1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(，)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛 （B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛 （D）若f(x n)单调，则x n收敛 2 设 an0(n1，2，3，)，S na 1a 2a n，则数列S n有界是数列a n收敛的（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件（C）必要非充分条件 （D）既非允分也非必要条件 3 设 x0 时，e tanxe x 与 xn 是同阶无穷小，
2、则 n 为（A）1 （B） 2（C） 3（D）44 设当 x0 时，(1cosx)ln(1x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，xsinx n 是比(e x21)高阶的无穷小，则正整数，n 等于（A）1 （B） 2（C） 3（D）45 把 x0 时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A）， （B） ， （C） ， （D）， 6 当 x0 时，与 等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）7 当 x0 时，f(x)xsinax 与 g(x)x 2ln(1bx)是等价无穷小，则（A）a1， （B） n1，（C） a1， （D）a1 ，8 已知当 x0 时，
3、函数 f(x)3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则（A）k1，c 4 （B） k1，C 4（C） k3，c4 （D）k3，C4 9 设 cosx1xsina(x)，其中 ，则当 x0 时，a(x)是（A）比 x 高阶的无穷小 （B）比 x 低阶的无穷小（C）与 x 同阶但不等价的无穷小 （D）与 x 等价的无穷小 10 设函数 在(，) 内连续，且 ，则常数a，b 满足（A）a0， b0 （B） a0，b0（C） a0，b0 （D）a0 ，b011 设函数 ，则（A）x0，x1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x0，x1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x0 是 f(x)
4、的第一类间断点，x1 是 f(x)的第二类间断点（D）x0 是 f(x)的第二类间断点， x1 是 f(x)的第一类间断点12 设 f(x)是奇函数，除 x0 外处处连续，x0 是其第一类间断点，则 0xf(t)dt 是（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数（C）在 x0 间断的奇函数 （D）在 x0 间断的偶函数13 函数 在 ， 上的第一类间断点是 x（A）0 （B） 1（C）（D）14 设函数 ，则 f(x)有（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 （B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个跳跃间断点 （D）2 个无穷问断点15 函数 的可去间断点的个数为（A）1 （B）
5、 2（C） 3（D）无穷多个16 函数 的无穷间断点数为（A）0 （B） 1（C） 2（D）3二、填空题17 18 若 x0 时， 与 xsinx 是等价无穷小，则 a_19 当 x0 时，(x)kx 2 与 (x) 是等价无穷小，则k_20 已知 在 x0 处连续，则 a_21 设函数 f(x) 在 x0 处连续，则 a_22 设 ，则 f(x)的间断点为 x_23 设函数 在 x0 处连续，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 (1)证明：对任意正整数 n，都有 成立(2)设(n1，2，)，证明数列a n收敛25 (1)证明方程 xnx n1 x1(n 为大于 1
6、 的整数)在区间 内有且仅有一个实根； (2)记(1) 中的实根为 xn，证明 存在，并求此极限26 设函数 (1)求 f(x)的最小值； (2)设数列x n满足，证明 存在，并求此极限27 设函数 f(x)在 x0 的某邻域内具有二阶连续导数。且 f(0)0，f(0)0，f“(0)0证明：存在唯一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h) 2f(2h) 3f(3h)f(0)是比 h2 高阶的无穷小28 试确定 A，B，C 的值，使得 ex(1BxCx 2)1Ax v(x 3) 其中 v(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小29 已知函数 (1)求 a 的值；(2)若当 x
7、0时，f(x)a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值30 求函数 在区间(0，2)内的间断点，并判断其类型31 求极限 ，记此极限为 f(x)，求函数 f(x)的间断点并指出其类型32 设函数 ，问 a 为何值时，f(x)在 x0处连续；n 为何值时，x0 是 f(x)的可去间断点?考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若x n)单调，则 f(xn)单调，又 f(x)在(，)内有界，可见f(x n)单调有界，从而f(x n)收敛故应选 (B)【知识模块】 函数、极限、连
8、续2 【正确答案】 B【试题解析】 由 an0(n1，2，3，)，数列S n单凋增加，若S n有界，则S n收敛，且 即a n收敛，故充分性成立但必要性不一定成立，即若 an0(n1，2，3，)，且数列a n2收敛，则数列S n不一定有界例如，a n1(n1，2，3，)，则数列a n收敛于 1，但数列S nn无界故应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 知，n3故应选 (C)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 分析 直接按无穷小量的定义进行讨论详解 由题设，有知，n2； 又由 知 n2故 n2 故应选(B)【知识模块】 函数、
