1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 7 及答案与解析单项选择题1 设 f(x)= ，则多项式 f(x)中 x 的最高次幂是 ( )（A）3（B） 2（C） 1（D）02 记 f(x)= ，则方程 f(x)=0 的根的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 （A）2880（B） 1440（C） 1440（D）28804 已知 A，B 为 n 阶矩阵，且 AB=E，则下列结论不正确的是( )（A）A+B 可逆（B） (AB)2=A2B2（C） (AB)1 =A1 B1（D）(AB) T=ATBT5 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *为其伴随矩阵，则下列结论不正确的是
2、( )（A）A 与 A*可交换（B） A 与 AT 可交换（C） A 与 A1 可交换（D）A 与 A2 可交换6 设 A，B 为 n1 非零矩阵，且 ATB=0，C=BA T，则( )（A）C=O（B） C2=O（C） C2O（D）C 2=C7 设向量组 1=(a1，a 2)T， 2=(b1，b 2)T； 1=(a1，a 2，a 3)T， 2=(b1，b 2，b 3)T，则向量组 1， 2 线性无关是向量组 1， 2 线性无关的( )（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件8 设 1， 2， 3 均为 n 维列向量，A 是 n 阶可逆矩阵，下列
3、选项不正确的是 ( )（A）若 1， 2， 3 线性相关，则 A1，A 2，A 3 线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 A1，A 2，A 3 线性无关（C）若 A1，A 2，A 3 线性无关，则 1， 2， 3 线性无关（D）A 1，A 2，A 3 的线性相关性与 1， 2， 3 的线性相关性没有关联9 若 n 维线性无关的向量组 1， 2， s 可以被同维向量组 1， 2， t 线性表示，其中 s，tn，则必有( )（A）ts（B） ts（C） 1， 2， t 线性无关（D） 1， 2， t 线性相关10 设向量组 1， 2， 3 线性无关，1=k1+22+23， 2=21+k2
4、+23， 3=21+22+k3，若 r(1， 2， 3)=2，则 k=( )（A）k=0（B） k=1（C） k=2（D）k=411 设 A= ，则线性方程组 Ax=0 的基础解系中无关解的个数为 ( )（A）3（B） 2（C） 1（D）与常数 a 的取值有关12 设方程组()Ax=0 和()Bx=0，则两方程组为同解方程组的充分必要条件是( )（A）A，B 的列向量组可以相互表示（B） A，B 的行向量组可以相互表示（C） A，B 的秩相等（D）矩阵 A，B 等价计算题13 已知 4 阶行列式| 1， 2， 3，|=a，|2+ ， 2， 3， 1|=b，其中1， 2， 3， 均为 4 阶行列
5、式中的某一列，计算 |1， 2， 3，|13 设 4 阶行列式 计算：14 A11A 21+A313A 41；15 A41+A42+A43+A4416 已知 A= ，化简并计算 (E+A1 BT)T(EBA 1 )1 17 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，且 ABA*=3AB2E，求 B18 设 A，B 满足 A*BA=3BA9E，其中 A*是 A 的伴随矩阵，且 A= ，求B19 求解矩阵方程20 设向量组 1=(1，3，6，2) T， 2=(2，1，2，1) T， 3=(1，1，a，2) T 线性相关，求 a 应满足的条件21 设 n 维向量组 1， 2， 3， 4 的秩为 4，且
6、 1=1+k12， 2=2+k23， 3=3+k34， 求向量组 1， 2， 3 的秩22 设 r(1， 2， s)=r1，r( 1， 2， t)=r2，其中 i(i=1，2，s) ，j(j=1， 2， ，t) 均为 n 维向量，记 r(1， 2， s， 1， 2， t)=r3，试讨论maxr1，r 2，r 3，r 1+r2 之间的大小关系22 23 计算行列式|A|；24 当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解25 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，求方程组 A*x=0
7、 的一个基础解系26 设线性方程组 讨论 a 取何值时，方程组有解，并求解27 设四元线性方程组 又知某线性方程组()的通解为C1(0，1，1，0) T+C2(1，2，2，1) T，C 1，C 2 为任意常数判断线性方程组 ()与()是否有非零公共解，若有，给出所有非零公共解经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 7 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 求 x 的最高次幂即根据行列式的定义找含 x 的最高次幂项，注意到，题中含 x 的元素有 3 个，其中仅有主对角线上的元素 a11，a 33 处在不同行不同列的位置上，从而构成唯一的 x2 项，因此，多项式 f
8、(x)中 x 的最高次幂为 2故选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 方程 f(x)=0 的根的个数取决于多项式的最高次幂，仅从所给的行列式直接观察，结论并不十分清晰，需要利用行列式性质先化简即由=5x(x1) ，所以方程 f(x)=0 有两个实根，故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 一般而言，在选择题中出现 4 阶或 5 阶行列式的计算问题，绝不是单纯的计算题，往往有一定的特殊规律或计算模式由容易看到这是一个由 5 个数字从上到下升幂排列的行列式，称为范德蒙德行列式，即有=(21)(2+1)(22)(23)(31)(3+1)(32)(21)
