1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年) 设 I lnsind，J lncotd，K lncosd，则 I，J，K 的大小关系为 【 】（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI2 (2012 年) 设 Ik 0k sind(k1，2，3)，则有 【 】（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I33 (2013 年) 设函数 ，则 【 】（A） 是函数 F()的跳跃间断点（B） 是函数 F()的可去间断点（C） F()在 处连续但
2、不可导（D）F()在 处可导4 (2013 年) 设函数 f() 若反常积分 1 f()d 收敛，则 【 】（A）a2 （B） a2（C） 2a0（D）0a 25 (2015 年) 下列反常积分中收敛的是 【 】（A）（B）（C）（D）二、填空题6 (2011 年) 设函数 f() ，则 f()d_7 (2012 年) _8 (2013 年) 设函数 f() -1 ，则 yf()的反函数 f -1(y)在 y0 处的导数_9 (2013 年) 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 rcos3 ，则 L 所围平面图形的面积是_10 (2014 年) _11 (2014 年) 一根长为 1 的细棒位于
3、轴的区间0，1上，若其线密度 () 221，则该细棒的质心坐标 _ 12 (2015 年) 设函数 f()连续，() f(t)dt若 (1)1，(1)5，则 f(1)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (2006 年) 已知曲线 L 的方程为 ()讨论 L 的凹凸性； ()过点(1，0)引 L 的切线，求切点( 0，y 0)，并写出切线的方程； ()求此切线与 L(对应于 0 的部分)及 轴所围成的平面图形的面积14 (2007 年) 设 f()是区间0， 上的单调、可导函数，且满足其中 f1 是厂的反函数，求 f()15 (2007 年) 设 D 是位于曲线 y (a1
4、，0)下方、 轴上方的无界区域 ( )求区域 D 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)； ()当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值16 (2008 年) 计算17 (2008 年)()证明积分中值定理：若函数 f()在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a， b，使得 abf()df()(b a) ； ()若函数 ()具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2)()d，则至少存在一点 (1，3)，使得 ()018 (2009 年) 计算不定积分ln(1 )d(0)19 (2010 年)()比较 01lntln(1t) ndt 与 01tn lntdt(n 1，2，)的大小，说明理由；
5、 () 记 un 01 lntln(1 t) ndt(n1，2 ，)，求极限 un20 (2010 年) 一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a 短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 6 时(如图)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kgm 3)21 (2011 年) 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2y 22y(y )与 y 1(y )连接而成 ()求容器的容积； ()若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位：m，重力加速度为 g ms 2，水的密度为 103kgm 3)22
6、(2012 年)过点(0，1)作曲线 L：yln 的切线，切点为 A，又 L 与 轴交于 B点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积23 (2013 年) 设 D 是由曲线 y ，直线 a(a 0)及 轴所围成的平面图形，V，V y，分别是 D 绕 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积若 Vy10U 求 a 的值24 (2013 年) 设曲线 L 的方程为 y (1e) ()求 L 的弧长； ()设D 是由曲线 L，直线 1 ， e 及 轴所围平面图形求 D 的形心的横坐标25 (2014 年) 设函数 f()，g()在区间a，b上连续，且
7、 f()单调增加，0g()1证明： ( )0ag(t)dt(a) ，a ，b () f()dabf()d26 (2014 年) 已知函数 f(，y)满足 2(y1)，且 f(y，y)(y1) 2(2 y)lny ，求曲线 f(，y)0 所围图形绕直线 y1 旋转所成旋转体的体积27 (2015 年) 设 A0，D 是由曲线段 yAsin(0 )及直线 y0， 所围成的平面区域，V 1，V 2 分别表示 D 绕 轴与绕 y 轴旋转所成旋转体的体积若V1V 2，求 A 的值考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
8、【正确答案】 B【试题解析】 当 (0， )时，sincos1cot，而 ln为单调增的函数，则 lnsinlncoslncot (0 ， ) 故应选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查定积分几何意义，曲线 ysin 如上图，而 在(0， )单调增且大于 1，则曲线 y sin如下图该曲线与 轴围成三块域面积分别为S1，S 2，S 3，由定积分几何意义知 I 1 0 sindS 10 I2 02 sindS 1S 20 I 3 03 sindS 1S 2S 3 S1(S 3S 2)S 1I 1 则 I2I 1I 3 故应选 D【知识模块】 一元函数积分
