1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若 f(，y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有 (，y)d 0，则 f(，y)0( (，y)D)（B）若 f(，y)在 D 可积， f(，y)0 但不恒等于 0(，y)D) ，则 f(，y)d0（C）若 f(，y)在 D 连续， f(，y)d0，则 f(，y)0(，y) D)（D）若 f(，y)在 D 连续，f( ，y)0( ，y)D) ，则 f(，y)d 02 比较下列积分值的大小：其中 D 由 0，y0，y ，y1 围
2、成，则 I1，I 2，I 3 之间的大小顺序为（A）I 1I2 I3（B） I 3I2I 1（C） I 1I3I 2（D）I 3I1 I23 J ddy，i1，2，3，其中 D1(，y) 2y 2R2，D2(，y) 2y 22R2，D 3(，y)R ，yR则 J1，J 2，J 3 之间的大小顺序为（A）J 1J 2J 3（B） J2J 3J 1（C） J1J 3J 2（D）J 3J 2J 1二、填空题4 设 D 为两个圆： 2y 21 及( 2) 2y 24 的公共部分，则I yddy_5 设 D 为 y 2 及 1，y1 所围成的区域，则 I ddy_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
3、演算步骤。6 计算 ddy，其中 D 为曲线 yln 与两直线 y0，y(e1) 所围成的平面区域7 计算 I ddy，其中 D 是以 0(0，0)，A(1，1)，B(1，1)为顶点的三角形区域8 计算 ddy，其中 D：1 2y 29， 9 计算 sin( y)ddy，其中 D：0y210 计算 (y) 2ddy，其中 D：y111 计算 ddy，其中 D：0，y0，y112 设 a0 为常数，求积分 I y2d，其中 D： 2y 2a13 设 D(，y) 2y 222y ，求 I (y 2)ddy14 设 D(，y) y1， 2y 21，求 I (2y 2)d15 16 17 18 极坐标
4、系下的累次积分 f(rcos，rsin)rdr19 20 ln(1 2y 2)dy(R0)21 22 23 设 f(u)可导，f(0)0，f(0) ，I(t) ，求I(t)24 设 f()在a，b连续，且 f()0， abf()dAD 为正方形区域：ab， ayb，求证： ()I ()I(ba)(baA)25 将 f(，y)ddy 化为累次积分，其中 D 为 2 y22a 与 2y 22ay，的公共部分(a 0)26 设 D 是由曲线 1(a0，b0) 与 轴，y 轴围成的区域，求I yddy考研数学二（二重积分）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
5、要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设(，y)是 D 中某点，令 f(，y)则在区域 D 上 f(，y)0 且不恒等于 0，但f(，y)d 0，因此选 B【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 C【试题解析】 在区域 D 上， y1当 t1 时，lntsintt ，从而有(，y)D 时， 因此选 C【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 C【试题解析】 D 1，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， 的圆，D 3 是正方形，显然有 D1 D2因此 C 成立【知识模块】 二重积分二、填空题4 【正确答案】 0【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 0【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 yln 与 y(e 1) 的交点是(e，1)，D 如图 84 所示，在Oy 坐标系中选择先 后 Y 的积分顺序(D 不必分块)得【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 D 如图 85 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 为偶函数 I2 ddy， 其中 D1D0 选择先 后 y 的积分顺序【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 令 rcos，yrsin，则 D：1r3， 于是【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 利用对称法，如图 86(d)，D 与 D*关于 y 对称【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 D 关于 ，y 轴均对称，它在第
7、一象限部分记为 D1，如图 87【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 极坐标变换 rcos ，yrsin【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 D 是圆域(如图 89)：作极坐标变换 rcos ， yrsin，并由 D 关于 轴对称， 轴上方部分为 D1：0 ，0racos于是【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 利用直角坐标系中的公式 I4 v2dudv， 其中D1(u ，v)0u ，0v 是 D 的第一象限部分因此 I4 5【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 直接用极坐标变换(rcos ，yrsin)D 的极坐标表示是【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 如图 811
8、所示 原式【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 如图 812 所示 原式【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 如图 813 所示当 0，t 2时， t(t0)，于是【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 814) 原积分 f(rcos， rsin)rdrd 由 r 得 r2sin2 当 00 时0 arcsinr2； 当 时 02 ，r 2sin2sin(2) 于是，2arcsinr 2， arcsinr2 因此原积分 f(rcos，rsin)rd【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 如图 815 所示【知识模块】 二重积分20 【正确
9、答案】 如图 816 所示【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 用分部积分法【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 D 是圆域的一部分，如图 818 所示，则 I作极坐标变换，圆周方程为(y 1) 2 21，即 2y 22y， 即 r2sin ，积分区域D： 0，0r2sin，于是【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 t0化二重积分为定积分作极坐标变换【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 ()D 关于直线 y 对称，利用二重积分的有关性质：相加得由初等不等式：()由不等式et1t(t 0)及题()(ba) 2(ba)abf()d(ba)(baA)【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 如图 85， 2y 22a 与 2y 22ay 是两个圆，其交点为O(0，0)，P(a，a) 因此，若先对 y 积分，就有若先对 求积分，则【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 先对 积分区域 D 如图 86 所示【知识模块】 二重积分
