1、第二节 二重积分的计算,一. 直角坐标系下二重积分的计算,二. 极坐标系下二重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,教学目标,掌握在直角坐标系下 x - 型区域和 y - 型区域 的二重积分计算方法. 2. 利用极坐标计算二重积分. 3. 掌握二重积分交换积分次序的方法. *4. 二重积分的换元法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的计算方法.,正如利用定积分的定义计算定积分非常困难一样, 利用二重,计算二重积分难度更大, 因此需要寻求一些更为有效的计算二,二次积分 (或累次积分), 即计算两次定积分, 从而得出计算,二重积分的实用方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
2、本节将从二重积分的几何意义出发, 讨论如把二重积分化为,一. 直角坐标系下二重积分的计算,依据积分区域形状的不同, 我们给出如下的定义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的闭区域为X-型区域, 它是由直线,称形如,及曲线,所围成, 如图8.2.1.,称形如,的闭区域为 Y- 型区域, 它是由直线,及曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所围成, 如图8.2.2.,由二重积分的定义知: 若(x, y)在 D 上可积, 则其和式极限的存在与区域 D 的分法无关, 也与小 区域,的形状无关.,故在直角坐标系下, 我们常采用平,行于坐标轴的直线网格来划分区域,D(如图8.2.3), 那么此时除
3、了包含边,界点的一些小闭区域外,其余的小闭,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x,y,O,图8.2.3,分别为,从而在直角坐标系下,二重积分也可以记作,下面利用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法.,设曲顶柱体的曲顶是 z =f (x, y) (0),如图8.2.4, 底是区域 D, 且D是,由 xoy 平面上由直线,与曲线,所围成.,为了确定曲顶柱体的体积V, 在 x 轴上任,取一点 x,过该点作一个垂直于 x 轴的平面去截曲顶柱,体, 其截面面积为,如图8.2.4所示,图8.2.4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定积分可知: 平行截面面积已知的立体的体积为定积分,而对于区间
4、a, b上每一个固定的 x,就是一个曲边梯形的面积,如图8.2.5;,此曲边梯形的曲边是由方程 z= f (x, y)确定,的关于 y 的一元函数. 而底边是沿着 y 轴,的线段.,则由曲边梯形的面积公式得,从而,于是得到二重积分的计算公式,上式右端的积分称为二次积分或称为先对 y后 x的二次积分.,常简写为,如果去掉 f(x, y)在D上是非负函数这个条件,公式(8.2.1)依,然成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(8.2.1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,注1 当积分区域 D 为 X-型区域时, 把二重积分化为二次定,积分时, 要明确以下两点:,(1) 积分次序: 先把 x
5、 看成常数, 把 (x, y)只看成 y的函数来,计算定积分,积分的结果是 x 的函数; 然后再对,此函数在a,b上对 x 作定积分.,(2) 积分上下限: 将二重积分化为二次积分,关键是确定积分,限. 一般先画出区域D的图形, 用“投影穿线法”确定积分限.,如图8.2.1, 所谓“投影穿线法”, 即 先投影确定外积分限:,将积分区域向 x 轴投影, 区间若为 a, b则外层上、下限分别为 b, a;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再穿线确定内积分限: 过 a, b内任意一点作 x 轴的垂线,它们就是内层上、下限.,与与积分区域的边界相交, 由上至下交点分别为,类似地,当积分区域 D为Y
6、-型区域时, 则二重积分化为二次积分的计算公式为,即把二重积分化为先对 x 后对 y 的二次积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注 由二重积分的定义知, 二重积分取 决于被积函数 (x, y)和积分区域 D.而二 元函数 (x, y)的结构多样,积分区域 D的 形状各异, 因此将二重积分化为,二次积分时既要虑积分区域 D,的形状, 又要考虑被积函数的特点.,(8.2.2),例1,围成.,解 如图8.2.6,积分区域 D 既是 X 型又是Y 型.,若将 D看成X型, 先对 y 后对 x 积分,则积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,若将 D看成Y 型, 先对 x 后对 y
7、 积分, 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可见, 将积分区域D看成Y型区域时积分过程要复杂些.,如果当积分区域D是一矩形, 即,且函数(x, y)在 D上连续, 则式(8.2.1)与式(8.2.2)变为,例如,(8.2.3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 如图8.2.8所示, 将D看成X 型区域,先对 y 再对 x 积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,图8.2.8,则积分区域 D 为,积不出来, 故不能先对先对 y积分, 须将区域 D 看成,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Y -型区域, 先对 x 积分后对 y 积分, 从而积分区域为,机动 目录 上页 下页
8、 返回 结束,注1 本例中的积分区域 D 既是X -型区域, 又是Y- 型区域,但是只能选择先对 x 积分后对 y的积分次序.,由例1 及例2可知:,积分次序的选择不仅关系到计算繁简的问题, 还涉及能,否计算出结果的问题,注2 当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注3 (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注4凡遇,等不能用初等函数表示原函数的积分
9、，,均须更换积分次序.但在更换积分次序时，必须先,画出积分区域D 的图形，再根据积分次序的要求，,重新写出D 的边界方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区域, 如图8.2.9所示. 其中,交换积分次序后,区域 D应视为Y -型区域, 即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,图8.2.10,如图8.2.10所示. 其中,交换积分次序后, 将 D 看成X- 型区域, 即,则,注 选择积分次序的原则:,尽可能将区域 D少分块以简化计算过程;,第二次积分的计算,下限表达式要简单且易求原函数,第一次积分的上、,同时第一次积分结果便于,机动 目录 上页 下页
