1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 113 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a，b，c 是非负实数，如果 a1，b2，c 3，7 的算术平均数是 7，那么abc 的最大值是 （A）7（B） 49（C） 25（D）1252 一个圆柱底面直径和高都为 8，一个圆锥底面直径和高都为 4，则圆锥和圆柱的体积比为 （A）1：2（B） 1：4（C） 1：8（D）1：243 两个相同规格的容器，分别装上 A，B 两种液体后的总重量分别是 1800g 和1250g，已知 A 液体的重量是 B 液体的两倍那么这个空容器的
2、重量是 g（A）550（B） 600（C） 700（D）11004 一个棱长为整数 n 的正方体，表面全涂上红色后，被分成若干个体积都等于 1 的小正方体在这些小正方体中，六个面都没有红色的小正方体个数占全部小正方体个数的 ，则 n （A）4（B） 5（C） 6（D）75 若实数 x，y，z 满足 ，则 7x5y3z （A）24（B） 12（C） 0（D）126 某装置的启动密码是由 0 到 9 中的三个不同数字组成，连续三次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为 （A）（B）（C）（D）7 已知集合 A(x，y)y2 x，xR，B(
3、x ，y)y2x，zR)，则 AB的元素数目为 （A）0（B） 1（C） 2（D）无穷多8 不等式 的解集是 （A）（B）（C） xx6)（D）9 若 f(x)x 3px 2qx6 含有一次因式 x3 和 x1，则 pq （A）3（B） 5（C） 8（D）1010 等差数列a n中，a 1a 2a 324，a 18 19a 2078，则此数列前 20 项之和为 （A）160（B） 180（C） 200（D）22011 ABC 中， A，B，C 的对边 a，b，C 成等差数列，且知B30 ，三角形面积 ，则 b （A）（B）（C）（D）12 已知 w0，函数 f(x)2sinwx 在区间 上为增
4、函数，则有 （A）（B） 0w2（C）（D）w213 曲线 C：x 2y 22x4y30 上与直线 xy1 一 0 的距离等于 的点有 个（A）1（B） 2（C） 3（D）414 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点O 为抛物线的顶点，则ABO 是一个 （A）等边三角形（B）直角三角形（C）不等边锐角三角形（D）钝角三角形15 如图所示，扇形的半径为 12，圆心角为 60，O 为扇形的内切圆圆心，则阴影部分的面积为 （A）8（B） 16（C） 20（D）2416 设 在(，)内连续，则 （A）a2， b1（B） n1，b1（C）（D）17 如图所示，曲线 yf
5、(x)上任一点 P 的切线为 PT，以 PT 为斜边的直角三角形PTQ 的面积为 ，则 y 与 y满足的方程是 （A）y y（B） yy（C） y2y（D）y y 218 图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数 S(t)，一条是汽车的速度函数 v(t)，一条是汽车的加速度函数 a(t)，则 （A）曲线 a 是 s(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的图形（B）曲线 b 是 s(t)的图形，曲线 n 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的图形（C）曲线 a 是 S(t)的图形，曲线 c 是 v(t)的图形，曲线 b 是 a(t)的图形（D）曲线
6、 c 是 S(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 a 是 a(t)的图形19 光滑曲线 yf(x)通过原点，且在 x1 处与曲线 ye 2x 相切，则 （A）0（B） e2（C） e2（D）2e 220 设 ，则 F(x)为 （A）正常数（B）负常数（C）恒为零（D）不为常数21 设 yf(x)在a，b上单调，且有连续的导数，其反函数为 xg(y)又 f(a)，f(b) ， （A）ab A（B） baA（C） abA（D）baA22 设三阶方阵 A，B 满足关系式 A1BA6ABA，且 则B （A）（B）（C）（D）23 设三阶方阵 A，B 满足关系式 A1BA6ABA，且 则 B
7、 （A）（B）（C）（D）24 若向量 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则 （A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示25 设线性方程组 有无穷多解，则 a （A）5（B） 4（C） 3（D）2工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 113 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了几个数的算术平均数的概念及算术平均数与几何平均数的关系由于 所以abc15，从而 且等号在 abc5 时取到即
8、abc的最大值为 125 故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 圆柱体积(44)8128，圆锥体积 ， 故选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 设这个空容器的重量为 xg，B 液体的重量是 yg，根据题意，得 解得 x700 故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 所有小正方体的个数是 n3，六个面都没有红色的小正方体个数为(n2)3根据题意，得 解得 n6 故选C5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，所以 2z(xy)3y(xz)整理得 3xy2xzyz0， 即 6(xy) 6(xz)4(y z)0所以 x5y代入，故 x24，进而得到 故 7x5y3z24 故选A 6 【正确答
