1、2012 年研究生入学考试（数二）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设函数 f(x)(e x1)(e 2x2)(e nxn)，其中 n 为正整数，则 f(0)( )（A）(1) n 1(n1)!（B） (1) n(n1)!（C） (1) n1 n!（D）(1) nn!3 设 an0(n1，2，3，)，S n=a1a 2a 3a n，则数列S n有界是数列a n收敛的 ( )（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分也非必要条件4 设 (k1，2，3)
2、，则有( ) （A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I35 设函数 f(x， y)为可微函数，且对任意的 x，y 都有 ，则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是( )（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 26 设区域 D 由曲线 Y=sinx， ( )（A）（B） 2（C） -2（D）7 设 ，c 1，c 2，c 3，c 4 均为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1
3、， 3， 4（D） 2， 3， 48 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 ，若P=(1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 Q1 AQ( )（A） （B） （C） （D） 二、填空题9 设 yy(x)是由方程 x2y1e y 所确定的隐函数，则 _10 11 12 微分方程 ydx(x3y 2)dy0 满足条件 y x1 1 的解为 y_13 曲线 yx 2x(x0) 上曲率为 的点的坐标是_14 设 A 为 3 阶矩阵，A3，A *为 A 的伴随矩阵，若交换 A 的第 1 行与第 2行得矩阵 B，则BA * _三、解答题解答应写出
4、文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知函数 (1)求 a 的值；(2)若 x0 时，f(x)a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值16 17 过(0 ，1) 点作曲线 L： ylnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域D 由 L 与直线 AB 围成，求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积18 计算二重积分 ，其中区域 D 为曲线 r1cos(00)与极轴围成19 已知函数 f(x)满足方程 f(x)f(x) 2f(x) 0 及 f(x)f(x)2e x，(1)求 f(x)的表达式；(2)求曲线 的拐点20 21 (1)证明方程 xnx n-1
5、x1 (n 为大于 1 的整数 )，在区间(12，1)内有且仅有一个实根；(2)记(1) 中的实根为 xn，证明 存在，并求此极限22 设 (1)计算行列式A ；(2)当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解23 已知 ，二次型 f(x1，x 2，x 3)x T(ATA)x 的秩为 2，(1)求实数 a 的值；(2)求正交变换 xQy 将 f 化为标准形2012 年研究生入学考试（数二）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 A3 【正确答案】 B4 【正确答案】 D5 【正确答案】 A6 【正确答
6、案】 D7 【正确答案】 C8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 根据题意将 x0 代入方程 x2y1e y，得 y0，在方程xxy1e y 两端对 x 求一阶导，得 2xyye y，将 x0,y=0 代入得 y(0)0 再在 2xy ye y 两端对 x 求一阶导，得 2yye y(y) 2ey，将y0，y0，y(0)0 代入得 y(0) 1，10 【正确答案】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 根据题意由于 y2x1，y2，14 【正确答案】 根据题意设 ，则由题知 PAB，A 为 3 阶矩阵，又A3，所以A *A 29 因此BAs *B A *PA A
7、 *PA A *27三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 根据题意，设切点 A 的坐标为(x o，y o)，切线方程的斜率为 k，则yo1kx o，又18 【正确答案】 根据题意，令 xcos，ysin 019 【正确答案】 (1)根据题意，齐次方程 f(x) f(x)2f(x)0 的特征方程为r2r2=0 ，得特征根为 r11，r 22，则有通解 f(x)c 1exc 2e-2x，代入方程f(x)f(x)2e x 得 2c1exc 2e2x 2e x，则 c11，c 20因此 f(x)e x20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】
