1、CH 6 傅里叶积分变换,1、傅立叶积分,3、傅立叶变换的性质,4、卷积及傅立叶变换的应用, 6.1 傅立叶（Fourier）积分,1.主值意义下的反常积分,2.Fourier积分公式,1. 主值意义下的反常积分,定义1 设函数 在实轴的任何有限区间上都可积.若极限 存在,则称在主值意义下 在区间 上的反常积分收敛,记为：,由定义 (1)函数在普通意义下收敛，在主值意义下必收敛， 在主值意义下收敛，在普通意义下未必收敛；,(2)若函数为偶函数则意义一致；,例1,解:,2. Fourier积分公式,定义2：,定理1（傅里叶积分定理）：,例1. 求下列函数的傅里叶积分表达式.,解：, 6.2 傅立
2、叶（Fourier）积分变换,1.傅里叶积分变换的概念,2.单位脉冲函数,定义：,1. Fourier积分变换及逆变换,若函数为奇函数或偶函数时，积分式可改为特殊三角结构,例1. 求下列函数的傅里叶变换.,解：,例2. 求下列函数的傅里叶变换及逆变换.,解：,由傅里叶积分定理：,练习： 求下列函数的傅里叶变换.,2. 函数的概念,在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流
3、；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.,1）引例,在原本电流为零的电路中，在时间t=0 时刻进入一单位电量的脉冲，现在需要确定电流,定义：,满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（ ）,其物理意义：在某时刻出现宽度无限小，幅度无限大，面积为1的脉冲,定理：,积分中值定理,由此得：,例2. 计算下列各式.,解：,2）,1）,练习：,解：,证明：, 6.3 傅立叶变换的性质,
4、1.线性性质,2.位移性质,3.微分性质,4.对称性与相似性,5.积分性质,1.线性性质,练习：,2.位移性质,证明：,同理可证第二部分,练习：,解：,推论：,3.微分性质,证明：,推论：,例1：计算.,练习：,4.对称性与相似性,2）相似性,1）对称性,例2：,例3：,解：（1）,5.积分性质,证明：,练习：,2.位移性质,3.微分性质,4.积分性质, 6.4 卷积及傅立叶积分变换的应用,1.卷积的概念,2.傅里叶变换的应用,1.卷积的定义及其存在性,定义：,例1. 求下列函数的卷积.,解：,解：,例2. 求下列函数的卷积.,练习：对函数,解：,2.卷积的性质,证明：,证明：,3.Fourier变换的卷积定理,证明：,例3. 证明Fourier变换的积分性质.,证明：,4.Fourier变换的应用,例4. 求特殊函数的积分.,例5：求解下列积分方程.,解：,例6：,一般思想为：将方程两端同时进行傅里叶变换，将微积分方程转换为代数方程，从而求解出像函数，最后通过像函数解出原函数。,