9、案】 C【试题解析】 由 0 到 9 中的三个不同数字组成的不同密码共有A1031098 720，一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人一次能够启动该装置的概率是 ，所以他在三次之内能够启动此装置的概率是 故选C7 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示，集合 A 是函数 y2 x(xR)的图像集合 B 是函数y2x(x R)的图像在直角坐标系中稍微精磺一些作出函数的图像，即可看出它们有两个交点应该注意到，在 x 无限增大时，指数函数 y2 x 的增长总是比幂函数快得多 故选 C8 【正确答案】 B【试题解析】 要使不等式中的根式有意义，要求 3x20，即 由含绝对值不等式的解法，本题解集应是
10、下面两个不等式组解集的并集：不等式组(1)中，第二式化为 两边平方解出 x6所以(1)的解集是xx6同理，不等式组(2)中第二式化为 ，平方后解出 x2，(2)的解集为(1)与(2)解集的并集就是选项 B 故选 B9 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(1)0 和 f(3)0 得到线性方程组 解出 p2，q5 故选 D10 【正确答案】 B【试题解析】 设数列公差为 d，由条件 a1a 2a 324，可得 3a13d 24，由 a18a 19a 2078，可得 3a154d78两方程联立解出 a110，d 2所以 故选 B11 【正确答案】 B【试题解析】 ，B30 推得 ac6由条件2ba
11、c 及余弦定理分别得 4b 2a 2c 22ac， b 2a 2c 22accosB两式相减得 选项 B 的平方 故选 B12 【正确答案】 A【试题解析】 是函数 sinx 的一个增区间，在它的任一个子区间， sinx都是增函数，若有区间(a，b)，其端点有一个在 上，另一端点不属于它，则 sinx 在(a ， b)上不是增函数对于函数 sinx(其中 0)， 是它的一个增区间，具有类似上述性质 本题已知 f(x)2sinx 在 上为增函数，由奇函数的对称性，f(x)在 上也是增函数，所以只要使 故选 A13 【正确答案】 C【试题解析】 C 的方程写成(x1) 2(v2) 2 ，即 C 是
12、以(1，2)为图心，半径为 的圆圆心到直线 z：xy10 的距离这正好等于圆 C 半径的一半，所以过圆心作平行于 z的直线，与圆交于两点 A，B再过圆心作垂直 l 的直线，与圆的交点之一及点A，B 到 l 趵距离都是 (见图) 故选 C14 【正确答案】 D【试题解析】 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，过 F 的直线 AB 的方程可可写成，代入 y2=2px，得 y 22pmyP20所以 y1y2p 2，故有 ，即得，AOB 为钝角 故选 D15 【正确答案】 A【试题解析】 扇形面积为 扇形内切圆半径为OO 1OAO 1A 为扇形半径，又扇形内切圆半径，所以 内切圆面积为 (O
13、A)24 216 阴影部分面积扇形面积内切圆面积24168 故选 A16 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，只需考虑 f(x)在 x0 处的连续性 要使 f(x)在 x0 处连续，须，b2 故选D17 【正确答案】 D【试题解析】 见图，曲线 yf(x)在点 P(x，y)的切线方程为 Yyy(Xx)，令Y0，得 ，所以 T 点的横坐标为 ，于是有 yy 2故选 D18 【正确答案】 D【试题解析】 因 r(t)v(t)，v(t) a(t) ，图中 C 曲线单调上升，b 曲线在 x 轴上方；在 b 曲线单调上升的区间上 c 曲线在 x 轴的上方，在 b 曲线单调下降的区间上 c 曲线在 x
14、轴的下方，再利用导数符号判断函数单调性的定理可推得选 D故选 D19 【正确答案】 B【试题解析】 因光滑曲线 yf(x)通过原点，所以 f(0)0由于曲线yf(x) 在x1 处与 ye 2x 相切，而 (e2x) x1 2e 2x x1 2e 2，因此 f(1)e 2，f(1)2e 2进而 故选 B20 【正确答案】 A【试题解析】 被积函数 esint.sint 是以 2 为周期的函数，因此它在任一个周期上的积分都相等，从而 上式最后一步利用了“被积函数是连续的大于等于零但不恒为零函数的积分值大于零”的结论 故选 A21 【正确答案】 B【试题解析】 在 中，令 yf(x)，且当 y 时，
15、xa，当 y 时，xb，gf(x)x，dyf(x)dx因此 故选 B 注用几何解释很简单设 yf(x)单调递增，f(x)0，a0，如图所示，yf(x)，xg(y) 表示同一曲线 ， 在几何上表示曲边梯形 MN 的面积 B，它等于矩形 ObN 的面积减去矩形 OaM 的面积后，再减去曲边梯形abNM 的面积，而矩形 ObN 的面积等于 b矩形 OaM 的面积等于 a，曲边梯形 abNM 的面积为 ba A22 【正确答案】 A【试题解析】 三阶方阵 A，B 满足 A1BA6ABA，等式两边右乘 A1，得 A 1B6IB， (A 1I)B 6I， B (A 1I)1.6I而 故选 A23 【正确答
16、案】 D【试题解析】 因为 所以 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是 。 故选 D24 【正确答案】 C【试题解析】 因 ， 线性无关，所以 ， 线性无关，又 ， ， 线性相关，因此， 可由 ， 线性表示，进而 k 1k 2O于是选 C，而不选 D 如果取 0，由 ， 线性无关可得 不可由 ， 线性表示，因此不选A 如果取 2 ，则 O O，这表明 可由 ， ， 线性表示，所以不选 B故选 C25 【正确答案】 D【试题解析】 设 ，则题设线性方程组可写为 Axb 。由此可见，当 a2 时，r(A，6) r(A) 23 ，线性方程组有无穷多解 故选D在上面的矩阵中，可以得出：当 a1 时，r(A，b)r(A) 线性方程组无解；当a2 且 a1 时，线性方程组有唯一解
