1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (03 年 )设 等于2 (03 年 )设 则（A）I 1I 2 1（B） 1I 1I 2（C） I2I 11（D）1I 2I 13 (04 年 )把 x0 +时的无穷小量 =0xcost2dt， 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ，（C） ， （D）， 4 (04 年 ) 等于（A） 01ln2xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1+x)dx（D） 12ln2(1+x)dx5 (02 年 )没函数 f(x
2、)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（A） 0xf(t2)dt（B） 0xf2(t)dt（C） 0xtf(t)一 f(-t)dt（D） 0xtf(t)+f(一 t)dt二、填空题6 (00 年 )7 (01 年 ) (x3+sin2x)cos2xdx=_8 (02 年 )位于曲线 y=xe-x(0x+)下方，x 轴上方的无界图形的面积是_9 (02 年 )10 (03 年) 设曲线的极坐标方程为 =ea(a0) ，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形面积为_11 (04 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 (99 年) 计算13 (99 年)
3、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30 m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗抓起的污泥重 2 000 N，提升速度为 3 ms在提升过程中。污泥以 20 N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明： 1 N1 m=1 J；m，N，s，J 分别表示米、牛顿、秒、焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)14 (99 年) 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的
4、三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程15 (99 年) 设 f(x)是区间0，+)上单调减少且非负的连续函数，a n= =1nf(x)dx(n=1，2，)，证明数列 an的极限存在16 (00 年) 设 f(lnx)= 计算f(x)dx.17 (00 年) 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1，0y1及直线l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下部分的面积，试求 0xS(t)dt(x0)18 (00 年) 设函数 S(x)=0x|cost|d
5、t.(1)当 n 为正整数，且 nx(n+1) 时，证明2nS(x)2(n+1) (2)求19 (00 年) 设函数 f(x)在0,上连续，且 0f(x)dx=0， 0f(x)cosxdx=0试证明：在(0) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=020 (00 年) 设曲线 y=ax2(a 0，x0)与 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少 ?21 (00 年) 函数 f(x)在0 ，+上可导，f(0)=1，且满足等式(1)求导数 f
6、(x)；(2) 证明：当 x0 时，成立不等式：e -xf(x)122 (01 年)23 (01 年) 设 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1) 处的曲率半径s=s(x)是该抛物线上介于点 A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 K= )24 (01 年) 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 0f(x)g(t)dt=x2ex 求 f(x)25 (01 年) 设 f(x)在区间 一 a，a(a0) 上具有二阶连续导数，f(0)=0， (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在一 aa上至少
7、存在一点 ，使 a3f”()=3-aaf(x)dx26 (02 年) 设 f(x)= 求函数 F(x)=0xf(t)dt 的表达式27 (02 年) 某闸门的形状与大小如图 211 所示其中直线 l 为对称轴闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m(米)?28 (03 年) 设函数 y=y(x)由参数方程 (t1)所确定，求29 (03 年) 计算不定积分30 (03 年) 设函数 f(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间(a，b)内可导且 f(
8、x)0若极限 存在证明：(1)在(a ，b)内 f(x)0；(2)在(a，b)内存在点 ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f()(b2 一a2)=考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以应选(B)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则当x0 +时, 是 的高阶无穷小又则当 x0 +时， 是 的高阶无穷小，故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解
9、析】 故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x)=0xtf(t)+f(-t)dt 则 F( 一 x)=0-xtf(t)+f(一 t)dt 0xuf(一 u)+f(u)du=F(x)即 F(x)= 0xtf(t)+f(-t)dt 是偶函数所以应选(D)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由于 x3cos2x 为奇函数，sin 2xcos2x 为偶函数，则【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 1【试题解析】 所求面积为 0+xe-xdx=一 0+xde-
10、x=一 xe-x|0+0+dx=一 e-x|0+=1【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 由定积分定义可知【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 所求面积为【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 令 x=sect则【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 作 x 轴如图 218，将抓起污泥的抓斗提升到井口需做功 w=w1+w2+w3 其中 w1 是克服抓斗自重作的功；w 2 是克服缆绳所做的功；w 3 是提升污泥所做的功由题设
