1、2008 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 设 f(x)= 求 f(30)的值若开平方用 6 位函数表，有=ln(30299833)=-4092347，则所得结果具有几位有效数字?若改用另一等价公式，有 =-ln(30+299833)=-4094066，则所得结果具有几位有效数字?2 用 jacobi 迭代格式解线性方程组 问 Jacobi 迭代格式是否收敛?如果收敛，取 x(0)=(0，0，0) T，则需要迭代多少次可保证各分量的误差绝对值小于 10-5?3 已知 ARnn，I 为 n 阶单位矩阵，且A1，证明： I+A 可逆，且4 利用函数 f(x)=si
2、nx 在 处的值作 3 次插值多项式求 的值，并估计误差5 1)设 c(a，b) 将区间a ，b分为两个小区间a，c和c，b，函数 S(x)在a ，b上处处有定义，当 S(x)满足什么条件时称S(x)为 3 次样条函数? 2)求 3 次样条函数S(x)，使其满足如下条件：6 求方程 X33x5=0 的全部实根，精确到 4 位有效数字7 求 f(x)=2x2-x+1 在区间-1，1上的 1 次最佳平方逼近多项式 p(x)=a+bx8 设 f(x)C2a，b，I(f)= 1)写出梯形公式 T(f)截断误差的表达式；2)将区间a ，b作 n 等分，记 ，x i=a+ih，0in ，另记 Tn(f)为
3、计算 I(f)的复化梯形公式，试求9 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 ,xi=a+ih，0in 分析求解公式 yi+1=yi+ 5f(xi+1，y i+1)+8f(xi,yi)-f(xi-1,yi-1)的局部截断误差，并指出该公式是一个几步几阶公式10 考虑如下差分格式其中h=1M，=TN试证明该差分格式的解有如下先验估计式：其中2008 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 设 ,x=299833，则x *-x 10-4ln(30-x*)-ln(30x)(30x*)-(30x)= ln(30-x *)-ln(30x) =029940110
4、-2 10-2，所以第一种算法至少具有 3 位有效数字ln(30+x *)-ln(30+x) (30+x2 【正确答案】 所给线性方程组的系数矩阵 是严格对角占优矩阵，所以 Jacobi 迭代格式收敛 Jacobi 迭代矩阵为 所以J = Jacobi 迭代格式为 取 x(0)=(0，0，0) T，计算得 x(1)= x(1)-x(0)= e(k)=x*-x(k)，要使3 【正确答案】 若 I+A 不可逆，则有 x0 使得(I+A)x=0 X=-Ax，两边取范数得x=AxAx，由于X0，所以A1，与条件 A1 矛盾，因而 I+A 可逆(I+A)-1(I+A)=I，(I+A) -1=I-(I+A
5、)-1A，(I+A) -1=I-(I+A)-1AI+(I+A)-1A1+(I+A)-1A(1-4 【正确答案】 根据题意，有5 【正确答案】 1)当 s(x)在 a，c和c ，b上均为 3 次多项式，且 S(x)C2a，b，则称 S(x)为 3 次样条函数 2)设 S(3)=m，则利用数据表 构造差商表如下： 则当 x2，3时 S(x)=1+(x-2)+(x-2)2+(m-3)(x-2)2(x-3)利用数据表 构造差商表如下：则当 x3，4 时 S(x)=3+m(x-3)-(1+m)(x-3) 2+(1+m)(x-3)6 【正确答案】 设 f(x)=x33x-5，则 f(x)=3x23，由 f
6、(x)=0 得 x=1，x=-1 当x1 时，f(x)0；当x1 时，f(x) 0又 f(1)=135=-7，f(-1)=-1+3-5=-3，f(2)=2 3235=-3，f(3)=3 3-335=13，作函数 y=(x)的草图(如下所示)知 f(x)=0 有唯一实根 x*(2，3)改写方程 f(x)=0 如下： 构造7 【正确答案】 设 0(x)=1， 1(x)=x，则 ( 0， 0)=-1112dx=2，( 0， 1)=-11xdx=0，( 1， 1)=-11x2dx= ，(8 【正确答案】 1)I(f) 一 T(f)= 2)I(f)-Tn(f)=9 【正确答案】 R i+1=y(xi+1)-y(xi) - 5f(xi+1,y(xi+1)+8f(xi,y(xi)-f(xi-1,y(xi-1)=y(xi+1)-y(xi)- 5y(xi+1)+8y(xi)-y(10 【正确答案】 记 将差分格式改写为(1+2r)u ik=r(ui-1k+ui+1k)+uik-1+fik， 1iM-1，1kN，则有(1+2r)u ik2ru k+uk-1
