1、2011 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 设准确值 ，它们的近似值分别是 x1=126223, x 2=126202，已知 x1 和 x2 具有 6 位有效数字，考察下面两种算法： 1)x 1*-x2*x1-x2=00021； 2)x1*-x2*= =000209254 试分析上述两种算法所得结果具有几位有效数字，并估计它们的相对误差限2 给定方程 COSxx=0，用 Newton 迭代法求方程在0，1中的根，精确到 5 位有效数字，并证明对任意初值 x00，1 ，Newton 迭代收敛3 设 A=aij是 n 阶非奇异矩阵，且 aii0，i=1，2，n，b
2、=(b 1，b 2，b n)T 是n 维向量，x=(x 1，x 2，x n)T 1)写出解线性方程组 Ax=b 的 GaussSeidel 迭代格式； 2) 如果矩阵 A 满足 证明：Gauss-Seidel 迭代收敛4 求一个 4 次多项式 H(x)，满足 H(0)=f(0)，H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，H(4)=f(4)，H(4)=f(4)5 已知数据 1)求一个 3 次多项式 p3(x)，使得 p3(xj)=yj， j=1，2，3，4；2) 求一个 2 次多项式 P2(x)=a+bx+cx2，使得 取最小值6 1)设求积公式 Af(x0)+Bf(x1)A是两点 Gauss 公
3、式，求A，B，x 0，x 12)记 h=(ba)n，x k=a+kh，k=0 ， 1，n，设求积公式是对应于公式(A)的复化求积公式，试求Ak，B k，y k，z k，k=0，1，n-1 3)如果 f(x)C4a，b，求极限7 给定初值问题 记 h=(ba)n，x i=a+ih，i=0，1， ，n；y iy(xi)，i=0 ，1，n 1)写出解上述初值问题的改进的 Euler 公式； 2)求改进的 Euler 公式的局部截断误差和阶数8 给定椭圆边值问题 其中=(x，y) 001，0y1)， 是 的边界记h=1m ，x i=ih，i=0，1， ，m；y j=jh，j=0 ，1， ，m 设 ui
4、j 是 u(xi，y j)的近似值1) 写出解上述边值问题的五点差分格式及差分格式的截断误差；2)将五点差分格式朋矩阵和向量表示为一个线性方程组，并简述该方程组的求解方法2011 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 1)根据题意，可知e(x 1) 10-4，e(x 2) 10-4，e(x 1-x2)e(x 1)-e(x2) e(x 1)+e(x 2) 10-4+ 10-4=10-4 12 【正确答案】 Newton 迭代格式为 xk+1=xk k=0，1，取 x0=05，计算得 x1=0 755222，x 2=0739142，x 3=0739085
5、，x 4=0739085，所以x*0739085记 f(x)=cosxx，则有 (i)f(0)f(1)=cos110； (ii)当 x0，1，f(x)=-si3 【正确答案】 1)GaussSeidel 迭代格式为2)分两步证明 (i)如果 A 严格对角占优，则 A 非奇异用反证法若 A 不可逆，则存在非零向量x=(x1，x 2，x n)TRn，使得 Ax=0，即有 aijxj=0， i=1，2，n记则x k0考虑第 k 个方程 ak1x14 【正确答案】 设 p(x)为 3 次多项式，满足 p(0)=f(0)，P(0)=f(0)，p(4)=f(4)，P(4)=f(4)，则 p(x)=f(0)
6、+f0，0x+f0 ，0，4x 2+f0，0，4，4x 2(x-4)记 R(x)=H(x)-p(x)，则 R(x)是 4 次多项式，由插值条件得 R(0)=0，R(0)=0，R(4)=0 ，R(4)=0 ，因此 R(x)=Ax2(x-4)2，A 为常数，从而 H(x)=p(x)+Ax5 【正确答案】 1)方法 1：用 Lagrange 插值多项式，有方法 2：用 Newton 插值多项式，有 p3(x)=f(-1)+f-1，0(x+1)+f-1，0，1(x+1)x+f-1，0，1，2(x+1)x(x-1) 列表求差商： 所以 p3(x)=1-(x+1)+ x(x2-1)2)记计算内积，有( 0
7、， 0)=4， ( 0， 16 【正确答案】 1)由-1，1 上的两点 Gauss 公式 可得a， b上的两点 Gauss 公式 因此2)根据题意，有所以3)由 Gauss 公式的截断误差得所以7 【正确答案】 1)改进的 Euler 公式为 yi+1=yi+ f(xi，y i)+f(xi+1,yi+hf(xi，y i)2)局部截断误差 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)- f(xi,y(xi)- f(xi+8 【正确答案】 1)五点差分格式为截断误差为ij(xi-1，x i+1)， ij(yj-1，y j+1)2)将差分格式写为-ui,j-1-ui-1,j+4uijui,j+1-ui,j+1=h2fij， 1i，jm
