1、第五章 模拟信号与系统的数字处理,本章重点 熟悉带限近似概念和特性 掌握信号均方逼近方法 了解模拟系统的数字逼近的一般方法 熟悉切比雪夫逼近法 了解最小均方误差逼近法 了解插值逼近法,第五章 模拟信号与系统的数字处理,带限近似(Bandlimited Approximations) 本节主要讨论用带限信号近似逼近任意信号的方法，并研究各种方法的特点和截短误差。 采样和内插(Sampling and Interpolation) 采样(Sampling) 定义： 为x(t)的等间隔采样，采样间隔为T，容易求得：式中，X()是X(t)的付氏变换。,带限近似,内插(Interpolation) 定义
2、：为x(t)的内插函数，式中k(t)为一给定函数。 设 ，容易证明：采样与内插之关系(The Relation Between Sampling and Interpolation) 因为 ，所以 即采样函数与k(t)的卷积为内插函数，或者说，内插函数xk(t)是采样函数x(t)通过一个系统函数为k(t)的系统后的响应。,带限近似,若则：xk(nT)=x(nT)，即内插函数xk(t)的采样等于x(t)的采样。在许多应用场合，所选择的k(t)通常满足xk(nT)=x(nT)。 内插逼近是以x(nT)为权值，由给定函数k(t)的叠加来逼近近似x(t)的。 例5-1：设k(t)为一个三角形函数，此时
3、其内插函数xk(t)以一个内接多边形去逼近近似x(t)，其示意图和系统框图如下图所示。内插函数付氏变换为：,信号逼近及系统,xk(t),x(t),xk(t),x*(t),带限近似,采样定理(The Sampling Theorem) 若对一个能量有限信号x(t)，有：X()=0 | 则称x(t)为带限信号。 采样定理告诉我们，对带限信号按一定规律(T/) 进行采样，则由采样值可以无失真地恢复x(t)。亦即，有：式中，为理想低通。将其考虑成内插时，可得其给定函数定义为理想低通冲激响应：,带限近似,输入为采样信号x(t)时，其内插函数（理想低通系统响应）为：截断误差(Truncation Erro
4、r) 由上式可见，一个带限信号可由其样值的无穷级数表示，然而在实际应用中，只能用有限阶级数去逼近x(t)。即：,带限近似,只要N足够大，其误差就足够小。若采用均方误差描述截断误差，则有：而且还有：式中，eN为误差x(t)-xN(t)的能量，不等式给出了误差瞬时值的上限。 带限近似(Bandlimited Approximations) 用求和求卷积 (Convolution as Summation) 设一个系统函数为Ha()的线性时不变系统，若输入x(t)是带限的，则其响应y(t)可由x(t)和h(t)的样值求和获得：,带限近似,式中：证明：因为Y()=X()Ha()，而x(t)是带限的，由
5、采样定理，有： Y()=X()P() Ha()=X()H()，即：显然，当输入为x(t+)时，其响应为：,带限近似,带限内插近似(Bandlimited Interpolation Approximations) 对一个任意函数x(t)和一个常数T，可用一个加权函数k(t)=sint/t构成的内插函数：来近似。显然，由于 ，所以内插函数xi(t)是x(t)通过一个频谱为P()的理想低通而获得的。换言之，xi(t)是由无穷多个权值为x(nT)的取样函数Sa(t)叠加而成。 显然，用xi(t)逼近近似x(t)，其误差为：,带限近似,带限内插近似在t=nT时，|x(t)-xi(t)|=0，在其它t时