9、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 分析 先两两进行比较，再排出次序；也可先求出各无穷小量关于x 的阶数，再进行比较详解 1 ，可排除(C)， (D)选项，又可见 是比 低阶的无穷小量，故应选(B) 详解 2 由 存在且不为零，知 n1； 存在且不为零，知n3； 存在且不为零，知n2；故应选 (B)【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 B【试题解析】 分析 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案详解 当 x0 时，有；利用排除法知应选(B)评注 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此
10、通过排除法可得到答案事实上， 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 详解 f(x) xsinax，g(x) x 2ln(1bx)为等价无穷小，则 由洛必塔法则只需因为 ，从而 a1 再由 ，故应选(A)评注本题主要考查等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必塔法则及重要结论：【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 分析 由等价无穷小的定义及泰勒公式或洛必塔法则可得，属基本题型详解 1用泰勒公式由题意 所以k3，c4故应选(C) 详解 2欲使 ，由洛必塔法则，只需 ，和差化积得所以 k3，c4故应选(C)【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案
11、】 C【试题解析】 由 cosx1xsina(x)，有因此 sina(x)是与 x 同阶但不等价无穷小，又 sina(x)与 a(x)是等价无穷小，所以，a(x)是与 x 同阶但不等价的无穷小故选(C) 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 分析 根据 f(x)的连续性和条件 确定常数 详解 由题设 f(x)在(，)内连续，因此对任意的 x( ，)，有 ae br0，这只需 a0 即可；另外，由 ，所以必有b0故应选 (D) 评注 事实上，本题由 a0 即可选择正确答案为(D)【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 分析 显然 x0，x1
12、为间断点，其分类主要考虑左、右极限详解 由于函数 f(x)在 x0， x1 点处无定义，因此是间断点且 ，所以 x0 为第二类间断点 ，所以 x1 为第一类间断点，故应选(D) 评注 应特别注意：。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 B【试题解析】 分析 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 f(x)去计算 F(x) 0xf(t)dt，然后选择正确选项详解 取 则当 x0 时，而 F(0)0所以 F(x)为连续的偶函数，故应选 (B)评注 对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效【知识模块】
13、函数、极限、连续13 【正确答案】 A【试题解析】 分析f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左、右极限判断其类型详解f(x)在，上的无定义点，即间断点为 x0，1，又 可见 x0 为第一类间断点，故应选(A) 评注 本题尽管可计算出，从而 x1， 均为第二类间断点，但根据四个选项的答案，已经确定 x0 为第一类间断点后，后面三个极限问题事实上没必要再计算【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 A【试题解析】 详解f(x)的间断点为 x0，x1因为可见 x0 为可去间断点又，可见 x1 为跳跃间断点，故应选(A)【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 C【试题
14、解析】 详解 当 x 取任何整数时，f(x) 均无意义， f(x)的间断点必有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故由 xx 30 的解 x1,2,30，1 有所以可去间断点为 3 个，即 0，1，故应选(C)【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 B【试题解析】 分析 间断点为 x0，1，计算各点处的极限以判断间断点的类型详解 有间断点 x0，1又因为，所以 x0 为跳跃间断点又，所以 x1 为可去间断点，且，所以 x1 为无穷间断点，因而选择(B) 评注 x0 时的极限要考虑单侧极限【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题17 【正确答案】 应填 0【试题解析】 分析 两次利用
15、分部积分法求出，I n 01ex sinnxdx，然后计算极限详解 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 应填4【试题解析】 分析 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求 a注意在汁算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简详解 当 x0 时，xsinxx 2 于是，根据题设有评注 若当 x0 时，f(x)0，则有(1 f(x) a1 af(x)【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 题设相当于已知 ，由此确定 k 即可详解 由题设， 得【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 求“1 ”型极限，令其等
16、于 f(0)，得 a 的取值 详解 1 由题设，即评解 2 由题设知，因此【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 应填2【试题解析】 分析 先求出在分段点处的左、右极限 f(00)，f(0 0)，再根据f(00)f(0 0)f(0)确定参数 a详解 因为由题设得a2评注f(x)在 x0 处连续 f(x00)f(x 0 0)f(x 0)【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 应填 0【试题解析】 分析 本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点对不同的 x，先用求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点 详解 显然当x0 时，f(x)0；当 x0 时，所以