9、学3 【正确答案】 C【试题解析】 则 F()在 处连续故 F()在 处不可导，应选 C【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知收敛，则 11，即 a2 又则敛，则 a11，即a0 故 0a2【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 n 项和的极限，提出一个 的因子知，原式为一个积分和式【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由 f() 知，当 f()0 时，1， 又【知识模块】 一元函
10、数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 由线 L：cos3( )所围图形面积为【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 质心的横坐标为【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 2【试题解析】 () f(t)dt，由 (1)1 知 01f(t)dt1，又 () f(t)dt2 2f(2) 由 (1)5 知 5 01f(t)dt2f(1)12f(1) 则 f(1)2【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 () 由于 当 t0 时， 0，故 L 上凸 (
11、)因为当 t0 时， L 在对应点处的切线方程为 1，不合题意，故设切点(0， y0)对应的参数为 t0 0，则 L 在( 0，y 0)处的切线方程为 y(4t 0t 02)( 1)( t021) 令 1，y0，得 t02t 020 解得 t01，或 t02(舍去) 由t01 知，切点为(2，3) ，且切线方程为 y 1 ()由 t0，t4 知 L 与 轴交点分别为(1 ，0) 和(17，0) 所求平面图形的面积为【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 而 f(0)0，则 C0 f() ln(sincos)【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 令V(a)0，得 ae 且当 1
12、ae 时，V(a) 0；当 ae ，V(a) 0，则 V(a)在 ae处取极小值而 ae 是唯一的极值点，则 Vmin(e)e 2【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 由于 是反常积分 令arcsint，有 sint，t0， )，【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 () 设 M 与 m 是连续函数 f()在a，b上的最大值与最小值，即 mf()M，a，b 由定积分性质，有 m(ba) abf()dM(ba) 即m f()dM 由连续函数介值定理，至少存在一点 a,b，使得 f()f()d， 即 abf()df()(b a) ()由()的结论，可知至少存在一点2，3 ，使
13、23()d()(32)(n) 又由 (2) 23()d()知，23 对 ()在1 ， 2和2， 上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到 (1)(2)，()(2)，得 在 1， 2上对导函数()应用拉格朗日中值定理，有【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 () 当 0t1 时，因为 ln(1t)t，所以 lntln(1t)ntnlnt， 因此 01lntln(1t) ndt01tnlnt dt ()由() 知0un 01lntln(1 t) ndt01tnnlntdt【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 如图建立坐标系，则油罐底面
14、椭圆方程为 1图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S1 为下半椭圆面积，则 S1 ab；记 是位于 轴上方阴影部分的面积，则 设 ybsint，则dybcostdt【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由对称性，所求的容积为 V即该容器的容积为 立方米 ()所求的功为 即所求的功为 焦耳【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 设切点 A 的坐标为( 1，y 1)，则切线方程为 yy 1 ( 1) 将点(0，1)代入，得 1e 2，y 12 所求面积为 所求体积为【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由V10V 即 ，解得 a7【知识模块】 一元函数积分学24 【
15、正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 () 由 0g()1 得 0 0g(t)dt01dt( a) a，b ()令 F(u) auf()g() f()d 只要证明 F(b)0，显然 F(a)0，只要证明 F(u)单调增，又 F(u)f(u)g(u) f(a aug(t)dt)g(u) g(u)f(u)f(a aug(t)dt) 由()的结论0ag(t)dt(a)知，aa ag(t)dt，即 aa aug(t)dtu 又 f()单调增加，则 f(u)f(a aug(t)dt)，因此，F(u)0，F(b)0 故 f()dabf()g()d【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由 2(y1)可知，f(，y)2(y1)dy(y1) 2() 又f(y，y)(y1) 2(2 y)lny，则 (y1) 2(2y)lny(y1) 2(y) 则 (y)(2 y)lny，曲线 f(，y)0 的方程为 (y1) 2 (2)ln (12) 其所围图形绕直线 y1 旋转所成旋转体的体积 V 12(y1) 2d 12(2)lnd(2ln2 )【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由 VV 知，A 【知识模块】 一元函数积分学
