讨论的情况一般化就得到 个单位 个席位的 分配方法：,当分配一个新的席位时，首先按计算各单位的 ，,再根据 值最大的一方进行分配。,再回到本节一开始的问题，此时,首先先给各系一个席位，因而 再计算,由此，第4个席位应该给甲系，此时 再计算
5、值:,而 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由 此得到余下的席位的分配情况（具体分配见下表）.,上面的计算结果表明: 丙系最终保住了一个席位.,二、双层玻璃窗的功效,问题的提出 在北方城市的某些建筑中，玻璃窗是用 双层玻璃构成的，并且两层玻璃之间还留有一定的空 隙。其作用是减少热量的流失。假定玻璃窗的厚度为 ， 今建立一个相应的数学模型来讨论这个问题，并与一个 厚度为 的玻璃窗进行热量流失的比较。,模型假设,1.热量的传播过程中只有传导，没有对流，即假设窗 户的密封性能很好，双层玻璃之间的空气是不流通的；,2.室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程处 于稳定状态，即沿热传导方向，单位
6、时间通过单位面积 的热量是常数；,3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。,建模,由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:,厚度为 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间 由温度高的一侧流过单位面积的热量 与 成正比，与成反比，即,其中 为热传导系数。,记双层窗内层玻璃的外侧温度是 ，外层玻璃的内侧 温度是 ，玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数 为 ，则由式，单位时间单位面积的热量传导（热 量流失）为,由此得到：,即：,再由,代入式得：,移项整理后得：,所以：,其中,再注意到，厚度为 的单层玻璃窗的热传导过程为,两者之比为,为了得到更进一步的结果，需要传导系数 的值。 实验数据表明，常用玻璃的热
7、传导系数为,不流动、干燥空气的热传导系数为,所以,取最保守的估计，即取 由，得,比值 反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的功 效。它只与 有关。下图给出了 曲线， 当 上升时， 迅速下降；而当 到达一定值后，下降趣缓。由此可见， 不必过大。,模型应用,该模型具有一定的应用价值。尽管双层玻璃窗会增加 制作工艺上的成本，但它在降低热量流失上的功效是相 当可观的。通常，建筑规范要求 ，按照该 模型， ，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材 料制成的单层玻璃窗节约热量约 左右。,三、四足动物的身材,问题的提出,如何根据四足动物的外部尺寸来估计它的重量？,要点：本模型是希望建立四足动物的躯干特征来估计 其重量，而
8、并不是研究其生理结构的特征。,模型假设,1.四足动物的躯干的外形为圆柱体；,2.躯干被架在四条腿上，把躯干看作简支弹性梁。,建模,设躯干的长度为 ，躯干截面（圆）的面积为 ，直径 为 ，四足动物的质量为 ，体重为 ，由于体重的作 用，躯干（弹性）的垂度（梁的最大挠度）为 。,由弹性力学知道：,又： ，所以,比值 是动物的相对下垂度。 太大，四肢将无法支,撑； 太小，无疑是一种浪费。因此，从生物学的角度,来说，因此对每一种动物而言， 已经达到最佳状态，,故可假设：相对下垂度 为常数。在该假设下有：,在该假定之下，有,所以：,即：体重与躯干长度的4次方成正比。,四、汽车的刹车距离,问题的提出,美国
9、的某些司机培训课程中有这样的规则: 正常驾驶条 件下, 车速每增加10英里/小时, 后面与前面一辆车的距 离应增加一个车身的距离. 又云: 实现这个规则的一种简 便方法是所谓“两秒准则”: 即后车司机从前车经过某一 标志开始默数2秒后到达同一标志，而不管车速如何.,问题分析,制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上 前车，即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速 有关. 先看汽车在10英里/小时（约16km/h）的车速下两 秒钟内汽车能行驶的距离:,所以，行驶距离用公制来表示为：,而这个距离远大于一个车身平均长度（15英寸=4.6m）. 所以“两秒准则”与上述规则并不一致. 为此，我
10、们需要 对刹车距离作仔细的分析.,注意到刹车距离是由反映距离和制动距离两部分构成 的.,反映距离由反映时间和车速决定的，反映时间取决于 司机个人的状态和制动系统的灵敏性，一般情况下，把 它视为常数，且在这段时间内车速为常数.,制动距离与制动器作用力、车速、车重及道路、气候 等因素有关. 设计制动器的一个合理原则是: 最大制动 力与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数. 基于以上分析，我们可以做这样的一些假设:,模型假设,1.刹车距离 等于反应距离 与制动距离 之和；,2.反应距离 与车速 成正比，比例系数为反应时间 ;,3.刹车时使用最大制动力 ， 所做的功等于汽车动能 的改变，且 与车
11、的质量 成正比.,建模,由假设2，,再由假设3，在力 作用下行驶距离 作的功 使 车速从 变成 ，动能的变化为 ，即,又 由牛顿第二定律 再由上式得,其中 由假设1刹车距离为,为了将模型应用于实际，需要知道参数 的值. 取的经验估计值 而 用曲线拟合来得到:,利用表中的数据及 得 ，于是,上表中的第三列的数据是由式计算得到的，下图给,出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较。,模型的应用,按照上述模型可以将所谓“2秒准则”修正为“ 秒准则”， 即后车司机可以从前车经过某一标志开始默数 后到达 同一标志， 由下表给出:（单位：英里）,五、扬帆远航,问题的提出,海面上东风劲吹，帆船从 点驶向正东方的