10、 返回 结束,图8.2.10,例4. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 画出积分区域 D的图形;,(2) 根据积分区域 D和被积函数的结构来选择积分次序,用不等式组表示出积分区域 D,定出二次积分的上、下限;,二重积分的计算可按如下步骤进行：,(3) 将二重积分表示为相应的二次积分进行计算,例5 计算二重积分,域 D是 xy 平面上以,和,为顶点的三角形,解 如图8.2.11所示. 将积分区域 D为,关于 y轴对称, D3与D4关于x轴对称,
11、 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中区,区域, D1是 D 在第一象限的部分,四个子区域D1, D2, D3和D4.,其中D1与D2,而积分区域D1为:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题1,解：,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,解： 因 的原函数积不出来，按先对 y 后对 x 的积分次序无法计算出结果, 故须改变积分次序.,x,y,O,1,1,由题意知其X型区域为：,是Y型区域.,另解: 利用分部积分公式, 令,则有,练
12、习题2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,注：当积分区域D是一矩形且:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,则,证：,练习题3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二. 极坐标系下二重积分的计算,对于二重积分,如果被积函数f(x,y)用极坐标变量 r, 表示,比较简单, 而且积分区域 D的边界曲线用极坐标方程来表示,也很简单, 比如,当积分区域 D是圆域、环域、扇形域等, 或,被积函数为形如,等的形式时, 在极坐标系,较为方便,题需要解决:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 如何把被积函数f(x,y)化为极坐标形式;,因为直角坐
13、标与极坐标的关系为,从而被积函数f(x,y)可化为 r 和的函数, 即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设通过原点的射线与区域 D的边界线的交点不多于两点,如图8.2.12.,及另一簇从极点出发的射线,将极角分别为与,常数,和半径分别为r与,的两条圆弧,的两条射线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在极坐标系下, 我们用一簇圆心在极点的同心圆,r =常数,所围成的小区域记作,将区域 D分割成许多小区域,如图8.2.13, 则由扇形面积公式得,当r 和 充分小时, 我们略去高阶无穷小量,得,此时极坐标系中的面积元素为,故直角坐标系下的二重积分变为极坐 标系下的二重积分的计算公式为,(8.2
14、.4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,怎样把二重积分的极坐标形式化为累次积分呢? 在极坐标系中, 区域D的边界曲线方程通常总是用,(1) 极点在区域D的外部,积分区域D由极点出发的两条射线,来表示, 所以一般是选择先对 r 积分,后对 积分的次序.下面 依据积分区域 D 的三种情况分别讨论如下:,和两条连续曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,围成, 如图8.2.14, 即,则有,解：积分区域如图,例7. 写出积分,的极坐标二次积分形式，,其中积分区域为,所以圆的方程为 r = 1,直线的方程为,在极坐标下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 极点O在区域 D 的边界上,积分
15、区域D由极点出发的两条射线,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图8.2.15, 即,x,o,解: 积分区域 D 如图所示,则 D 的边界曲线方程为 r = 2cos.,y,例8.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,D,x,y,o,解: 在直角坐标系下积分区域 D 如图所示,1,显然区域 D 为扇形, 则将其转换为极坐标形式.,例9.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 极点O在区域D的内部,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图8.2.16, 即,若 f 1 则可求得D 的面积,解 由于积分区域 D是圆环域, 如图8.2.17所示.且被积函数,含有,在极坐标系下,
16、D可表为,故选用在极坐标系下计算.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注 若选用直角坐标系, 且把积分区域 D看成是X-型, 则,若积分区域D看成是Y-型, 同样把D分成 四部分,由此可见,坐标系的正确选择也关,系到二重积分计算的繁简.,例11. 计算二重积分,其中积分区域为,解：积分区域如图.,由对称性，可只考虑第一象限部分，即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所围成.,在直角坐标系中无法计算, 现将它放在极坐标系下计算.,如图8.2.18所示, 圆域 D可表为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,*三. 二重积分的换元法,定理3 设f(x
17、,y)在xy平面的闭区域D上连续,将uv平面上的闭区域,变为xy平面上的D,如图8.2.19所示, 且满足,变换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 直角坐标转化为极坐标时, 变换为,雅可比行列式为,在此略去定理的证明, 有兴趣的读者可参考其它相关资料.,则,上式即为二重积分的变量从直角坐标,变换为极坐标的变换公式(8.2.4). 因而公,解 令,式 (8.2.4)是二重积分换元法的一种特殊,如图8.2.20所示, 则变换为,情形.,闭区域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,雅可比行列式为,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 曲
18、顶柱体体积的计算,二次积分法,2. 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若积分区域为,则,则,极坐标系情形: 若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,区域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考练习,1. 计算,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,且,求,提示：,交换积分顺序后, x , y互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所围成的平面区域.,解 如图,由对称性，得,令平面区域 D = D1 D2 , 其中,x,y,o,D,r=t,=0,=2,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：P791(单),2(2) (3), 3(双), 4 (1) (3), 5, 6 (2) (3), 7,8 (1),
