1、1,理论力学,第四章 摩擦,2,第四章 摩擦,前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。当物体的接触表面确实比较光滑，或有良好的润滑条件，以致摩擦力与物体所受其它力相比的确很小时，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程实际问题中，摩擦成为主要因素，摩擦力不仅不能忽略，而且还应作为重点来研究。,由于摩擦是一种十分复杂的物理现象，涉及面广，本章只限于讨论工程中常用的近似理论，主要介绍滑动摩擦和滚动摩阻定律，重点研究有摩擦存在时物体的平衡问题。,3,定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑动趋势时，其接触处产生的阻
2、碍物体相对滑动的力叫滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。,4-1 滑动摩擦,4,1. 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力,如图(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，当水平方向无拉力时，显然有P=FN。现在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，如图(b)所示，当拉力F由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。,5,由此可见，支承面对物体的约束力除了法
3、向约束力FN外还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即,6,实验表明,上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。式中 fs 称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验来确定。,2. 动滑动摩擦力,当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd 表示，大小可用下式
4、计算。,式中 fd 是动摩擦因数，通常情况下，,7,4-2 摩擦角和自锁现象,1. 摩擦角,当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力FR。,它的作用线与接触处的公法线成一偏角j ,如图所示，当静摩擦力达最大时， j 也达到最大值jf ,称jf 为摩擦角。,8,当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，R的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2 j f的圆锥。,9,物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大
5、值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即,由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。,N,Fmax,R,j,jf,2. 自锁现象,10,q,jf,jf,jf,R,RA,A,j,(1)如果作用于物块的全部主动力的合力R的作用线在摩擦角jf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力R与法线间的夹角q jf，因此， R和全约束反力FRA必能满足二力平衡条件，且q = j jf 。,11,(2) 如果全部主动力的合力R的作用线在摩擦角j之外，则无论这
6、个力怎样小，物块一定会滑动。因为在这种情况下，q j f，而j j f，支承面的全约束反力RA和主动力的合力R不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。,12,利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法测定摩擦因数。,摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q ,即,13,斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角a就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P，相当物块A的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角a小于或等于摩擦角jm。因此螺纹的自锁条件是,14,4-3 考虑摩擦时物体
7、的平衡问题,考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与前几章基本一样。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程时要将摩擦力考虑在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程 0 Fs fs FN，因此有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为了避免解不等式，往往先考虑临界状态（ Fs = fs FN），求得结果后再讨论解的平衡范围。应该强调的是摩擦力的方向在临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向 。,求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解，下面举例说明,15,取物块A为研究对象，受力分析如图。列平衡方程。,解:,例题4-1,联立求解得,最大静摩擦力,所以作用在
8、物体上的摩擦力为,因为,小物体A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数 fs=0.3。今在小物体A上施加F=4 N的力， q =30，试求作用在物体上的摩擦力。,16,(a),构件A及B用楔块C联结，如图(a)所示，楔块自重不计， 。已知楔块与构件间的摩擦系数 fs= 0.1, 求能自锁的倾斜角q 。,解：(1) 解析法 研究楔块C，受力如图(b)，考虑临界平衡,例题4-2,再考虑补充方程,联立解之得,(b),17,(c),(2) 几何法,仍考虑临界平衡状态,在此情况下,楔块C 两端所受的全约束力必大小相等,方向相反且作用线在一条直线上;与作用点处的法线的夹角均等
9、于摩擦角jf 如图(c) 所示。,由几何关系不难得,以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得,例题4-2,18,例题4-3,平衡方程为,取支架为研究对象,受力分析如图。,（1）解析法,解:,一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h = 20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力F 的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。,19,联立求解得,补充方程,例题4-3,解得,（2）几何法,由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。,20,宽a
10、，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C 在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是 fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求柜发生运动时所需推力F 的最小值。,例题4-4,21,1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。,解:,取矩形柜为研究对象,受力分析如图。,联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力,补充方程,列平衡方程,例题4-4,22,2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。,柜绕 B 翻倒条件： FNA=0,使柜翻倒的最小推力为,列平衡方程,解得,例题4-4,综上所述使柜发生运动所需的最小推力为,23,长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光
11、滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为P的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角q 。,例题4-5,24,以梯子AB为研究对象，人的位置用距离 a 表示，梯子的受力如图。,解：,使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：,同时满足物理条件,例题4-5,联立解之得,因 0al， 当 a = l 时，上式左边达到最大值。,25,重为P =100 N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB ，其大小为FB = 50 N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为 fs1=0.4。轮半径为r，杆长为 l，当 q =
12、 60 时，AC = CB = 0.5l ，如图所示。如要维持系统平衡，（1） 若D处静摩擦因数 fs2 = 0.3，求此时作用于轮心O处水平推力 F 的最小值;（2）若fs2=0.15 ,此时F 的最小值又为多少？,例题4-6,26,解：,此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。,假设C处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。,例题4-6,1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。,解得,列平衡方程,补充方程,27,例题4-6,2.以轮为研究对象，列平衡方程。,当 fs2= 0.3时，D处最大摩擦力为,28,解方程得,最小水平推力为,受力图不变，补
13、充方程应改为,此时C处最大摩擦力为,因此当 fs2= 0.15 时，维持系统平衡的最小水平推力改为,说明前面假定不成立，D处应先达到临界状态。,3. 当 fs2= 0.15时,例题4-6,29,由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的力学模型来分析就存在问题。即无论水平力F 多么小，此物体均不能平衡，因对点A的矩的平衡方程不满足，即,4-4 滚动摩阻的概念,出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，有一个接触面，如图所示。,这是与实际情况不符的，说明此力学模型有缺陷，需要修正。,30,与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩Mf 随主动力 F的增大而增
14、大；但有一个最大值 Mmax ,即,或,且最大滑动摩阻力偶矩,上式即是滚动摩阻定律，d 称为滚动摩阻系数，具有长度的量纲 ，单位一般用mm。与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关。与滚子的半径无关。,31,滚阻系数的物理意义如下,由力的平移定理,一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。,32,取轮子为研究对象,受力分析如图。由平衡方程,解:,例题4-7,匀质轮子的重量P = 3 kN，半径 r = 0.3 m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成q =30的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数= 0.05 cm，试求力FH的大小。,联立求解,补充方程,33,如图所示，总重为P的拖车在牵引力F作用下要爬上倾角为 的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为，其它尺寸如图所示。求拖车所需的牵引力。,例题4-8,34,拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的滚动摩阻力偶的力偶矩 M1, max 和 M2 max 都达到最大值。,解：,由平衡方程,首先取整个拖车为研究对象， 受力分析如图。,例题4-8,35,再取前轮为研究对象，受力分析如图。,同样由后轮得,轮子滚动临界时的补充方程,解方程可得,列平衡方程,例题4-8,36,第五章结束,
