1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )2 a= (x2+y2)2d，其中D=(x，y) x 2+y21，则 ( )（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab3 设 D：x+y1，则 (x+y)dxdy= ( )（A）0（B）（C）（D）14 化为极坐标系中的累次积分为 ( )5 设 D 由直线 x=0，y=0 ，x+y=1 围成，已知 01f(x)dx=01xf(x)dx，则 f(x)dxdy= ( )（A）2（B） 0（C）（D）1二、
2、填空题6 设 f(x，y)为连续函数，则 I= =_，其中D：x 2+y2t2。7 (x2+y2)dxdy=_8 交换二次积分次序： 01dy f(x，y)dx=_。9 交换二次积分次序： 01dx f(x，y)dy+ 1edxlnx1f(x，y)dy=_。10 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I=0ady0yem(a 一 x)f(x)dx 化为定积分，则 I=_11 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 一 y2=1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 I=xf(y2)d=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设函数 f(x)在
3、0，1上连续，证明： 01ef(x)dx01e 一 f(y)dy113 求 V(t)= (t 一 1)y+1dxdy 的最大值，其中 Dt=(x，y)x 2+y21，一 y1，2t3。14 变换二次积分的积分次序： 。15 变换二次积分的积分次序： 。16 变换二次积分的积分次序： 。17 变换二次积分的积分次序： 。18 计算二重积分 ，其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和曲线 y=x3 所围成的封闭区域19 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0yx，x 2+y22x20 求二重积分 ，直线 y=2，y=x 所围成的平面区域21 求 minx，ydxdy，其中 D=(x，y)0x3，
4、0y122 计算 ，其中 a，b023 计算 ln(1+x2+y2)dxdy,；其中 D：x 2+y2124 计算 所围成25 计算 26 设 f(x，y)= ，其中 D 为正方形域0x1，0y127 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续且单调增，证明： abf(x)dxabg(x)dx(b 一a) f(x)g(x)dx28 计算 一 +一 +minx，y) dxdy考研数学二（二重积分）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(一 1)m(一 1)n=一 1，从而积分
5、为零；当m 和 n 均为奇数时，(一 1)m(一 1)n=1，从而【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)x+y1 ，所以因此有cba【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 A【试题解析】 由 y=1+ 得 x2+(y 一 1)2=1(y1)，所以积分区域 D 是圆 x2+(y一 1)21 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由 01f(x)dx=01xf(x)dx 得 01(1 一 x)f(x)dx=0，于是 f(x)dxdy
6、=01)dx01 一 xf(x)dy=01(1 一 x)f(x)dx=0【知识模块】 二重积分二、填空题6 【正确答案】 f(0，0)【试题解析】 因被积函数 f(x，y)在闭区域 D：x 2+y2t2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：用中值定理先去掉积分号再求极限；用二次积分化分子为积分上限的函数 因 f(x，y)在 D：x 2+y2t2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 f(x，y)d=f( ，)=t 2f(，) 因(，)在 D：x 2+y2t2 上，所以当 t0 +时，(， )(0 ，0) 于是f(， )=f(0，0) 。【知识模块】
7、 二重积分7 【正确答案】 【试题解析】 令 x=rsin ，y=rcos，则 原式=01dr02(r2sin2+r2cos2)rd= 01r3dr02d= 【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 04dx f(x，y)dy【试题解析】 由已知有，所求积分区域为 y= ，x=y 2 所围成的区域，所以 【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 01dy f(x，y)dx【试题解析】 由已知有，所求积分区域为 y=1，y=一 x2+1，y=ln x 所围成的区域，所以 【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 0aem(a 一 x)f(x)(a 一 c)dx【试题解析】 被积函数仅是 x 的函数，
8、交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 I= 0adxxaem(a 一 x)f(x)dy =0aem(a 一 x)f(x)(a 一 x)dx【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 0【试题解析】 因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故 xf(y2)d=0。【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 【知识模块】 二重积分16 【正确答案】
9、 如图 158 所示，D=D 1+D2，其中【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 原式=【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 积分区域：minx，y= 其中D1=(x，y) 0y1 ，yx3)，D 2=(x，y)0y1 ，0xy)所以【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 【知识模块】 二重积分27 【正确答案】 由f(x)，g(x) 在a，b 上单调递增，得 2I0，即 I0，故 abf(x)dx， g(x)dx(b 一 a)abf(x)g(x)dx【知识模块】 二重积分28 【正确答案】 设 a0 ，D a=x，y)一 axa，一 aya，则当 a+ 时，DaD，从而 【知识模块】 二重积分