9、(2+1)(11)=2880，故选 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，由 AB=E，知 A，B 为可逆矩阵，但两个可逆矩阵之和未必可逆，如 A，B 分别为可逆矩阵 ，满足条件 AB=E，但A+B=O，并不可逆，故选 A选项 B，由 A2B2=A(AB)B=AB=E=E2=(AB)2，正确选项 C，由 AB=E，知 A，B 互逆，有(AB) 1 =E，也有 BA=E，从而有A1 B1 =(BA)1 =E，正确选项 D，由(AB) T=ET=E，A TBT=(BA)T=ET=E，正确由 AB=E，不仅可以确定 A，B 可逆且互逆，还可以推出矩阵 A 与 B，A 1
10、与 B1 ，A T 与 BT，A *与 B*可交换【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，见反例，设 A= ，则 AAT知该结论不正确故选B选项 A，由 AA*=A*A=|A|E，知 A 与 A*可交换选项 C，由 AA1 =A1 A=E，知 A 与 A1 可交换选项 D，由 AA2=A2A=A3，知 A 与 A2 可交换【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 ATB=0，知 C2=(BAT)2=(ATB)C=O，故选 B 设A=(a1，a 2，a n)T，B=(b 1，b 2，b n)T，因为 A，B 为非零矩阵，不妨设a10，b 10， 因此，
11、C=BA T 中至少有一个元素 c11=a1b10，故 CO因此有C2C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 向量组 1， 2 线性无关，则| 1， 2|= 0，从而知，矩阵(1， 2)中有一个 2 阶子式不为零，因此，( 1， 2)为列满秩矩阵， 1， 2 线性无关反之，不成立，见反例：设 1=(1，1) T， 2=(2，2) T； 1=(1，1，0)T， 2=(2，2， 2)T， 1， 2 线性无关但 1， 2 线性相关可见，向量组 1， 2 线性无关是向量组 1， 2 线性无关的充分但非必要条件，故选 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设(A
12、 1，A 2，A 3)=A(1， 2， 3)，及 A 可逆，因此有 r(A1，A 2， A3)=r(1， 2， 3)(*) 选项 D，由(*)知，A 1，A 2，A 3 的线性相关性与 1， 2， 3 的线性相关性有关联，该选项不正确，故选 D 选项 A，由(*)知，若 1， 2， 3 线性相关，则 r(A1，A 2，A 3)=r(1， 2， 3)3，因此，A1，A 2，A 3 线性相关 选项 B，由(*)知，若 1， 2， 3 线性无关，则r(A1，A 2， A3)=r(1， 2， 3)=3，因此，A 1，A 2，A 3 线性无关 选项 C，由(*)知，若 A1，A 2，A 3 线性无关，则
13、 r(1， 2， 3)=r(A1，A 2，A 3)=3，因此， 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 线性无关的向量组 1， 2， s 可以被同维向量组1， 2， t 肛线性表示，则必有 ts，否则，由于 1， 2， s 可被个数少的向量组线性表示，则该向量组必线性相关，与题设矛盾，故选 A且选项 B 不正确 选项 C，D，由题意无法判断向量组 1， 2， t 的线性相关性如线性无关向量组 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T 既可以被线性相关向量组 1=(1，0，0)T， 2=(0，1， 0)T， 3=(1，1，0) T 线性表示，也可以
14、被线性无关向量组1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 4=(0，0，1) T 线性表示【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，知转换矩阵为 A= ，又因1， 2， 3 线性无关，所以 r(1， 2， 3)=r(A)，又|A|= =(k+4)(k2) 2，于是，当 k=4 时，r(A)=2，即向量组 1， 2， 3 的秩等于 2，故选 D【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 构成方程组 Ax=0 的基础解系的无关解向量的个数为 nr(A) 于是由知线性方程组 Ax=0 的基础解系的无关解向量的个数为
15、 4r(A)=43=1故选 C【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，A，B 的行向量组各自代表两个方程组的方程，将两个方程组联立，在消元过程中，若 A 的行向量组可以线性表示 B 的行向量组，则可以消去向量组() 的所有方程，因此，方程组() 的解也一定是方程组()的解反之，若 B 的行向量组可以线性表示 A 的行向量组，则方程组 ()的解也一定是方程组()的解，从而知两方程组同解故选 B选项 A，两方程组解的关系取决于代表各自方程组的行向量组，与列向量组无关选项 C，两方程组同解则系数矩阵的秩相等，但仅由系数矩阵的秩相等不能说明两方程组解之间的任何关系选项 D，
16、矩阵 A，B 等价是指两矩阵可以通过初等变换相互转换，因此必定同行同列，但两方程组同解，其系数矩阵未必同行同列【知识模块】 线性代数计算题13 【正确答案】 由|2+， 2， 3， 1| | 1， 2， 3，2+|= | 1， 2， 3，2| 1， 2， 3，|=2| 1， 2， 3，| 1， 2， 3，|=2a| 1， 2， 3，|=b，解得|1， 2， 3，|=2ab【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 算式是第 3 列元素的相反数与第 1 列元素对应代数余子式乘积的和，其值为零即 A 11A 21+A313A 41=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A