6、刻的误差上限为：带限均方近似(Bandlimited Mean-Square Approximation) 带限均方近似提出的问题是： 对一个任意函数x(t)，寻找一个带限函数y(t)去逼近x(t)，使得其均方误差最小：,带限近似,下面将证明，当Y()=X()=X()P()，即：时，均方误差e最小。 证明：因为|时，Y()=0，所以有：显然，当逼近函数y(t)满足：亦即，若当|时，Y()=X()，则e中第二项为零，达到最小。,带限近似,也就是说： x(t)的最佳均方逼近近似函数是将x(t)作为输入信号通过一个带宽为的理想低通后的响应函数。 容易证明，均方近似的误差上限为：证明：,带限近似,二种
7、逼近的比较(The Comparison of The Two Approximate Methods) xi(t)和x(t)都是带限函数，即二种近似均是以一个带限函数去逼近一个任意函数； xi(t)和x(t)均可由其样本值xi(nT)和x(nT)确定，即：,带限近似,内插近似在时域具有更好的近似（因为xi(nT)=x(nT)）；均方近似则在频域具有更好的近似（因为X()=X()P()）。 x(t)产生最小的均方误差，内插近似误差的上限是均方近似误差上限的二倍。但是，内插近似误差的最大值不是一定大于均方近似误差的最大值。 若x(t)不是带限的，均方逼近近似的波形稳定性比内插逼近近似好。 由于采
8、样起点的改变，内插和：,带限近似,不是xi(t+)的逼近，而是xi(t)另一逼近(有误差的逼近）。换言之，在内插逼近时，由于采样的抖动，将会导致逼近为非唯一波形。而均方逼近则不然，因为对均方逼近近似有：即均方逼近近似能保持逼近波形的稳定。而这种波形的稳定性又常常是在模拟信号数字变换（如电视扫描信号）所期望的。因此，在实用中均方逼近近似的应用更多。,第五章 模拟信号与系统的数字处理,均方逼近原理(The Theory of Mean-Square Approximation) 均方近似在信号分析和系统逼近中都有较多应用，而且利用高等代数可以严密地描述和分析均方近似问题。本节主要介绍利用数学工具研
9、究均方逼近的方法。 一些数学概念和原理(Maths Concept and Principle) 内积(Inner Products) 设x(t)和y(t)为复函数，记：,均方逼近原理,为x(t)和y(t)在t(a，b)的内积。当a-，b时，上式为在(- ，)上的内积定义。 设 ，由巴塞瓦公式：定义频域上的内积：所以有：,均方逼近原理,正交函数(Orthogonal Functions) 若函数x(t)、y(t)，满足： ， 则称x(t)与y(t)是正交的。 由时频域内积关系知：两正交函数的付氏变换也是正交的。 投影(Projection) 用n个线性独立信号yk(t)的线性组合：来逼近一个任
10、意函数x(t)，其加权系数ak由均方误差：,均方逼近原理,最小来确定。此时 称作x(t)在函数yk(t)空间Sy上的投影。 正交原理(Orthogonality Principle) 最佳系数ai使得 与函数族yi(t)正交：证明：要ai最佳，即要求：即 成立。 上式也可写作：,均方逼近原理,解上述n元方程组，即可得到最佳系数ai。 正交展开(Orthogonal Expansions) 若函数族yi(t)构成一个正交系，即：则逼近最佳系数ai可由下式求得：定义：若函数族yi(t)是正交的，而且：称yi(t)是一个正交归一函数族。,均方逼近原理,由投影和正交归一函数族定义，可以推得：推论：若
11、是x(t)在Sy空间的投影，而yi(t)又是正交归一族，则均方误差由下式给出：证明：由正交原理，若 是x(t)在Sy空间的投影，则：,均方逼近原理,由数学知，在一个完备空间中，一个函数可由别的函数线性组合来描述，而且是封闭的。所以，在近似理论中，一个重要课题就是研究S空间中函数x(t)的完备空间Sy，即研究在什么条件下，x(t)可在S空间中表示为在函数族yi(t)上的投影。 由数学可知，付氏级数、付氏变换和拉氏变换均可构成完备空间。,均方逼近原理,三角函数族(Trigonometric Function Set) 对给定函数x(t)，用三角函数逼近，即选择 ，由逼近函数定义，在区间(-T/2，
