1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 8 及答案与解析一、填空题1 设 D 是 Oxy 平面上以 A(1，1)，B(1，1) 和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I= =_2 设 D 为 y=x3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= xydxdy=_3 设 D：0x1，0y1 ，则 I= =_4 设 D 为圆域 x2+y2x，则 I= =_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求I= 6 计算二重积分 I= ，其中 D 由 y=x 与 y=x4 围成7 求 I= ，其中 D 是由抛物线 y2=x，直线 x=
2、0，y=1 所围成8 求 I= ，其中 D：x1 ，0y2 9 求 I= ，D 由曲线 x2+y2=2x+2y1 所围成10 比较下列积分值的大小：() I 1=,其中 D 由x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，则 I1，I 2，I 3 之间的大小顺序为(A)I 1I 2I 3 (B)I3I 2I 1(C)I 1I 3I 2 (D)I 3I 1I 2() J i= ，i=1，2，3，其中 D1=x，y)x 2+y2R2，D 2=(x，y)x 2+y22R2，D3=(x，y) xR ，yR则 J1，J 2，J 3 之间的大小顺序为(A)J 1J 2J 3 (B)J2J 3J 1(C)J
3、 1J 3 J2 (D)J 3J 2J 111 将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：其中 F(r，)=f(reos，rsin)r12 将 d0sinf(rcos，rsin)rdr 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分13 计算 (a0)，其中 D 是由圆心在点(a，a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域14 计算下列二重积分：() xyd,其中 D 是由曲线 r=sin2(0 )围成的区域；() xyd，其中 D 是由曲线 y= ，x 2+(y1) 2=1 与 y 轴围成的在右上方的部分15 设函
4、数 f(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明：16 设 f(x)在区间0，1上连续，证明： 01f(x)dxx1f(y)dy= 01f(x)dx217 计算 I= ，其中 D 是以 O(0，0)，A(1，1)，B(1，1)为顶点的三角形区域18 计算 sin(xy)dxdy，其中 D：0xy219 计算 ，其中 D：x0，y0，x+y120 设 D=(x， y)x 2+y22x+2y，求 I= (x+y2)dxdy21 22 23 24 25 设 f(u)可导，f(0)=0， =_考研数学二（二重积分）模拟试卷 8 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 8【试题解析】 连 将区域 D 分成
5、 D1(三角形 OAB)，D 2(三角形 OBC)两个部分(见图 82) ，它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 对 x 与 y 均为奇函数，因此 又由于 D 的面积= =2，所以 4dxdy=4.2=8于是 I=0+8=8【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 0【试题解析】 D 如图 81 所示添加辅助线 y=x 3(x0)，将 D 分解成D=D1D2，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数=【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 【试题解析】 D 关于直线 y=x 对称= 与原式相加=【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 【试题解析】
6、D 如图 83用极坐标变换，D 的极坐标表示：【知识模块】 二重积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 先对 x 积分区域 D 如图 86 所示【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 D 的图形如图 814 所示，虽然 D 的边界不是圆弧，但被积函数是 r= ，选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D 的边界方程是，从而【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 的原函数不是初等函数，故 积不出来，因此选先 x 后 y的顺序积分区域 D 如图 816，于是【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 在积分区域 D 上被积函数分块表示为因此要将 D 分块，用分块积分法又 D关
7、于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D1=(x，y)(x，y)D，x0，yx 2，D2=(x，y) (x，y)D，x0，yx 2，【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 D 是圆域：(x1) 2+(y1) 21，见图 819作平移变换u=x1 ，v=y1，则I= =0+=，其中D=(u，v)u 2+v21【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 题() 中，积分区域相同，被积函数连续，可通过比较被积函数来判断；题() 中被积函数相同，连续且是正的，可通过比较积分区域来判断积分值的大小() 在区域 D 上， x+y1当 t1 时， lntsintt，从而有(x，y)D 时， 则 因此
8、选(C)()D 1，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， 的圆，D 3 是正方形，显然有 因此(C) 成立【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 r=2acos 是圆周 x2+y2=2ax，即(xa) 2+y2=a2，因此 D 的图形如图821 所示为了先 后 r 的积分顺序，将 D 分成两块，如图 821 虚线所示，D=D1D2，【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 D 的极坐标表示： ，0rsin，即 ，r 2rsin，即x2+y2y，x0，则 D 为左半圆域：x 2+y2y，x0，即x2+ ，x0先对 y 后对 x 积分，D ：，于是原式=【知识模块】 二重积分13 【正确答案
9、】 由于圆的方程为：(xa) 2+(ya) 2=a2，区域 D 的边界所涉及的圆弧为 y=a ，所以【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 () 积分域 D 见图 825D 的极坐标表示是：0 ，0rsin2，于是()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r=1 与 r=2sin，交点的极坐标为(1， )(见图 826)，于是积分域 D 的极坐标表示为D=(r，) ，1r2sin ，则【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 利用积分变量的改变，可得其中D=(x，y) axb，ayb并且利用对称性(D 关于 y=x 对称)，可得【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 先将累次积分表示成
10、二重积分，则有 I= 01f(x)dxx1f(y)dy= f(x)f(y)dxdy，其中 D=(x，y) 0x1，xy1，如图 828，它与D=(x，y)0x1 ，0yx关于 y=x 对称于是 I= f(x)f(y)dxdy， 2I=01dx01f(x)f(y)dy =01f(x)dx01f(y)dy=01f(x)dx2，因此，I= 01f(x)dx2【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 D 如图 85 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数其中 D1=Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 (分块积分法)D 如图 86-(a)，被积函数
11、分块表示，要分块积分，将 D 分成 D=D1D2，以 yx= 为分界线( 如图 8 6-(b)在 D1 上，y x2；在 D2 上，0yx ，则 在 D2 上边界分段表示(如图86-(c)，也要分块积分【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 极坐标变换 x=rcos，y=rsin D：0 于是【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 D 是圆域：(x1) 2+(y1) 22，也考虑到被积函数的情形，先作平移变换 u=x1v=y 1则 I= (2+u+2v+v2)dudv，其中 D：u 2+v22于是由 D的对称性及被积函数的奇偶性得利用直角坐标系中的公式其中 D1= 是 D 的第一象限部分【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 如图 811 所示【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 如图 813 所示当 x0，t 2时， t(t0)，于是【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 如图 815 所示【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 表成 D 的二重积分，确定 D，再交换积分次序D 如图 817【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 t0化二重积分为定积分作极坐标变换【知识模块】 二重积分
