[考研类试卷]2012年研究生入学考试(数二)真题试卷及答案与解析.doc

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1、2012 年研究生入学考试(数二)真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线条数为( )(A)0(B) 1(C) 2(D)32 设函数 f(x)(e x1)(e 2x2)(e nxn),其中 n 为正整数,则 f(0)( )(A)(1) n 1(n1)!(B) (1) n(n1)!(C) (1) n1 n!(D)(1) nn!3 设 an0(n1,2,3,),S n=a1a 2a 3a n,则数列S n有界是数列a n收敛的 ( )(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要条件4 设 (k1,2,3)

2、,则有( ) (A)I 1I 2 I3(B) I3I 2I 1(C) I2I 3I 1(D)I 2I 1 I35 设函数 f(x, y)为可微函数,且对任意的 x,y 都有 ,则使不等式 f(x1,y 1)f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是( )(A)x 1x 2,y 1y 2(B) x1x 2,y 1y 2(C) x1x 2,y 1y 2(D)x 1x 2,y 1y 26 设区域 D 由曲线 Y=sinx, ( )(A)(B) 2(C) -2(D)7 设 ,c 1,c 2,c 3,c 4 均为任意常数,则下列向量组线性相关的是( )(A) 1, 2, 3(B) 1, 2, 4(C) 1

3、, 3, 4(D) 2, 3, 48 设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 ,若P=(1, 2, 3),Q( 1 2, 2, 3),则 Q1 AQ( )(A) (B)  (C)  (D) 二、填空题9 设 yy(x)是由方程 x2y1e y 所确定的隐函数,则 _10 11 12 微分方程 ydx(x3y 2)dy0 满足条件 y x1 1 的解为 y_13 曲线 yx 2x(x0) 上曲率为 的点的坐标是_14 设 A 为 3 阶矩阵,A3,A *为 A 的伴随矩阵,若交换 A 的第 1 行与第 2行得矩阵 B,则BA * _三、解答题解答应写出

4、文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知函数 (1)求 a 的值;(2)若 x0 时,f(x)a 与 xk 是同阶无穷小,求常数 k 的值16 17 过(0 ,1) 点作曲线 L: ylnx 的切线,切点为 A,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域D 由 L 与直线 AB 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积18 计算二重积分 ,其中区域 D 为曲线 r1cos(00)与极轴围成19 已知函数 f(x)满足方程 f(x)f(x) 2f(x) 0 及 f(x)f(x)2e x,(1)求 f(x)的表达式;(2)求曲线 的拐点20 21 (1)证明方程 xnx n-1

5、x1 (n 为大于 1 的整数 ),在区间(12,1)内有且仅有一个实根;(2)记(1) 中的实根为 xn,证明 存在,并求此极限22 设 (1)计算行列式A ;(2)当实数 a 为何值时,方程组 Ax 有无穷多解,并求其通解23 已知 ,二次型 f(x1,x 2,x 3)x T(ATA)x 的秩为 2,(1)求实数 a 的值;(2)求正交变换 xQy 将 f 化为标准形2012 年研究生入学考试(数二)真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 A3 【正确答案】 B4 【正确答案】 D5 【正确答案】 A6 【正确答

6、案】 D7 【正确答案】 C8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 根据题意将 x0 代入方程 x2y1e y,得 y0,在方程xxy1e y 两端对 x 求一阶导,得 2xyye y,将 x0,y=0 代入得 y(0)0 再在 2xy ye y 两端对 x 求一阶导,得 2yye y(y) 2ey,将y0,y0,y(0)0 代入得 y(0) 1,10 【正确答案】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 根据题意由于 y2x1,y2,14 【正确答案】 根据题意设 ,则由题知 PAB,A 为 3 阶矩阵,又A3,所以A *A 29 因此BAs *B A *PA A

7、 *PA A *27三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 根据题意,设切点 A 的坐标为(x o,y o),切线方程的斜率为 k,则yo1kx o,又18 【正确答案】 根据题意,令 xcos,ysin 019 【正确答案】 (1)根据题意,齐次方程 f(x) f(x)2f(x)0 的特征方程为r2r2=0 ,得特征根为 r11,r 22,则有通解 f(x)c 1exc 2e-2x,代入方程f(x)f(x)2e x 得 2c1exc 2e2x 2e x,则 c11,c 20因此 f(x)e x20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】

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