12、T/2)中x(t)可由xN(t)均方逼近：式中，ak由使得均方误差eN最小原则而确定。 容易看出：,均方逼近原理,即 是正交归一函数族，所以，最佳系数可按下式求得：显然，ak即为x(t)在(-T/2，T/2)区间内展开的付氏级数系数。用xN(t)逼近x(t)的均方误差为：,均方逼近原理,由于三角函数族在(-T/2，T/2)区间内是完备的，只要x(t)满足狄克利克莱条件即可由xN(t)最佳逼近。 频域逼近(Frequency Approximation) 由时频内积相等关系可得：若 ，而且yi(t)是正交的，并在时域空间St内是完备的，则Yi()也是正交的，而且Yi()在频域空间S中也是完备的。
13、所以，可以得到结论： 若 ，则X()的均方逼近为：,均方逼近原理,证明：因为 ，即只要是x(t)的时域均方逼近，则 就是X()的频域均方逼近。同时：式中：,均方逼近原理,例5-2：设函数族为： ，试证明yk(t)是正交的，并求出其在时域和频域的均方逼近函数。 解：因为：由于： ，所以：,均方逼近原理,即yk(t)是正交归一的。因此：从而，x(t)可由函数xN(t)逼近：X()可由XN()逼近：,均方逼近原理,此时，逼近均方误差最小。因为：,均方逼近原理,从而均方误差为：从上例逼近式可看出，当N时，有：为理想采样展开式，可见函数族 在带限函数空间是完备的。 同理，当N时，也有：,均方逼近原理,为
14、付氏级数展开式，即函数族ejkT在所有具有X()=0，|特性的X()空间内是完备的。 指数函数族(The Exponential Function Set) 在研究信号和线性系统时，常用函数族： 描述和逼近信号与系统。但是容易证明yi(t)不是正交函数集，所以不能利用正交函数族的方法求得ai。为了求解ai，可构造一个正交函数i(t)，使i(t)是yi(t)的线性组合，这样，用i(t)的组合来逼近f(t)就等效于用yi(t)逼近，下面分别讨论i(t)和用i(t)逼近的方法。,均方逼近原理,正交函数的构造(The Constitution of Orthogonal Function) 设yi(t
15、)不正交，做函数族i(t)，使得：而且，通过选择 ，使其满足正交性：显然，由假设的正交性（上式），可求得系数：由此可见，所构建的函数族i(t)是正交的。,均方逼近原理,定理：由指数函数族 构成的正交集i(t)的拉氏变换i(s)由下式给出：证明：上式是真分式，可分解成单极点分式和式形式：由拉氏变换显见，其反变换i(t)是指数函数的线性组合。 而且有：,均方逼近原理,由此可得：所以， i(t)是正交的。 由定理可见， i(s)有i-1个零点，是极点-s1， -si-1的镜像，如右图所示。 指数函数逼近(Exponential Function Approximation) 设 ，则x(t)与yi(
16、t)的内积为：关于指数函数逼近，有如下定理：,均方逼近原理,定理：若逼近函数为：而且，式中系数ak使得均方误差：最小，则：证明：由正交原理知，要逼近的均方误差最小，则要求：,均方逼近原理,亦即定理成立。 由定理可知，在S域中 处逼近函数的拉氏变换值与原函数的拉氏变换值相等。在这个意义上说，它属于S域（频域）内插逼近。亦即，指数函数逼近，时域的均方逼近等价于S域中的内插逼近。 由定理可得一种方便的求ak的方法。已知：因此，逼近函数的拉氏变换可写作：,均方逼近原理,利用 ，可得n个方程，联立求解这n个方程，即可求出bi，i=1,2,，n，由因式分解，即可求出ai，i=1,2,，n。 离散信号(Di
