1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若 f(x， y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有 f(x，y)d=0，则 f(x，y)0( (x，y) D)（B）若 f(x，y) 在 D 可积， f(x，y)0 但不恒等于 0 (x，y)D) ，则 f(x，y)d0（C）若 f(x，y) 在 D 连续， f2(x，y)d=0 ，则 f(x，y)0 (x，y)D) （D）若 f(x， y)在 D 连续，f(x ，y)0 (x，y) D)，则 f(x，y)d0二、填空题2
2、 设 D 为两个圆：x 2+y21 及(x2) 2+y24 的公共部分，则 I= ydxdy=_3 I= =_4 设 ，则这三个积分的大小顺序是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 将 f(x，y)dxdy 化为累次积分，其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay 的公共部分(a 0)6 在极坐标变换下将 f(x，y)d 化为累次积分，其中 D 为：x 2+y22ax 与 x2+y22ay的公共部分(a0)7 求 I= ，其中 D 为 y= ，y=x 及 x=0 所围成区域8 求 I= 1+yf(x2+y2)dxdy，D 由 y=x3，y=1 ，x=1 围成，f 是
3、连续函数9 设 D 由抛物线 y=x2，y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序，将I= f(x，y)dxdy 化成累次积分10 交换累次积分的积分顺序：I=11 计算累次积分：I= 01dx1x+1ydy+12dxxx+1ydy+23dxx3ydy12 计算13 计算二重积分： x+y2dxdy，其中 D：0x2，2y2 14 求下列二重积分：()I= ，其中 D 为正方形域：0x1，0y1；( )I= 3x+4y dxdy，其中 D：x 2+y21；()I= ，其中D 由直线 x=2，y=0 ，y=2 及曲线 x= 所围成15 ()记 (R)=(x，y)x 2+y2R2
4、， ()证明：16 计算 ，其中 D 为曲线 y=lnx 与两直线 y=0，y=(e+1)x 所围成的平面区域17 计算 ，其中 D：1x 2+y29，18 计算 (x+y)2dxdy，其中 D：x+y119 设 a0 为常数，求积分 I= xy2d，其中 D：x 2+y2ax20 设 D=(x，y)x+y1，x 2+y21，求 I= (x2+y2)d21 22 极坐标系下的累次积分23 24 25 设 f(x)在0，b连续，且 f(x)0， abf(x)dx=AD 为正方形区域：axb，ayb，求证：( )I= ；( )I(ba)(b a+A) 考研数学二（二重积分）模拟试卷 9 答案与解析
5、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接指出其中某命题不正确 因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确 设(x 0，y 0)是 D 中某点，令f(x，y)= 则在区域 D 上 f(x，y)0 且不恒等于 0，但f(x，y)d=0因此选 B 或直接证明其中三个是正确的 命题 A 是正确的用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证 若 f(x，y)在 D 不恒为零= (x0，y 0)D，f(x 0， y0)0，不妨设 f(x0，y 0)0，由连续性= 有界闭区域 D0D，且当(x，y) D0
6、 时 f(x，y)0 = f(x，y)d0，与已知条件矛盾因此，f(x，y)0 ( (x，y)D) 命题 D 是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证 这是因为 f(x，y) =f(x0，y 0)0，其中(x0，y 0)是 D 中某点于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)df(x 0，y 0)0，其中 是 D 的面积命题(C)是正确的若 f(x，y) 0=在(x ，y) D 上 f2(x，y)0且不恒等于 0由假设 f2(x，y)在 D 连续= f2(x， y)d0 与已知条件矛盾于是f(x，y)0 在 D 上成立因此选 B【知识模块】 二重积分二、填空题2 【
7、正确答案】 0【试题解析】 D 关于 x 轴对称，被积函数对 y 为奇函数 =I=0【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 【试题解析】 区域如图 82 所示，由对称性与奇偶性=I= 其中D1：0y1x，0x1 【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 I 3；I 1；I 2【试题解析】 比较 I1 与 I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y21)包含在正方形区域(x1，y1)中 = I1I 2 比较 I1 与 I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x 4+y4 2x2y2 I1I 3 因此 I3I 1I 2【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证
8、明过程或演算步骤。5 【正确答案】 如图 85，x 2+y2=2ax 与 x 2+y2=2ay 是两个圆，其交点为 0(0，0)，P(a，a)因此，若先对 y 积分，就有 若先对 x 求积分，则【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acos 与 r=2asin，交点 P 处的极坐标是 ，于是连接 OP 将区域 D 分成两部分(见图 813)则【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 区域 D 如图 815被积函数只含 y，先对 x 积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y 积分，则求积分 要费点功夫选择先对 x 积分，将 D 分块：【知识模块】
