1、第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function),4.1 复数项级数 4.2 复变函数项级数 4.3 泰勒（Taylor）级数 4.4 洛朗(Laurent)级数,第一讲,4.1 复数项级数4.2 复变函数项级数,4.1 复数项级数,一、复数序列的极限,二、复数项级数,(Series of complex number）,一、复数序列的极限,记作,就能找到一个正数N,从而有,定理4.1,反之, 如果,从而有,证毕,称为复数项级数.,称为级数的部分和.,若sn(n=1,2,)以有限复数s为极限,二、复数
2、项级数,即,则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成,否则称级数(4.1)为发散.,定理4.2 复级数收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:,解（1）,（2）,例3,解,证明 因为级数 收敛的充分必要条件是,都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是,定理4.4若级数 收敛， 则级数 也收敛.,为条件收敛。,为条件收敛。,为条件收敛。,为条件收敛。,例4,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,所以由正项级数的比值判别法知:,解：因为,故原级数收敛.,所以原级数条件收敛.,例5,解,4.2 复变函数项级数,一、复变函数项级数,二、幂级数,(Series of functi
3、on of complex variable),设复变函数项级数f1(z)+f2(z)+f3(z)+fn(z)+ (4.2) 的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函 数f(z),对于D内的每一点z, 级数（4.2）均收敛于 f(z), 则称f(z)为级数(4.2)的和函数, 记为:,一、复变函数项级数,的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1, c2 , 都是复常数.,二、 幂级数,形如：,以上幂级数还可以写成如下形式,定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛.,a,收敛,它的各
4、项必然有界,即有正数M,使,(n=0,1,2,),证明 设z是所述圆内任意点.因为,在圆K内绝对收敛.,推论 若幂级数(4.3)在某点z2(a)发散,则满 足|z-a|z2-a|的点z都是幂级数(4.3)发散点.,a,z1,z2,当 za有以下三种情况:,幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的，,例如, 级数,(2) 对于任意za幂级数（4.3）都发散.,例如,级数,(3)存在一点z1a,使级数收敛(此时,根据定理4.5的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使幂级数（4.3）,发散.(肯定|z2-a|z1-a|);根据推论知,它必在圆周|z-a|=
5、|z2-a|外部发散.),.,.,收敛圆,收敛半径,收敛圆周,一个幂级数在其圆周上的敛散性有三种可能:(1)处处发散. (2)处处收敛.(2)既有收敛点,又有发散点.,幂级数的收敛半径的求法,则幂级数 的收敛半径为:,(4.4),所以收敛半径,这个例子表明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,所以,解,解：,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,级数收敛,且其和为,收敛半径另一求法,O,x,y,a,b,当|z-a|b-a|=R时 级数收敛,(1) 幂级数,的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|R(0R+) 内解析.,说明：同实变函数幂级数一样
6、，我们有,可以逐项求导至任意阶.,可以逐项求积分.,(3)在收敛圆K内,幂级数,利用逐项积分,得:,解,所以,例5 计算,解,课后作业,一、 思考题：1、2二、习题四：1-5,第二讲,4.3 泰勒（Taylor）级数4.4 洛朗(Laurent)级数,一、解析函数泰勒定理 二、一些初等函数的泰勒展式,4.3 泰勒（Taylor）级数 (Taylors series),一、解析函数泰勒定理,幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个 解析函数.反过来，解析函数能否展开成幂级数?,定理4.6,此式称为 在 的泰勒展开式, 它右 端的级数称为 在 处的泰勒级数.,二、一些初等函数的泰勒展式,例2 把下列函
7、数展开成 z 的幂级数,（3） 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.,解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.,因为,推论2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点。(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛),而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数,1-z2+z4-,它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.,4.4 洛朗(Laurent)级数 (Laurents serie
8、s),一、双边幂级数,二、解析函数的洛朗展式,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 本节将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,一、双边幂级数,的级数称为双边幂级数,形如,负幂项部分,非负幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,f1(z),f2(z),f(z),收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:,R,a,a,R,a,r,H,f(z)=f1(z)+ f2(z,例如级数,问：在圆环域内解析的
9、函数是否一定能够展开成幂级数?,其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:,定理4.7 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则,C为在圆环域内绕z0的任 何一条正向简单闭曲线.,二、解析函数的洛朗展式,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 的洛朗级数.,称为函数 在以 为中心的圆环域: 内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 在此圆环域内的洛朗级数.,常见的特殊圆环域:,将函数展成洛朗级数,常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法,1. 直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点: 计算往往很麻
10、烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .,优点 : 简捷 , 快速 .,2. 间接展开法,典型例题,例1,解,由定理知:,其中,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,分别在圆环域 （1） 0 |z| 1; （2） 1| z| 2; （3）2 |z| + 内 展开成洛朗级数.,解:(1)在(最大的)去心邻域,(2) 在(最大的)去心邻域,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.,特别的，当洛朗级数的系数公式,（即可利用Laurent系数计算积分）,例5,解：,例6,解：,课后作业,一、 思考题：3二、习题四：6-10,