17、screte Signals) 对离散信号，同样可以得到与连续信号类似的结果。 内积(Inner Products) 两序列x(n)和y(n)的内积定义为：若 ，由帕塞瓦公式：,均方逼近原理,若将 的内积定义为：则： 推论：若对x(n)与y(n)有：则称序列x(n)与y(n)是正交的。 均方逼近(Mean-Square Approximation) 若序列yk(n)是线性独立的，用：,均方逼近原理,去逼近一个任意序列x(n)，而且其均方误差：最小，则称 是x(n)的均方逼近。 正交原理(Orthogonality Principle) 若ai是最佳系数，则误差f(n)- 与序列yk(n)正交：
18、若序列族yk(n)是正交的，即：则：,均方逼近原理,几何级数(Geometric Progressions) 若x(n)是一个因果序列，且：yi(n)=zi-nu(n) 则：定理：若 ，而且选择ak使得均方误差：最小，则：,均方逼近原理,式中， ，称 是x(n)的均方逼近。 定理：若i(n)是序列zk-nu(n)(1ki)的线性组合，i(z)是i(n)的Z变换，而且：则：显然，i(z)有i-1个零点 ，它们与i(z)的前i-1个极点 是关于单位圆对称的，如下图所示。,零极点位置示意,第五章 模拟信号与系统的数字处理,模拟系统的数字仿真(Digital Simulation of Analog
19、Systems) 本节主要从原理上讨论实现数字滤波器的一般方法。 数字仿真的一般方法(The Common Method of Digital Simulation) 仿真原理(Simulation Principle) 由前已知，一个模拟系统Ha()，若输入为带限信号x(t)时，输出可写作：,模拟系统的数字仿真,式中，h(t)是系统Ha()的截短冲激响应：对y(t)进行取样，有：并令：x(n)=x(nT)，g(n)=Th(nT)，y(n)=y(nT) 所以：,模拟系统的数字仿真,由此可见，y(t)的取样y(n)是脉冲响应为g(n)，输入为x(n)的输出。在z域，因为 ，所以：从而有：证明：因
20、为：,模拟系统的数字仿真,对上式两边求H()的卷积，而且 ，有：即G(ejT)是周期函数，而且：仿真方法(Method of Simulation) 通常，仿真的问题是，已知Ha()和x(t)，通过数字系统求出响应y(t)。步骤为：,模拟系统的数字仿真,由模拟信号或系统确定仿真系统带宽（或/T）； 由Ha()构造一数字系统，这可由时域或频域获得： 时域：由Ha()H()h(t)g(n)=Th(t)|t=nT 频域：由G(ejT)=H()=Ha()，|；求得G(z) 将x(t)的样本x(n)通过g(n)G(z)系统，求得输出y(n)； 因为x(t)带限，而Y()=X()G()，所以y(t)也是带
21、限信号。从而，由采样定理，将y(n)通过通带为的低通，即得：数字仿真系统的演变过程示意如下图（图5.4）所示。,数字仿真系统演变示意,G(ej),g(n),模拟系统的数字仿真,逼近问题(The Approximation Problem) 设计离散系统的另一种方法是利用计算机辅助设计(CAD)实现，即采用各种最优化方法求得。 逼近原理(Approximation Principle) 设已知： H(ejT)=H()=Ha()，| 其逼近问题就是要确定一个阶次为m的有理函数：或逼近系统函数或单位脉冲响应。逼近的基本方法是：,模拟系统的数字仿真,确定一定的原则（时域或频域）去判定逼近误差； 按最优