17、因为 故 x0 为f(x)的间断点【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 本题为已知分段函数连续求参数的问题直接利用函数的连续性定义即可详解 由题设知，函数 f(x)在 x 0 处连续，则又因为所以【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 (1)方法一 根据拉格朗日定理，存在 (n，n1)，使得所以方法二 考虑函数不等式 ln(1 x) x(0x 1)先证 In(1x)x，令 f(x)ln(1x)x，则，有 f(x)在0，1上单调递减因而当0x1 时，f(x)f(0)0，即 ln(1x) ln(1x
18、)，令 g(x)ln(1 x)，则 ，有 g(x)在0，1上单调递增因而，当 0x1 时，f(x)f(0) 0，即 。综上所述，有 ln(1x)x(0x1) ，把 x 换为 得原不等式成立(2)先证数列a n单调递减由(1)得 an1 a n ，所以数列an单调递减再证数列 an有下界由(1)得即数列a n有下界故数列 an收敛【试题解析】 对(1)用拉格朗日定理或把 换为 x 转化为函数不等式的证明；对(2)用单调有界原理【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 (1)令 f n(x)x nx n1 x1 因为 fn(x)在 上连续，又 ，f n(1)n10， 由介值定理，存在 xn
19、 ，使 fn(xn)0(n2，3，)，即原方程在区间 内至少有一个实根又当 x时，f(x)12xnx n1 0，即 fn(x)在 内单调增加，故原方程在区间 内有且仅有一个实根 (2)由(1)知数列x n有界，下面证明单调性 因为 f n(xn)0f n1 (xn1 )，n2，3， 故 xnnx nn1 x n1(x n1 n1 x n1 nn1 n10， 即 fn(xn)f n2(xn1 )，而 fn(x)在内单调增加，从而有 xnx n1 ，即数列x n2单调减少(n2，3，)，所以 存在，设为 l由于0x nx 21，故 0 nnx 2n根据夹逼定理有 由 fn(xn)0(n2，3，)，
20、即xnnx nn1x n1，得 ， 令 n，取极限得 ，解得 故 【试题解析】 分析 根的存在性用介值定理，而唯一性利用单调性；对于(2)，应先证明极限存在，在已知关系式两边取极限即可 评注注意解答过程中的步骤0x n x21 不是多余的，因为仅由 0x n1 是推不出 的【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 (1)因 ，令 f(x)0，得 f(x)的唯一驻点x1，且在定义域内没有导数不存在的点当 0x1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，因此 x1 为 f(x)的极小值点，也是最小值点，且最小值为 f(1)1(2)由(1)知，数列x n有 ，即 ，于是 xnx n1 ，即
21、x n单调上升 显然，x n0，于是由 ，即 xne，所以x n单调上升且有上界，故 存在设 ，当 n 时，对两边求极限，并由极限的保号性有 又由(1)得，两边求极限有 ，解得 a1，即 【试题解析】 第(1)问利用导数讨论即可；第(2) 问利用极限存在的单调有界收敛准则【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 详解 1 由题设知，于是 1f(h) 2f(2h) 3f(3h)f(0) 1f(0) 2f(0) 3f(0)f(0)0，而 f(0)0，因此有 1 2 310利用洛必塔法则，有同样有 1f(h)2 2f(2h)十 33f(3h)( 12 23 3)f(0)0，而 f(0)0，因
22、此有 12 23 30再次利用洛必塔法则，有而 f“(0)0，因此有 14 29 30可见 1， 2， 3 满足由于其系数行列式 20，于是方程组有唯一解，即 1， 2， 3 可唯一确定 详解 2 将 f(h)，f(2h)，f(3h)分别在 h0 处用泰勒公式展开，于是有 1f(h) 2f(2h) 1f(3h)f(0) ( 1 2 31)f(0)( 12 23 3)f(0)h(4 29 3) 可见 1， 2， 3 满足此方程组有唯一解，因此 1， 2， 3 可唯一确定【试题解析】 题设相当于已知 ，由此可用洛必塔法则或泰勒公式确定 1， 2， 3 是唯一的【知识模块】 函数、极限、连续28 【
23、正确答案】 详解 1 用洛必塔法则，由 于是 1BA0又 于是12B 2C 0再一次利用洛必塔法则，有于是有 13B 6C 0由此可解得 详解 2 将 ex 的泰勒级数展开式 代入题设等式整理得比较两边同次幂系数得【试题解析】 题设条件相当于已知 ，可考虑用洛必塔法则或用泰勒展开式进行讨论【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 (1)(2)方法一 因为 f(x)af(x) 1 故又当 x0 时， ，因此 k1，f(x)a 与 xk2 是同阶无穷小(x0)方法二 因为 ，于是因此 k1【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 在区间(0，2)内不存在的点为f(x)在区间(0 ，
24、2)内的间断点是 不存在的点，即 在 处，故处，f(上)为第二二类间断点；在 处，但相应的函数在以上两点无定义，故 为 f(x)的可去间断点【试题解析】 初等函数的无定义的点即为要找的间断点，问题转化为求的无定义点【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 详解 1 原式即 显然，f(x)的间断点为 x0，xk(k1 ，2，)由于 ，所以 x0 是函数 f(x)的第一类( 或可去)间断点；而有一不存在，故xk(k1，2，)是 f(x)的第二类间断点详解 2 原式而求间断点并指出其类型同详解 1【试题解析】 分析 本题为“1 ”型未定式极限问题，可用第二类重要极限或化为指数函数这两种方法求
25、解，得到 f(x)后，再求其间断点并进行分类 评注 从本题可看出，求“1 ”型未定式的极限，有时直接用第二类重要极限来计算可能更简便，指出间断点的类型，通常只需说明是第一或第二类即可，当然若能更详细地指出是第一类中的可去或跳跃间断点，以及第二类中的无穷或振荡间断点则更好【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 令 f(00)f(0 0) ，有6a2a 24，得 a1 或 a2当 a1 时，6f(0)，即 f(x)在 x0 处连续当 a2 时， 12f(0)，因而 x0 是 f(x)的可去间断点【试题解析】 分析 分段函数在分段点 x0 连续，要求既是左连续又是右连续，即f(00)f(0)f(0 0) 评注 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左、右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化【知识模块】 函数、极限、连续
