1、初等数学模拟试卷 5 及答案与解析一、数学部分单项选择题1 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 1+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1)（C） (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)（D）( 2-3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)2 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)：若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的
2、解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 2 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I) ：AX=0 和()：ATAX=0，必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解3 设向量组 I： 1， 2，., r 可由向量组： 1， 2，., s 线性表示，则（A）当
3、 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关4 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则 1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=06 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正
4、确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关7 设向最组 1， 2， s 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21.（D） 1+22， 2+23， 3+218 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，1
5、4)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 59 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1， 2，., m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但小可由()线性表示10 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n
6、阶可逆矩阵已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T11 设 A、B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E-A=E-B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似12 考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x ，y)在点(x o，y o)处连续； f(x，y)在点(xo，y o)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x o，y o)处可微； f(
7、x，y)在点(xo，y o)处的两个偏导数存在 若用“PQ” 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（A）（B） （C） （D）13 设有三元方程 xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=z(y，z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z=x(y， z)和 y=y(x，z)14 设 f(x，y)与 f(x，y) 均为可微函数，且 (x，y)0已
8、知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)015 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1， f“(0)0（D）f(0)t，则1， 2，., s 必线性相
9、关 ”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应选(D)【知识模块】 初等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 曰是 ns 矩阵，且 AB=0，那么 r(A)+r(B)n 由于A，B 均非 0，故 0T。，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向量组 线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A)正确【知识模块】 初等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k 11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0. (
10、k1+1k2)1+2k22=0，k 1k2 为 0 不同特征值的特征向量线性无关，所以 1， 2 线性无关【知识模块】 初等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，A s)=A(1， 2， s)，所以 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2， s) 1， 2， s 线性相关，有r(1， 2， ， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，A s 线性尢关，否则 A1，A 2，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 初等数学7 【正确答案】 A【试
11、题解析】 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理【知识模块】 初等数学8 【正确答案】 B【知识模块】 初等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11+k22+.+kmm 由于 小能由 1， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式巾必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-.-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、(D) 若 m 可由(I)线性
12、表示，设 m=l11+l22+.+lm-1m-1 则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+km-1lm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模块】 初等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故(P -1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1 那么，由 A= 知(P -1AP)T(PT)=PTA(PT)-1(PT)=PTA=A(PT) 所以应选(B)【知识模块】 初等数学11 【正确答案】 D【知识模块】 初等数学12 【正确答案】 A【知识模块】 初等数学13 【正确答案】 D【知识模块】 初等数学14 【正确答案】 D【知
13、识模块】 初等数学15 【正确答案】 A【知识模块】 初等数学二、填空题16 【正确答案】 n-nn-1【知识模块】 初等数学17 【正确答案】 1【试题解析】 用定义由 A1=0=01，A(2 1+2)=A2=21+2，知 A 的特征值为1 和 0因 此 A 的非 0 特征值为 1 或者，利用相似，有 A(1， 2)=(0，2 1+2)=(1， 2)【知识模块】 初等数学18 【正确答案】 2【试题解析】 矩阵 A=T 的秩为 1.【知识模块】 初等数学19 【正确答案】 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 丨 E-B 丨=丨 E-P-1AP 丨= 丨 P-1AE
14、P-P-1AP 丨 =丨 P-1(E-A)P 丨=丨 P-1 丨丨 E-A 丨丨 P 丨=丨 E-A 丨【知识模块】 初等数学20 【正确答案】 2【试题解析】 二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值【知识模块】 初等数学21 【正确答案】 B【知识模块】 初等数学22 【正确答案】 （x-1）/1=（y+2 ）/（-4）=（z-2）/6.【知识模块】 初等数学23 【正确答案】 -/【知识模块】 初等数学24 【正确答案】 2x+4y-z=5【知识模块】 初等数学25 【正确答案】 4.【知识模块】 初等数学26 【正确答案】 2x+2y-3z=0.【知识模块】 初等数学27 【正确答案】 （9,3），-3【知识模块】 初等数学28 【正确答案】 -e -1【知识模块】 初等数学29 【正确答案】 -e -1/2【知识模块】 初等数学三、解答题30 【正确答案】 证法一：(定义法) 若有一组数 k，k 1，k 2，k t，使得 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，., t 是 Ax=0 的解，知Ai=0(i=1，2，t)，【知识模块】 初等数学