22、化思想和方法，用计算机迭代的方法求出满足误差要求的m以及2m+1个系数ak和bk（或等价地求m+1个系数Ak和G(z)的m个极点zk）。 误差准则(Error Criteria) 切比雪夫准则和均方准则是两个在滤波器设计中常用的准则。 切比雪夫准则(Tchebycheff Criteria) 若所设计的数字滤波器g(n) 的时域最大误差：或者其频域（H(ejT)）最大误差：,模拟系统的数字仿真,最小，则称滤波器G(z)在切比雪夫（最大值最小）意义下是最佳的。 均方准则(Mean Square Criteria) 若设计的数字滤波器的均方误差：最小，则称滤波器G(z)在均方意义下最佳。,第五章
23、模拟信号与系统的数字处理,切比雪夫逼近设计法 (The Design Method of Tchebycheff Approximation) 基本思想(The Basal Thought) 若所需设计得到理想函数为f(x)，通过合理选择和构造得到一个逼近函数 ，使得误差函数 ：在函数的定义区间a，b内的最大值En达到最小。 在系统设计中f(x)可以是期望系统的单位脉冲响应h(n)，也可以是期望系统频谱特性H(ejT)；与其对应， 可以是逼近系统的单位脉冲响应g(n)，也可以是逼近系统的频率响应G(ejT)。,切比雪夫逼近设计法,基本原理(The Basal Theory) 切比雪夫逼近法是建
24、立在逼近误差最大值最小准则基础上的。 最大值最小准则 对于给定区间a，b上的连续函数f(x)，在n阶多项式集合Fn中寻找一个多项式 ，使其在a，b区间上逼近f(x)而产生的偏差是Fn集合中任意n阶多项式p(x)与f(x)的偏差的最小值，即,切比雪夫逼近设计法,1）可以证明满足最大值最小准则的多项式 是存在的，而且是唯一的； 2） 是可以用规范系统的方法构造的； 3）在系统设计中，定义区间a,b通常为系统实现所覆盖的区域。 交错点组定理 交错点组及交错点组定理讨论研究了如何寻找和判断满足最大值最小准则的n阶有理多项式 。 定义5.8：设E(x)在a,b连续 ，取1或-1；点集 满足 ，,切比雪夫
25、逼近设计法,设 为E(x) 的范数，为 E(x) 在区间a,b上的最大值，当且仅当 成立时，称点集E(xj)为E(x)在a,b上的交错点组。 定理5.7 （交错点组定理） ：设f(x)是a，b上的连续函数，为Fn集合中的一个阶次不超过n的多项式， 是f(x)的最大值最小意义下的最佳逼近多项式的充要条件是：误差曲线 -f(x)在a，b上有一个交错点组，这个交错点组的交错点数最少有n+2点。,切比雪夫逼近设计法,按照交错点组定理，寻找和构造 应该使误差曲线 f(x)满足交错点组定理。 切比雪夫多项式 切比雪夫多项式是切比雪夫构造的一个满足交错点定理的n阶多项式。切比雪夫多项式在Fn中与0的偏差最小
26、，因此，若在滤波器设计时，其实现的误差曲线是一个切比雪夫多项式，则可保证设计的滤波器系统函数是满足最大值最小意义上的最佳逼近多项式。,切比雪夫逼近设计法,切比雪夫多项式：切比雪夫多项式的主要性质有 1）递推关系由递推关系可以求得任意n阶的切比雪夫多项式。 2） 是n阶代数多项式。 3） 的xn项系数为2n-1。,切比雪夫逼近设计法,4） 在-1，1中有n+1个点 轮流取最大值+1和最小值-1。 5）在所有的n阶多项式中， 与0的偏差最小，这样，若找到一个n阶多项式 ，使得其与希望逼近的理想函数f(x)的误差函数为某个 ，那么该 将是对f(x)的在最大值最小意义上的最佳逼近。 6）当n为奇数时，