11、可知 w 1=40030=12 000 dw2=50(30x)dx 从而 w 2=03050(30一 x)dx=22 500 在时间间隔t ，t+dt内提升污泥所做的功为 dw 3=3(2 00020t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间 =10，所以 w3=0103(2 00020t)dt=57 000 则共需做功 w=12 000+22 500+57 000=91 500 (J)【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处切线方程为 Y y=y(x)(Xx)它与 x 轴的交点为 ，由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S 2=
12、0xy(t)dt 由条件 2S 1 一 S2=1 知两边对 x 求导并化简得 yy”=(y) 2 令 y=P，则上述方程化为 注意到 y(0)=1，由(*)式可知 y(0)=1，由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线方程为 y=ex【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 由题设可知 f(k+1) kk+1f(x)dx f(k) (k=1，2，)则数列a n下有界，又 a n+1 一an=f(n+1)一 nn-1f(x)dx0 则数列a n单调下降，由单调有界准则知数列a n有极限【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 lnx=t，则 x=et，f(t)= f(x)dx=
13、 =一ln(1+ex)de-x=一 e-xln(1+ex)+ =一 e-xln(1+ex)+ =-e-xln(1+ex)一 ln(1+e-x)+C【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由原题设知 所以，当 0x1时， 当 1x2 时 0xS(t)dt=01S(t)dt+1xS(t)dt=当 x2 时 0xS(t)dt=02S(t)dt+2xS(t)dt=x-1【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 1)由于|cosx|0，且 nx(n+1)，所以 0n|cosx|dxS(x) 0(n+1)|cosx|dx 又因为|cosx|是以 为周期的周期函数，在每个周期上积分值相等，所以
14、 0n|cosx|dx=n0|cosx|dx=2n 0(n+1)|cosx|dx=2(n+1)因此，当 nx(n+1) 时，有 2nS(x)2(n+1) 2)由 1)知，当 nx(n+1) 时，有 令x+，由夹逼原理知【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt 0x 则 F(0)=0， F()=0，又因为 0= 0f(x)cosxdx=0cosxdF(x)=F(x)cosx|0+0F(x)sinxdx =0F(x)sinxdx 所以，存在 (0，)，使 F()sin=0，因若不然，则在(0，) 内或 F(x)sinx 恒为正，或 F(x)sinx 恒为负，均
15、与 0F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0,)时，sin0，故 F()=0 由以上证得 F(0)=F()=F()=0 (0) 再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔中值定理，知至少存在 1(0，)， 2(，)，使 F( 1)=F(2)=0 即 f( 1)一 f(2)=0【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 当 x0 时，由 故直线 OA的方程为 旋转体的体积令 ，并由 a0 得唯一驻点 a=4 由题意知 a=4 时，旋转体体积最大，最大体积为【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)由题没知(x+1)f(x)+(x+1)f(x)一 0xf(t)dt=0 上式两边对 x
16、 求导，得(x+1)f“(x)=一(x+2)f(x)设 u=f(x)，则有 解得 由f(0)=1，及 f(0)+f(0)=0，知 f(0)=一 1，从而 C=-1因此 (2)当 x0时，f(x)0，即 f(x)单调减少，又 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 设 (x)=f(x)一 e-x 则 (0)=0。(x)0 ，即 (x)单调增加，因而 (x)(0)=0，即有 f(x)e-x 综上所述，当x0 时，成立不等式 e-xf(x)1【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 x=tant，则 dx=sex2tdt【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 抛物线在点 M(x，
17、y)处的曲率半径抛物线上 的弧长【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 等式两边对 x 求导得 gf(x)f(x)=2xe x+x2ex 而 gf(x)=x ，故 xf(x)=2xex+x2ex 当 x0 时f(x)=2e x+xex 积分得 f(x)=(x+1)e x+C因此 f(x)=(x+1)ex1【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 (1)对任意的 x一 a，a其中 在 0 与 x 之间(2)-aaf(x)dx=-aaf(0)xdx+ 因为 f“(x)在一 a，a上连续，故对任意的 x-a,a，有 mf“(x)M，其中 M，m 分别为 f“(x)在 一 a，a上的最大
18、，最小值，所以 因而由 f”(x)的连续性知，至少存在一点 一 a，a使 即 a3f“()=3-aaf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 当一 1x0 时，当 0x1 时，【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 如图 219 建立坐标系，则抛物线的方程为 y=x2闸门矩形部分承受的水压力 P 1=21k+1g(h+1-y)dy=其中 为水的密度，g 为重力加速度 闸门下部承受的水压力 由题意知 解之得 h=2， 故 h=2即闸门矩形部分的高应为 2 m【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 当 x=9 时，由x=1+2t2 及 t1 得 t=2，故【知识模
19、块】 一元函数积分学29 【正确答案】 令 x=tant，则由分部积分法可得【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 (1)由 存在知， 由 f(x)在a，b上的连续知，f(a)=0又 f(x) 0，则 f(x)在(a,b) 内单调增加，故 f(x) f(a)=0x (a，b)(2)设 F(x)=x2.g(x)=axf(t)dt (axb)则 g(x)=f(x)0故 F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件于是在(a，b)内存在点 使 (3)在a ，上对 f(x)用拉格朗日中值定理得，存在 (a) ，使 f()一 f(a)=f()( 一a)即 f()=f()( 一 a)代入(2)中的结论得 故 f()(b 2 一 a2)=【知识模块】 一元函数积分学