17、41+A42+A43+A44 =(1245+354)=84【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (E+A 1 BT)T(EBA 1 )1 =ET+(A1 BT)T(AB)A 1 1 =(E+BA1 )A(AB) 1 =(A+B)(AB) 1 ，注意到 AB= ，(AB)2=E，(AB) 1 =AB，于是原式=(A+B)(AB)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由|A|=6，知 A 可逆，且 A*A=|A|E=6E 于是，在等式两边分别左乘 A1 ，右乘 A，得 A*A=3BA2E，即6B=3BA 2E ，整理得 3B(A+2E)=2E由|A+2E|= =120，知 A+2E 可逆，
18、由得(A+2E) 1因此 B=23(A+2E) 1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 在等式两边左乘 A，右乘 A*，得(AA *)B(AA*)=3AB(AA*)9(AA *)，由于 AA*=|A|E，|A|=3，即得3B=3AB9E，整理得(A+E)B=3E，其中|A+E|= =150，可知 A+E 可逆，从而得 B=3(A+E)1 =1 5(A+E) *【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 解法 1 直接利用初等变换先组成矩阵(A B)，再作初等行变换将 A 化为 E，有解法 2 先求逆矩阵 A1 ，再求解 X由【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 解法 1 从线性相关的概念
19、入手向量组 1， 2， 3 线性相关，即存在一组不全为零的数 x1，x 2，x 3，使得 x11+x22+x33=0，于是，对应齐次线性方程组 有非零解，于是对系数矩阵 A 作初等行变换，化为阶梯形矩阵： 可知当a=2 时，r(A)3，齐次线性方程组有非零解，即 1， 2， 3 线性相关解法 2 直接用初等变换求秩( 1， 2， 3)T 可知当a=2 时，r( 1， 2， 3)3，则 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 解法 1 从向量组线性无关的定义出发设数 1， 2， 3，使得11+22+33=0，即 11+(1k1+2)2+(k22+3)3+3k34=0，又
20、由于1， 2， 3， 4 线性无关，于是有 1=0， 1k1+2=0，k 22+3=0， 3k3=0，即1=2=3=0，因此， 1， 2， 3 线性无关，从而得 r(1， 2， 3)=3解法 2 从向量组的转换关系入手不妨设 4=01+02+03+04，于是有( 1， 2， 3， 4)=(1， 2， 3， 4)A，当 1， 2， 3， 4 线性无关时，向量组 1， 2， 3， 4 的秩等于转换矩阵 A 的秩，显然有 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)=r(A)=3【试题解析】 求一个向量组的秩，可以从向量组的线性关系出发，寻求一个最大无关组，该最大无关组的向量个数就是所求向量组的
21、秩，如本题， 1， 2， 3 线性无关，本身就是最大无关组，故秩为 3由于 1， 2， 3 由另一个无关向量组线性表示，利用表达式可构造两向量组之间转换关系式及转换矩阵，一般的转换矩阵为方阵，因此，补充了一个向量 4在确定转换矩阵的基础上，再求转换矩阵的秩即向量组的秩【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设向量组 1， 2， s 的一个最大无关组为1， 2， ， 1， 2， t 的一个最大无关组为 1， 2， ，不妨设r1r2，于是，向量组 1， 2， s， 1， 2， t 的最大无关组可以由向量组1， 2， 扩展得到且最多将 1， 2， t 的最大无关组 1， 2，全部添加得到，这时 r
22、3=r1+r2，或可能是不需要再添加任何向量，这时，r3=r1综上讨论，有关系式 maxr1，r 2r3r1+r2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 所求行列式为双对角线形，有 =1a 4【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 若方程组 Ax= 有无穷多解，则有|A|=0，即 a=1当 a=1 时，由r(A )r(A)，方程组无解当a=1 时，由 r(A )=r(A)=3，方程组有无穷多解通解为 x=C(1，1，1，1) T+(0，1，0，0) T，C 为任意常数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 依题设，r(A)=41=3因此知 r(A*)=1，A *x=
23、0 的基础解系由 3个无关解构成由 A*A=|A|E=O，知 A 的列向量均为 A*x=0 的解 又因(1，0， 1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个解，所以有| 1+02+13+04=0，即 1， 3 线性相关，从而知 1， 2， 4 或 2， 3， 4 是 A*x=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 解法 1 记系数矩阵为 A，对增广矩阵进行初等行变换有于是，当 a1 时，r(A)=r( )=3，原方程组有唯一解，解得 当a=1 时，r(A)r( )，原方程组无解解法 2 用行列式法由=2(a+1)，知当 a1 时，D0，原方程组有唯一解，且由根据克拉默法则，解得 当 a=1 时，r(A)r( )，原方程组无解【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 将方程组()的通解 C1(0，1，1，0) T+C2(1，2，2，1) T 代入方程组( )，有 即 C1+C2=0，显然方程组有非零解C1=C 2(C20)，即当 C1=C 2(C20)时，方程组()与()有非零公共解，且两方程组的非零公共解可表为C 2(0，1，1，0) T+C2(1，2，2，1) T=C2(1，1，1，1)T， C2 为任意非零常数【知识模块】 线性代数