27、 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数； 7）满足交错点组定理的逼近函数 ，在逼近时一定具有等波纹性质。,切比雪夫逼近设计法,设计方法（Design Method） 下面以低通滤波器为例，介绍切比雪夫逼近法的设计方法，该方法可以推广到一般。 滤波器指标 设频率为归一化数字频率，即设取样间隔为T，取样率 ，有设需逼近设计的滤波器用幅度频率响应描述为,切比雪夫逼近设计法,其实现的技术指标由图5.5给出的指标样板图所示，图中 p：滤波器通带频率； s：滤波器通阻带频率； 1：通带波纹峰值； 2：阻带波纹峰值； 逼近滤波器系统频率特性 假定设计的逼近滤波器阶数为N是奇数，h(n)为偶对称，由滤波器设计的
28、相关知识，逼近滤波器频率响应可写作,低通滤波器指标图示,切比雪夫逼近设计法,式中， 为幅度特性， 。 逼近误差函数 设：Bp表示滤波器通带：0p；Bs表示滤波器阻带：s；系统设计频率集F=BpBs为（0）上的一个频率子集，滤波器在F集合内工作。定义一个加权函数W(ej),切比雪夫逼近设计法,式中，k由指标1和2确定，它主要是控制滤波器在通阻带具有不同的逼近精度。 这样，逼近误差函数可定义为由此可知，设计（切比雪夫逼近）的任务就是：寻找系数a(n),n=0,1,N1使得5.116式定义的加权误差函数的最大值最小。,切比雪夫逼近设计法,逼近方法 由交错点组定理知，Gg(ej)是在频率子集F上对H(
29、ej)的唯一的最大值最小最佳逼近的充要条件为误差函数E(ej)在F上至少呈现N1+2个“交错”频率点。而且可以证明（参见文献6，p258262）该N1+2点满足 而且所以，由加权误差函数易得,切比雪夫逼近设计法,由上式可以看出，若已知N1+2个交错频率点 则可以从式中求出满足最佳逼近的系数a(n)。为了方便书写，若将a(n)改写成an， 改写成W(i)， 改写成H(i)；则上式可改写成如下矩阵形式：,切比雪夫逼近设计法,切比雪夫逼近设计法,理论上讲，若已知N1+2个交错频率点 ，求解上式定义的矩阵方程即可解出满足最佳逼近的系数a(n)。但是，在实际实现时存在两个困难： 1）交错点组的交错频率点
30、 事先是未知的； 2）直接求解上式描述的矩阵方程比较困难。 因此，通常在实际工程应用中求解最佳系数是采用最优化的方法来求解的。一般求解系数的方法有：非线性最优法、多项式内插法、线性规划法和Remez算法等。在这里，仅讨论Remez算法，其它的方法可参考相关资料，如文献7、8等。,切比雪夫逼近设计法,Remez算法 (Remez Algorithm) Remez算法的思路是：先假设一组交错频率点，计算这些频率点处的是否为极值点，若不是再探换，继续迭代计算，直至求得交错点组为止。 Remez算法实现步骤如下 1)在频率子集F上等间隔地取N1+2个频率点 ，作为交错点组的初始值，然后按下式计算：,切
31、比雪夫逼近设计法,式中利用拉格朗日插值公式（由数学上可以证明，满足最大值最小最佳逼近的多项式为拉格朗日多项式，可参见文献6），这样，不需求a(n)即可得到初始的 ：,切比雪夫逼近设计法,式中2)在频率子集F上，对所有频率计算E(ej),并判断是否对所有频率均有 ，若是，则 为交错点组，逼近结束；否则需要重新设立新的交错点组，其方法如3）。 3)对前一次设定的交错点组中的每个点，都在其附近检查是否在某个频率处有 （通常在两交错点间设立一定的频率点密度，如设立16点），若有，则在该点附近找出局部极值点，并用这局部极值点代替原来,切比雪夫逼近设计法,的频率点，待N1+2个点检查完毕后，便得到一组新的交错点组，完成一次迭代。 4)用新得到的交错点组，重复1）3）步，直至到达的极限（是随着迭代次数递增的，当到达其上限时，对应的 即为H(ej)最佳逼近的解）， 就确定了，结束迭代。 5)若需要，由 做反变换，即可求得逼近系统的单位脉冲响应g(n)。,
