1、2007 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 给定方程 sinx+x23x=0 1)分析该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出这些根，精确到 3 位有效数字2 用列主元 Gauss 消去法解线性方程组3 给定线性方程组 其中 a，b，c ， d，e，f 为常数，且 adbc1)分别写出 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式2)下面情况哪个会发生? (i)Jacobi迭代格式收敛，且 Gauss-Seidel 迭代格式收敛； (ii)Jacobi 迭代格式收敛，但Gauss-Seidel 迭代格式发散； (iii)Jacobi 迭代格
2、式发散，但 Gauss-Seidel 迭代格式收敛； (iv)Jacobi 迭代格式发散，且 Gauss-Seidel 迭代格式发散4 设 xi(0jn)是(n+1)个不同的点，a j(Ojn)是已知常数作一个(2n+1)次多项式p(x)，使得 p(xj)=0，p(x j)=aj，0jn5 设 f(x)C4a，b，考虑积分 I(f)=abf(x)dx1)写出计算积分 I(f)的复化 Simpson 公式Sn(f)该公式是几阶求积公式?其代数精度是多少?2)已知(A)是一个 Gauss 求积公式，证明：(B)也是一个 Gauss 求积公式6 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)
3、n，x i=a+ih，0in 证明： 至少是一个 3 阶公式7 设 f(x)=3xx2，x 0，2 1) 试求 f(x)的一次最佳平方逼近多项式； 2)试求 f(x)的一次最佳一致逼近多项式8 设初边值问题 (C)存在充分光滑的解，其中 (0)=(1)=0取正整数 M 和 K，并记 h=1M ，=TK，x i=ih,tk=k，现给出如下差分格式：(D)其中1)将差分格式(D)写成标准的线性方程组 Ax=b 的形式；2)分析差分格式(D)的截断误差；3)给出差分解的先验估计式；4)令 eik=u(xi，t k)-uik，0iM，0kK，证明：存在正常数 c，使得e kc(2+h2)，1kK，其中
4、e k为 ek=(e0k，e 1k，e M-1k，e Mk)的某种范数2007 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 易知 x=0 为方程 sinx+x23x=0 的一个根.记 f(x)=sinx+x23x，则f(x)=cos x+2x-3， f“(x)=2-sinx0， f(1)=-1+cos 10， f(2)=1+cos 20， 所以存在 (1，2)，当 时，f(x) 0；当 时，f(x)0由 f(0)=0， 知 x=0 为 f(x)=0 在(- ， )内的唯一根又由于 f(2)=-2+sin 20 ， f(3)=sin 30，所以 f(x)2 【
5、正确答案】 等价的三角方程组为 回代得 x3=10,3 【正确答案】 1)Jacobi 迭代格式为 Gauss-Seidel 迭代格式为2)Jacobi 迭代矩阵 J 的特征方程为 即ad2=bc，(J)= Gauss-Seidel 迭代矩阵 G 的特征方程为 即 (adbc)=0，(G)= 因为 所以 P(J)1 p(G)1，P(J)1 p(G)1，因而(i)和(iv) 会发生，(ii)和(iii)不可能发生4 【正确答案】 作 2n+1 次多项式 Hk(x)，使其满足 H k(xj)=0，H k(xj)=kj，0jn，则 Hk(x)以 x0，x 1，x k-1，x k+1，x n 为 2
6、重零根，以 xk 为单零点于是可将Hk(x)表示5 【正确答案】 1)将a，b作 n 等分，记 h=(ba)/n，x i=a+ih，0in ， =(xi+xi+1)2，则 它是一个 4 阶求积公式，代数精度为 32)由于 是一个Guass 公式，所以当 g(t)是一个 3 次多项式时，它是精确成立的当 f(x)为 x 的 3 次多项式时，是 t 的 3 次多项式，应用公式(A)是精确成立的，即有因而公式(B)当 f(x)为 3 次多项式时是精确成立的，所以公式(B)是一个 Guass 公式.6 【正确答案】 截断误差为 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)- (2K1+3K2+4K3)，其中 K1=f(xi, y(xi),K2=f(xi+ y(xi)+ K1)，K 3=f(xi7 【正确答案】 1)设一次最佳平方逼近多项式为 p(x)=a0+a1x，则 0(x)=1， 1(x)=x，( 0， 0)=021fx=2， ( 0， 1)=02xdx=2， ( 1， 1)=08 【正确答案】 1) (uik+1-uik)- (ui+1k+1-2uik+1+ui-1k+1+ui+1k-2uik+ui-1k)= ，记则有 ui