9、 二重积分8 【正确答案】 D 的图形如图 817这里被积函数 xyf(x2+y2)关于(x，y)为偶函数，而 D1=(x，y) 0x1，0yx 3与 D1=(x，y) 1x0 ，x 3y0关于原点对称【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 区域 D 如图 818 所示，将 D 分成 x0 与 x0 两部分才是先积 x后积 y 的类型，于是用分块积分法即得【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 先对 x 积分，就是从区域 D 的左侧边界 x=y2 到右侧边界x=y+2两边界线的交点为(1，1) 与(4，2)，于是由 (84) 式得【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 由累次积分限知：0x
10、1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1；2x3时 xy3，于是积分区域 D 如图 823 所示，因此 D 可表示为D=(x，y) 1y3 ，y1xy，则原式= =4【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 如图 824，用直线 y=x+2，y=x 将 D 分成 D1，D 2 与 D3于是【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解()尽管D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便 D 的边界线 x=1及 y=1 的极坐标方程分别为()在积分区域 D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因
11、 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质作极坐标变换 x=cos，y=rsin ，则 D：002，0r1从而其中 由周期函数的积分性质，令 t=+0 就有()D 的图形如图 827 所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D1，则计算 D1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 x 后 y 的积分顺序化为累次积分若注意 D关于直线 y=1 对称，选择平移变换则最为方便 作平移变换u=x，v=y1 ，注意曲线 x= ，即 x 2+(y1) 2=1，x0，则 D 变成 D D由 u= 2，v=1，v=1，u 2+v2=1
12、(u0)围成，则 I=(在 uv 平面上，D关于 u 轴对称)【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 () 首先用极坐标变换求出 I(R)，然后求极限 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin 得()因为在(， +)可积，则 通过求 再求极限的方法行不通，因为 积不出来(不是初等函数)但可以估计这个积分值为了利用 ，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题 其中 D(R)=(x， y)xR ，y R显然 I(R)【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 y=lnx 与 y=(e+1)x 的交点是(e，1) ，D 如图 84 所示，在 Oxy坐标系中选择先 x 后 y 的积分顺序(
13、D 不必分块)得【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 D：1r3， 于是【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D1，如图 87【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 D 是圆域(如图 89)：作极坐标变换 x=rcos=rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x 轴上方部分为 D1：00 ，0racos 于是【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成，如图 810记 D 1=(x，y)x 2+y21，x0，y0， D2=(x，y) x+y1，x0
14、，y0 ，=D=D 1D 2，从而其中由于 D2 关于直线y=x 对称，所以【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 如图 812 所示【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 814)原积分= f(rcos，rsin)rdrd由 r= 得 r2=sin2【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 如图 816 所示【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 D 是圆域的一部分，如图 818 所示，则作极坐标变换，圆周方程为(y+1) 2+x2=1，即x2+y2=2y，即 r=2sin，积分区域 D： 0，0r2sin，【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 ()D 关于直线 y=x 对称，利用二重积分的有关性质：由初等不等式：(a0，b 0)= ()由不等式 et 1+t(t0) 及题 ()【知识模块】 二重积分
