1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 其中D=(x，y)|x 2+y21)，则 ( )（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab2 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若则 I1， I2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I23 设平面区域 D：(x 一 2)2+(y 一 1)21，若比较的大小，则有 ( )（A）I 1=I2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）不能比较4 二次积分
2、写成另一种次序的积分是 ( ) 5 已知 则 I= ( ) 二、填空题6 由曲线 y=lnx 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_，其值等于_7 二重积分 的符号为_8 设 D=(x， y)|1x2+y2e2)，则二重积分9 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 一 y2=1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则10 设 交换积分次序后，I=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算12 计算13 计算14 计算15 计算16 计算 其中 D 是由圆周 x2+y2=4，x 2+y2=1 及直线 y=0，y=x 所围的位于第一象
3、限的闭区域17 变换二次积分的积分次序：18 计算二重积分 其中 D 是由直线 y=x 和曲线 y=x3 所围成的位于第一象限的封闭区域19 计算二重积分 其中 D=(x，y)|0yx，x 2+y22x20 求二重积分 其中 D 是由曲线 直线 y=2，y=x 所围成的平面区域21 设 计算 其中 D 为正方形区域(x，y)|0x1 ，0y122 计算23 计算24 计算24 记平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1，计算如下二重积分：25 其中 f(t)为定义在( 一，+) 上的连续正值函数，常数a0，b0；26 常数 027 设 p(x)在a，b 上非负且连续，f(x)与 g(x)在a，
4、b上连续且有相同的单调性，其中 D=(x，y)|axb，ayb，比较 的大小，并说明理由28 设函数 f(x，y)连续，且 其中 D 由x=1，y=2 围成，求 f(x，y)29 交换累次积分 I 的积分次序：30 交换累次积分 I 的积分次序： 考研数学二（二重积分）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)|x 2+y21)，所以 由 cosx 在 上单调减少可得 因此有 cba【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 C【试题解析】 在 D 内， 所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y
5、，于是 【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y) 3 的大小，即x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考查圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分区域 D 的圆心(2，1)到直线 x+y=1 的距离 (1 为圆的半径)，故闭区域 D 在直线 x+y=1 的上方，即 (x，y)D，有 x+y1，从而在 D 上(x+y) 2(x+y)3，则 I1I 2【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 A【试题解析】 改变积分次序的步骤是： 由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图
6、，原积分变成二重积分按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为 D： 如图 151所示则 【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 A【试题解析】 如图 152 所示，积分区域由两部分组成设 将 D=D1D2 视为 y 型区域，则 从而 故应选(A)【知识模块】 二重积分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由 得交点 A(e，1)所求平面图形的面积为 【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 负号【试题解析】 二重积分的积分值符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定积分区域 D：|x|+|y|1 因 0x2+y2(|x|+|y|)21，故
7、ln(x2+y2)ln1=0，但又不恒等于零，故 【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 【试题解析】 被积函数含有 x2+y2 的形式，且积分区域是以原点为中心的圆环区域，选用极坐标计算较方便故【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 0【试题解析】 因积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 【试题解析】 积分区域 D 为：e xye2x，0x1曲线 y=e2x，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1，e 2)与(1，e)故 【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正
8、确答案】 【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 如图 155 所示，积分区域 D： 故 【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 由 y=x2 得 则 其中 D=(x， y)1 0x1，x 2yx【知识模块】 二重积分
9、23 【正确答案】 【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 积分区域如图 157 所示，交换积分次序，得 【知识模块】 二重积分【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 SD=2，因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性质有 【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又关于 y 轴，x 轴对称；函数 ex一 e-x， ey一 e-y分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得 【知识模块】 二重积分27 【正确答案】 因为 又由于 D 关于直线 y=x 对称，所以 I1 一 I2
10、 又可以写成 所以 因 g(x)与 f(x)的单调性相同，所以f(x)一 f(y)g(x)一 g(y)0，从而知 I1 一 I20，有 I1I2【知识模块】 二重积分28 【正确答案】 设 则 故 两边求二重积分，则从而 故 【试题解析】 这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难首先可以知道积分 是一个常数，因此变为 两边再求二重积分就可解决了【知识模块】 二重积分29 【正确答案】 由累次积分 I 的积分上、下限容易写出其对应的二重积分的积分区域 D=D1D2，其中 显然，平面区域 D 的边界曲线为抛物线 上半圆弧 与直线y=0，则 D1，D 2 也可以写为 于是，累次积分交换积分次序后为 【知识模块】 二重积分30 【正确答案】 由累次积分，的积分上、下限容易写出其对应的二重积分的积分区域 D=D1D2D3，其中 根据区域 D 的表达式可知，D 的边界曲线由上半圆 直线 x=0 与抛物线y=xx2 组成，故可用不等式表示为 于是，累次积分 I 化为另一种先对 y 后对 x 的累次积分 【知识模块】 二重积分