12、点，为 了借助风力，船应该先朝东北方向前进，然后再转向东 南方，问题是如何选择起航时的航向 和帆的朝向 .,模型分析,帆船在航行过程中既受到风通 过帆对船的推力，又受到风对船 的阻力.,风的推力分解成 其中 与帆垂直， 与帆平行. 又分解成 为风在航向上的推 力, 风的阻力 分解成 其中 为风在航向上 的阻力，因为 与 的方向正好相反，所以船受到的 净推力为,由流体力学知道：在船速不大的 情况下航速与净推力成正比. 于是 当船的航向 与帆的朝向 确定之 后，应该使船在正东方的速度，即,净推力在正东方向的分力达到最大.,模型假设,记帆的迎风面积为 ，船的迎风面积为 ，,1. 风通过对帆的推力 与
13、 成正比，风对船体的阻力与 成正比，比例系数相同；,2. 的分力 与帆面平行，可以忽略；,3.分力 和 垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考 虑；,4.航速 与净推力 成正比，比例系数为,建模,根据模型假设和图2中各个力之间的几何关系，得到,记船在正东方的速度分量为 则,则问题是确定 和 ，使 最大.,解模,该问题是一个二元函数的极值问题。由， 与 无 关，故首先在 固定时，使 最大，解出 ，然后再求使 最大.,由式,在式对 求导, 并令其为令, 则有,得 此时,最大. 将上述结果代入到式，得,由式，记,则式为,由上式, 知当 时, 达到最大, 又,即,因而有 从而有,结果分析,航向 角应在 和
14、 之间（具体数值取决于 和之比），帆的朝向 角为 的一半。这是 点出发时 船的航向及帆的朝向. 行驶时点 将不在船的正东方， 上述结论不再成立，此时，应不断调整 和 ，才能尽 快达到 点.,六、量纲分析法,量纲分析法是20世纪初提出的在物理领域中建立数学 模型的一种方法。它通过物理定律中的量纲齐次原则， 确定各物理量之间的关系，最终建立相应的数学关系， 从而得到对应问题的数学模型.,许多物理量是有量纲的。有些物理量的量纲是基本的， 我们把它们称为“基本量纲”；而某些量纲是由这些量纲 组成的，因而把它们称为“复合量纲”.,基本量纲,时间量纲,长度量纲,质量量纲,复合量纲,速度量纲,加速度量纲,力
15、的量纲,万有引力系数,上式说明：万有引力系数是一个有量纲的量。,无量纲的量记作,定理1 设 个物理量 间有关系式,其中 有基本量纲，而 各量的量纲为由上述量纲表示的复合量纲，则关系式 可表示为 个无量纲 间的关系式,定理2 设 个物理量 间有关系式,又设有 个基本量纲 ，且所有的物理 量 的量纲可表示为,若矩阵 的秩为 ，则关系式可表示为,其中 为无量纲的量，它们可表示为,而 是线性方程组,的基本解，其中,由以上两个定理可以看到：若假定各物理量间的关系 式的形式为,则量纲分析法所用的数学方法就是求解线性方程组。,由于式两端的量纲必须相同，则有,例1 设质量为 的小球系在长度为 绳的一端，稍偏
16、离平衡位置后，小球在重力的作用下做往复运动，求摆 动周期 的表达式。,解 设在这个周期运动中各个量之间有下列关系：,其中 是个无量纲的比例系数， 是 重力加速度， 为待定常数。,由于关系两边的两量纲应该相等,故得,由基本量纲得,由此得关系式,该方程组的唯一解是,代入到得,而我们知道正确的公式是,注意得是，上面两个公式仅有常数的差别。此说明在 利用量纲分析法得到了所需要的关系之后，还要用实验 数据来确定未知常数。,另外在例中的关系式中，小球的质量 没有出现，此 说明周期与小球质量无关。,例2 速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上，空气 密度为 试用量纲分析法建立风车功率与 之间 的关系。,解 设
17、功率为 且,由功率的定义： 所以,又由假设：,从而得到：,比较上两式即得：,即有： 所以关系式为,例3 不可压缩粘滞流体在管道内的稳定流动问题。,解 在该问题中牵涉到的物理量有：管长 流速 流 体密度 管道两端的压强差 和重力加速度 基本量 纲是 其它的物理量纲有：,设粘滞系数为 则由定义 得,再假设这些物理量之间有关系,上式两边的量纲必须相同，即有：,由此得到方程组：,方程组的系数矩阵为,注意到三阶行列式,从而系数矩阵的秩为3，方程组有3个基本解：,由此获得三个关系式：,由定理2得,其中 在理论力学中分别被称为Reynold数和Froude 常数。,七、练习,1.某学校有1000名学生, 其
18、中255人住在 楼, 333住在 楼, 432住在 楼, 学生们要成立一个10人的委员会, 试 用两中方法确定各宿舍的委员个数. 并当委员数上升15 人时, 确定分配方案.,2.在商品社会里, 有些大包装商品的单位重量价格比小 包装商品的单位重量价格要低一些, 试用比例法来构造 产生这种现象的数学模型.,提示: 可以按下面的思路来构造模型:,商品价格与商品生产成本, 运输成本, 包装成本等 因素有关, 先确定哪些量与商品重量成正比, 哪些量与 商品包装的表面积成正比. 当商品的外形不变时来确 定商品重量和商品包装的表面积的关系, 在此基础上, 建立起保装商品的单位重量的价格 与商品重量 的 关系.,根据在中所建立的关系式, 计算出单位的变化率.,如此, 就能根据这个模型来解释本题所提出的商品现象.,设某商品有三种不同的包装, 它们的重量分别为并且 相应的单价为 和 试证明,并说明上式的实际意义.,3.用量纲分析法研究人体浸在均匀流动的水中时损失的 热量. 记水的流速 密度 粘性系数 热传导系数 人体尺寸 证明人体与水的热交换系数 与上述各物理 量的关系可表为,其中 是未定函数, 定义为单位时间内人体的单位面积 在人体与水的温差为 时的热量交换.,
