1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 12 及答案与解析单项选择题1 下列式子正确的是( ) 2 xn= xn( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 3（D）为3 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )4 当 x0 时，下列选项中与 z 为等价无穷小量的是( )5 设 f(x)= f(x)存在，则 a=( )（A）12（B） 1（C） 2（D）e6 设函数 f(x)= 在(，+)内连续，则( )（A）a=2 ，b=1（B） a=2，b=1（C） a=1，b=2（D）a=1 ，b=27 设函数 f(x)= ，讨论 f(x)的间断点，其正确的结论为 ( )（A）不存在间断
2、点（B）存在间断点 x=1（C）存在间断点 x=0（D）存在间断点 x=18 若函数 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 =( )（A）2f(0)（B） f(0)（C） f(0)（D）09 设函数 f(x)= 其中 g(x)为有界函数，则在点 x=0 处 f(x)( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导10 设函数 f(x)=(x1)(x2)(x 10)，则 f(1)=( )（A）9!（B） 9!（C） 10!（D）10!11 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为( n，0)，则 f(n)=( )（A）e（B） 1e（
3、C） 1e（D）e12 已知 x=2 是函数 y=x3 ax+5 的驻点，则常数 a 为( )（A）3（B） 6（C） 9（D）1213 设 y=f( )，f(x)=arctanx 2 则 dydx| x=0=( )（A）2（B） 4（C） 4（D）214 设 f“(x)存在，y=sinf(x 2)，则 dydx=( )（A）xf(x 2)cosf(x2)（B） xf(x2)cosf(x2)（C） 2xf(x2)cosf(x2)（D）2xf(x 2)cosf(x2)计算题15 16 若 =5，且当 x0 时，f(x)与 xa 为同阶无穷小量，求 a17 设 f(x)= ，讨论 f(x)在 x=
4、0 处的极限18 设当 x0 时， 1 与 cosx1 为等价无穷小量，求常数 a19 设函数 f(x)= 当 a，b 为何值时，函数 f(x)在点 x=0 处连续20 讨论函数 f(x)= x 的连续性21 设 f(x)= ，判定 f(x)的连续性，指出间断点，并判别其类型22 设 y=3tanxsin1x，求 dy|x=123 设 y= ，求 y(n)24 求曲线 xy=x2y 在点(1，1) 处的切线方程25 设函数 f(x)= 问 f(x)在 x=1 处是否连续? 若不连续，修改函数在 x=1 处的定义，使之连续26 设极限 =4，求 c 的值27 求函数 y=x3x 2x+3 的单调
5、区间与极值28 设方程 x4+ax+b=0 (1)当 a，b 满足何种关系时，方程有唯一实根； (2)当 a，b满足何种关系时，方程无实根经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 12 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 由重要极限公式 可知 A 不正确，B 不正确对于 C， 可知 C 不正确对于 D，可知 D 正确故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 x n 因此 xn=2，故选B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 注意等价无穷小量公式，当 x0 +时，故选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 对于
6、A， 可知应排除 A对于B， sinxx=1，可知 x0 时，sinxx 不是无穷小量，应排除 B对于 C，可知当 x0 时，与 x 为等价无穷小量，故选 C对于 D，当 x0 时，xsin1x 为无穷小量，但是 不存在，这表明当 x0 时，无穷小量xsin1x 的阶不能与 x 的阶进行比较，因此排除 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 点 x=0 为 f(x)的分段点，在分段点两侧 f(x)表达式不同，应分左极限、右极限考虑 由于 f(x)存在，则 e2a =e，可得 a=2故选 C (1+ax)bx+c =eab以后可以用作公式，简化运算相仿【知识模块】 微积分6 【正
7、确答案】 A【试题解析】 由题设，点 x=1 与 x=1 为 f(x)的分段点，在(，1)，(1，1)，(1，+) 内 f(x)都是初等函数，皆为连续函数只需考查 f(x)在 x=1 与 x=1 处的连续性 (x2+ax+b)=1a+b若 f(x)在 x= 1 处连续，则应有 1a+b=2，即 ab=3 又(x2+ax+b)=1+a+b， 当 f(x)在 x=1 处连续时，应有 1+a+b=2，即 a+b=1 联立得方程组 解得a=2，b=1故选 A【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 所给问题为判定函数 f(x)的间断点由于 f(x)以极限的形式给出，因此应该先求出 f(x)
8、的表达式由题设，得 可知 f(x)为分段函数，分段点为 x=1，x=1画出草图易知 x=1 为其唯一间断点故选 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 =f(0)f(0)=0故选 D【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)在分段点 x=0 两侧函数表达式不同，考虑：可知 f(x)=f(0)，因此 f(x)在 x=0处极限存在且连续，应排除 A，B又由单侧导数的定义，有可知 f (0)f+(0)，从而f(0)不存在，故选 C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 利用导数定义= (x1)(x2)(x9)=(1) 99!=9!故选 B【知
