1、2007 年秋季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 讨论算法 的数值稳定性2 设 u(x)C10，1 ，u(0).u(1)0证明：3 给定非线性方程 2x=sinx+cosx1)证明：方程有唯一实根2)用迭代法求方程的根，要求精确至 3 位有效数字4 给定三对角线性方程组设b 1c 10，b na n0，b ia i+c i0，i=2 ，3，n-1写出求解上述方程组的追赶算法并讨论计算工作量5 给定线性方程组 1)分别写出求解上述方程组的 Jacobi迭代格式和 Gauss-seidel 迭代格式； 2)分析 Gauss-seidel 迭代格式的收敛性6 设 f(
2、x)=ex，x-2 ，2 ，n 为正整数，记 h=4/n，x i=-2+ih，i=0，1，n 1)求f(x)的分段线性插值多项式 L1(x)；2)若要求 则 h 立该取多大?7 设 试求参数 a0，b 0，使得8 设 f(x)C4a，b，记 E(f)=Af(x0)+Bf(x1)1)求参数 A，B，x 0，x 1，使求积公式 I(f)E(f)的代数精度为 3；2) 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i=a+ih(i=0，1，n) ，试构造求积公式 E(f)对应的复化求积公式 En(f)3)求极限9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)n，x i=a+ih，i=0，1，
3、2 ，n设有求解上述初值问题的预测 -校正公式：试求该公式的局部截断误差和阶数10 给定初边值问题 记h=1m ，=Tn，x i=ih，0im，t k=k，0kn 试构造一个截断误差为 (=)(2+h2)的两层隐式差分格式，并给出截断误差表达式2007 年秋季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 设 是 yi 的近似值，记 ei=yi ，则 ei+12ei+ei-1=0， i=1，2 ， ei+1-ei=eiei-1，i=1，2，递推得 ei+1-ei=e1e0，i=1，2， 2 【正确答案】 由条件，存在 (0，1)，使得 u()=0所以由 cauch
4、y-schwarz 不等式得u(x) 2=(xu(t)dt)i x12dt xu(t)2dtx- 01u(t)2dt，因此3 【正确答案】 1) 记 f(x)=2xsinxcosx，则 f(0)=-10，f(1)=2-sin1-cos10又f(x)=2- ,xR，所以方程 f(x)=0 有唯一实根 x*(0，1)2)用 Newton 迭代求根，迭代格式为 xk+1=xk k=0，1，取x0=0 5，计算得 x1=07229 ，x 2=07049，x 3=07048因为x4 【正确答案】 令 1=b1，y 1=d1，对 i=2，3， n，计算 li=ai i-1， i=bilici-1， y i
5、=diliyi-1x n=yn5 【正确答案】 1)Jacobi 迭代格式为 Canss-Seidel 迭代格式为 2)Gauss-Seidel 迭代矩阵G 的特征方程为 解得 1=0， 2,3= 所以Gauss-Seidel 迭代收敛6 【正确答案】 1)f(x)在x i，x i+1上的线性插值为 L1,i(x)=f(xi)+fxi，x i+1(xxi)=exi+(xxi)， x xi， xi+1，所以分段线性插值函数为2)因为所以 h1040510 -7 【正确答案】 记 f(x)=ln(1+x)，则 f“(x)= 0，x(0，1)所以 f(x)-(ax+b)在0， 1上有 3 个偏差点：0，x 1，1，且满足 ln(1+0)-b=-ln(1+x1)-ax1b=ln2-a-b， 求得 a0=ln2，x 1= -1，b 0= 8 【正确答案】 1)E(f) 即为两点 Gauss 公式，所以得9 【正确答案】 该公式是 2 阶公式10 【正确答案】 记 tk+1/2=(tk+tk+1)2考虑(x i，t k+1/2)点处的方程：由 Taylor 展开得其中 tk ik， i-k， i-kt k+1，x i-1 i
