1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 7 及答案与解析一、填空题1 I y ddy_2 设 D：01，0y1，则 I _3 设 I1 (4y 4)d，I 2 (4y 4)d， I3 22y2d 则这三个积分的大小顺序是_4 设 D 为圆域 2y 2，则 I _5 设 D 是 Oy 平面上以 A(1，1) ，B(1，1)和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I ddy_ 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 在极坐标变换下将 f(，y)d 化为累次积分，其中 D 为： 2y 22ax 与2y 22ay 的公共部分(a0)7 计算二重积分 I ，其中 D 由 y 与 y 4 围成8 求
2、 I ，其中 D 为 y ，y 及 0 所同成区域9 求 I ddY，其中 D 是由抛物线 y2 ，直线 0，y1 所同成10 求 I 1yf( 2y 2)ddy，D 由 y 3，y 1，1 围成，f 是连续函数11 求 I ddy，其中 D： 1，0y212 设 D 由抛物线 y 2，y4 2 及直线 y1 所围成用先 后 y 的顺序，将I f(，y)ddy，化成累次积分13 求 I yddy，D 由曲线 2y 222y1 所围成14 交换累次积分的积分顺序：I15 将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：I (r，)dr，其中 F(r，)fF
3、cos，rsin)r16 计算累次积分：I 01d1+1ydy 12d+1ydy 23d3ydy17 将 f(rcos，rsin)rdr 写成直角坐标系下先对 y 后对 积分的累次积分18 计算19 计算 (a0)，其中 D 是由圆心在点(a，a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆20 计算二重积分： y2ddy ，其中 D：02 ，2y221 计算下列二重积分： () yd，其中 D 是由曲线 rsin2(0 )围成的区域；() yd，其中 D 是由曲线 y ，(y1) 21 与 y 轴围成的在右上方的部分22 求下列二重积分： ()I ，其中 D 为正方形域：01，0y1； ()I 3 4y
4、ddy，其中 D： 2y 21； ()I yddy，其中 D 由直线 2，y0，y2 及曲线 所围成23 设函数 f()在区间a，b上连续，且恒大于零，证明： f()d (ba) 224 ()记 (R)(，y) 2y 2R2，I(R) ()证明：25 设 f()在区间 0，1上连续，证明： 01f()d1f(y)dy 01f()d2考研数学二（二重积分）模拟试卷 7 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 I 3I 1I 2【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 8【知识模块】
5、 二重积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r2acos 与 r2asin，交点 P 处的极坐标是 ，于是连接 OP 将区域 D 分成两部分(见图 813)，则或者先对 积分，则【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 D 的图形如图 814 所示，虽然 D 的边界不是圆弧，但被积函数是 r ，选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D 的边界方程是从而【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 区域 D 如图 815被积函数只含 y，先对 积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y 积分，则求积分 要费点功夫 选择先对 积分，将
6、 D 分块：【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 dy 的原函数不是初等函数，故 dy 积不出来，因此选先 后 y 的顺序积分区域 D 如图 816，于是【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 D 的图形如图 817这里被积函数y(2 y2)关于( ，Y) 为偶函数，而 D1(，y) 01，0y *3 与D1(，y)10 ， 3y0关于原点对称因此 I 【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 在积分区域 D 上被积函数分块表示为 y 2， 因此要将 D 分块，用分块积分法又D 关于 y 轴对称，被积函数关于 为偶函数，记 D 1(，y)( ，y)D，0，y 2，D 2( ，y) (，y)
7、D，0 ，y 2，【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 区域 D 如图 818 所示，将 D 分成 0 与 0 两部分才是先积 后积 y 的类型，于是用分块积分法即得【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 D 是圆域：(1) 2(y1) 21，见图 819作平移变换u1，v y1，则其中 D(u，v)u 2v 21【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 先对 积分，就是从区域 D 的左侧边界 y *到右侧边界y2两边界线的交点为(1，一 1)与(4，2)，得 I【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 r2acos 是圆周 2y 22a，即(a) 2y 2a 2，因此 D 的图形如图
8、821 所示为了先 后 r 的积分顺序，将 D 分成两块，如图 821 虚线所示，DD 1D2，【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 由累次积分限知：01 时 1y；12 时 y1；23时 y3，于是积分区域 D 如图 823 所示，因此 D 可表示为D(，y) 1y3，y1y，则 原式4【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 D 的极坐标表示： ，0rsin，即 ，r 2rsin，即2y 2y，0，则 D 为左半圆域： 2y 2y，0，即2 ，0先对 y 后对 积分， D ：，于是 原式【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 积分区域 D 为扇形所以原式【知识模块】 二重积分19 【
9、正确答案】 由于圆的方程为：(a) 2(ya) 2a 2，区域 D 的边界所涉及的圆弧为 ya ，所以【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 如图 824，用直线 y2，y 将 D 分成 D1，D 2 与 D3于是【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 () 积分域 D 见图 825D 的极坐标表示是：00 ，0rsin2 ，于是()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r1 与 r2sin ，交点的极坐标为(1， )(见图 826)，于是积分域 D 的极坐标表示为D(r，) ，1r2sin)，则【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 () 尽管 D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特
10、点知选用极坐标比较方便D 的边界线 1 及 y1 的极坐标方程分别为()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质 作极坐标变换 rcos ，yrsin，则 D：02，0r1从而其中sin0 ，cos 0 由周期函数的积分性质，令 t 0 就有()D 的图形如图 827 所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D1，则计算 D1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 后 y 的积分顺序化为累次积分若注意 D 关于直线 y1 对称，选择平移变换则最为方便作平移变换
11、 u，vy1，注意曲线 ， 即 2(y1) 21，0，则 D 变成 D D由u2，v1，v1，u 2v 21(u0)围成，则【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 利用积分变量的改变，可得其中D(，y) ab，ayb并且利用对称性(D 关于 y 对称)，可得【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 () 首先用极坐标变换求出 I(R)，然后求极限 I(R) 作极坐标变换 rcos，yrsin 得()因为 在(，) 可积，则 通过求-RR d 再求极限的方法行不通，因为 d 积不出来(不是初等函数) 但可以估计这个积分值为了利用 ddy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题其中 D(R)( ，y) R，yR 显然 I(R)， 又 )，于是【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 先将累次积分表成二重积分，则有 I 01f()d1f(y)dy f()f(y)ddy， 其中 D ，y) 01，y1，如图 8 28，它与D(，y) 01 ，0y关于 y 对称于是【知识模块】 二重积分