9、识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 首先应求出 n，进而得到 f(n)，最后求出极限值因为 n 是曲线在点(1， 1)处的切线与 x 轴交点的横坐标，即 x 轴截距，所以还需从切线方程入手注意点(1，1) 在曲线 f(x)=xn 上由于 f(x)=nxn1 ，所以过点(1，1)的切线斜率k=f(1)=n切线方程为 y1=n(x 1)，令 y=0，代入切线方程，求得的 x 值就是n所以 n=1 ，f( n)=(1 )n，故 =e1 =1e故选B n 的几何意义是说，随着 n 的增大，曲线 f(x)=xn 在点(1 ，1)处的切线与 x 轴的交点就越来越靠近点(1，0)当 n 时，
10、切线的极限位置将是一条过点(1，1)且垂直于 x 轴的直线，此时切线的斜率 k=【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 当 f(x0)=0 时，称 x0 为函数 y=f(x)的驻点 由于y=x3 ax+5， y=3x2a， 又 x=2 为 y 的驻点，故 x=2 时，y=3x 2a=0 ，可得a=12故选 D【知识模块】 微积分13 【正确答案】 D【试题解析】 dydx=f(u)u=arctanu 2当 x=0 时，u=1因此 dydx| x=0=arctan(1) 2 =2故选D【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 设 y=sinu，u=f(v)，v=x
11、2，则因此dydx=cosuf(v)2x=2xf(x 2)cosf(x2)故应选 C【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 已知 =5，可知=5+a(当 x0 时，a 为无穷小量)，即为非零常数，应有 a+1=3，因此 a=2【知识模块】 微积分17 【正确答案】 当 x0 时，1x，e 1x 0 ；当 x0 +时，1x+，e 1x +因此需讨论 f(x)在点 x=0 处的左极限与右极限由于当 x0 +时，1x，e 1x 0，因此 可知 f(x)在 z=0 处的左极限与右极限都存在，但不相等，因此 f(x)不存在【知识模块】 微积分18 【正确答案
12、】 当 x0 时， 1a2x 2，1cosxx 22，依题设，有因此 a=1【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由ln(b+x2)=lnb，若函数 f(x)在点 x=0 处连续，应有 a2=lnb=1，所以 a=2，b=e【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于函数 f(x)是极限形式，所以先求出极限，化为分段函数，再讨论其连续性当|x|1 时， 当|x|=1 时，当|x|1 时， 型，分子、分母同除以 x2n， f(x)的定义域为( ，+)当 x(，1)(1，1)(1，+)时，f(x)为初等函数，在其定义区间内连续注意到f(x)都不存在，x=1 和 x=1 是两个第一类间断点，故 f
13、(x)的连续区间为( ，1)(1，1)(1，+)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当 x=0，x= 1，x=1 时，f(x)表达式的分母为零，f(x)没有意义可知上述三点为 f(x)的间断点在( ，1)，(1，0)，(0，1)，(1，+)内f(x)皆为初等函数，因此皆为连续函数可知 x=1 为 f(x)的第一类间断点，且为可去间断点 可知 f(x)不存在点 x=0 为 f(x)的第一类间断点，且为跳跃间断点可知点 x=1 为 f(x)的第二类间断点，且为无穷间断点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 y=3 tanxln3(tanx)sin +3tanxcos1x(1x)=3tanxl
14、n31cosx 2sin +3tanxcos1x(1x 2)=3tanxln3 1cos 2xsin3 tanxcos1 xdy| x=1=y|x=1dx=3tan1(ln3 cos1)dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 求高阶导数关键在于将函数及 y，y“恒等变形，以寻找规律由于 =2(1+x)1 1，y=2(1)(1+x) 2 ，y“=2(1)(2)(1+x) 3， 可得 y(n)=( 1)n2n!(1+x) (n+1) 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由于点(1，1)在曲线上，只需求出 y|x=1所给曲线方程为隐函数方程，且为幂指函数形式需将方程变形，以利于求 y将方程两
15、端取对数，得ylnx=ln(x2y)=2lnx+lny，两端关于 x 求导数，得 将x=1，y=1 代入上式可得 1=2+y|x=1 得 y|x=1=1因此所求切线方程为y1= (x1)，即 x+y=2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为而 f(1)=1 f(x)，所以函数 f(x)在 x=1 处间断若要使之连续，需修改 f(x)在 x=1 处的定义为 f(1)=4 2，即【知识模块】 微积分26 【正确答案】 易判定题设条件中只能 c0则【知识模块】 微积分27 【正确答案】 y 的定义域为(，+) ，y=3x 22x1=(3x+1)(x 1) 令y=0，得 x1=13，x 2=1
16、为 y 的两个驻点 当 x13 时，y0，可知 y 在(， 1 3)内单调增加； 当13x1 时，y 0，可知 y 在( 13，1)内单调减少； 当 x1 时，y0，可知 y 在(1，+)内单调增加 进而由上述分析知x=1 3 为 y 的极大值点，相应极大值为 8627；而 x=1 为 y 的极小值点， 相应极小值为 2【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设 y=x4+ax+b，定义域为(，+)y 在定义区间内为连续函数且 y=4x3+a令 y=0 可得 x= 为 y 的唯一驻点由y“=12x2，y“ 0，可知 x= 为函数 y 的极小值点由 y“0，可知在(， +)内曲线为凹且 (x4+ax+b)=+， (x4+ax+b)=+，注意极小值 y=(a4) 43 +a(a4) 13 +b(1) 当 ymin=0，即(a4) 43 +a(a4)13 +b=0 时，y 有唯一零点，即原方程有唯一实根(2)当 ymin0，即(a 4)43 +a(a4) 13 +b0 时，y 没有零点，即原方程没有实根【知识模块】 微积分
