1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 6 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在(，)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛3.设 a n 0(n1，2，3，)，S n a 1 a 2 a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的（分数：2
2、.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非允分也非必要条件4.设 x0 时，e tanx e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设当 x0 时，(1cosx)ln(1x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，xsinx n 是比(e x2 1)高阶的无穷小，则正整数，n 等于（分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.把 x0 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，7.当 x0 时，与 （分数：2.00）A.B.C.D.8.当 x0 时，f(x)xsinax 与 g(x)x 2 ln(1bx)
3、是等价无穷小，则（分数：2.00）A.a1，B.n1，C.a1，D.a1，9.已知当 x0 时，函数 f(x)3sinxsin3x 与 cx k 是等价无穷小，则（分数：2.00）A.k1，c4B.k1，C4C.k3，c4D.k3，C410.设 cosx1xsina(x)，其中 （分数：2.00）A.比 x 高阶的无穷小B.比 x 低阶的无穷小C.与 x 同阶但不等价的无穷小D.与 x 等价的无穷小11.设函数 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b012.设函数 （分数：2.00）A.x0，x1 都是 f(x)的第一类间断点B.x0，x1
4、 都是 f(x)的第二类间断点C.x0 是 f(x)的第一类间断点，x1 是 f(x)的第二类间断点D.x0 是 f(x)的第二类间断点，x1 是 f(x)的第一类间断点13.设 f(x)是奇函数，除 x0 外处处连续，x0 是其第一类间断点，则 0 x f(t)dt 是（分数：2.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数C.在 x0 间断的奇函数D.在 x0 间断的偶函数14.函数 （分数：2.00）A.0B.1C.D.15.设函数 （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1 个可去间断点，1 个无穷间断点C.2 个跳跃间断点D.2 个无穷问断点16.函数 （分数：2.00
5、）A.1B.2C.3D.无穷多个17.函数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：7，分数：14.00)18. （分数：2.00）填空项 1:_19.若 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_20.当 x0 时，(x)kx 2 与 (x) （分数：2.00）填空项 1:_21.已知 （分数：2.00）填空项 1:_22.设函数 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_23.设 （分数：2.00）填空项 1:_24.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.0
6、0）_26.(1)证明：对任意正整数 n，都有 成立 (2)设 （分数：2.00）_27.(1)证明方程 x n x n1 x1(n 为大于 1 的整数)在区间 内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为 x n ，证明 （分数：2.00）_28.设函数 (1)求 f(x)的最小值； (2)设数列x n 满足 ，证明 （分数：2.00）_29.设函数 f(x)在 x0 的某邻域内具有二阶连续导数。且 f(0)0，f“(0)0，f“(0)0证明：存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h) 2 f(2h) 3 f(3h)f(0)是比 h 2 高阶的无穷小（分数：
7、2.00）_30.试确定 A，B，C 的值，使得 e x (1BxCx 2 )1Axv(x 3 ) 其中 v(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小（分数：2.00）_31.已知函数 （分数：2.00）_32.求函数 （分数：2.00）_33.求极限 （分数：2.00）_34.设函数 （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 6 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在(，)内单调有界，x n 为
8、数列，下列命题正确的是（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛 C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛解析：解析：若x n )单调，则f(x n )单调，又 f(x)在(，)内有界，可见f(x n )单调有界，从而f(x n )收敛故应选(B)3.设 a n 0(n1，2，3，)，S n a 1 a 2 a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件 C.必要非充分条件D.既非允分也非必要条件解析：解析：由 a n 0(n1，2，3，)，数列
9、S n 单凋增加，若S n 有界，则S n 收敛，且 4.设 x0 时，e tanx e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为5.设当 x0 时，(1cosx)ln(1x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，xsinx n 是比(e x2 1)高阶的无穷小，则正整数，n 等于（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：分析 直接按无穷小量的定义进行讨论 详解 由题设，有 知，n2； 又由6.把 x0 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析：分析 先两两进行比较，再排出次序；也可先求出
10、各无穷小量关于 x 的阶数，再进行比较 详解 1 ，可排除(C)，(D)选项， 又 可见 是比 低阶的无穷小量，故应选(B) 详解 2 由 存在且不为零，知 n1； 存在且不为零，知 n3；7.当 x0 时，与 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：分析 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案 详解 当 x0 时，有 ； 利用排除法知应选(B) 评注 本题直接找出 的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案事实上， 8.当 x0 时，f(x)xsinax 与 g(x)x 2 ln(1bx
11、)是等价无穷小，则（分数：2.00）A.a1， B.n1，C.a1，D.a1，解析：解析：详解 f(x)xsinax，g(x)x 2 ln(1bx)为等价无穷小，则 由洛必塔法则只需 因为 ，从而 a1 再由 ，故应选(A) 评注本题主要考查等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必塔法则及重要结论： 9.已知当 x0 时，函数 f(x)3sinxsin3x 与 cx k 是等价无穷小，则（分数：2.00）A.k1，c4B.k1，C4C.k3，c4 D.k3，C4解析：解析：分析 由等价无穷小的定义及泰勒公式或洛必塔法则可得，属基本题型 详解 1用泰勒公式 由题意 所以 k3，c4故应选(C) 详
12、解 2欲使 ，由洛必塔法则， 只需，和差化积得10.设 cosx1xsina(x)，其中 （分数：2.00）A.比 x 高阶的无穷小B.比 x 低阶的无穷小C.与 x 同阶但不等价的无穷小 D.与 x 等价的无穷小解析：解析：由 cosx1xsina(x)，有11.设函数 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析：分析 根据 f(x)的连续性和条件 确定常数 详解 由题设 f(x)在(，)内连续，因此对任意的 x(，)，有 ae br 0，这只需 a0 即可；另外，由 12.设函数 （分数：2.00）A.x0，x1 都是 f(x
13、)的第一类间断点B.x0，x1 都是 f(x)的第二类间断点C.x0 是 f(x)的第一类间断点，x1 是 f(x)的第二类间断点D.x0 是 f(x)的第二类间断点，x1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：分析 显然 x0，x1 为间断点，其分类主要考虑左、右极限 详解 由于函数 f(x)在 x0，x1 点处无定义，因此是间断点 且 ，所以 x0 为第二类间断点 ，所以 x1为第一类间断点，故应选(D) 评注 应特别注意：13.设 f(x)是奇函数，除 x0 外处处连续，x0 是其第一类间断点，则 0 x f(t)dt 是（分数：2.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数 C.在 x0
14、 间断的奇函数D.在 x0 间断的偶函数解析：解析：分析 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 f(x)去计算 F(x) 0 x f(t)dt，然后选择正确选项 详解 取 则当 x0 时， 而 F(0)0 14.函数 （分数：2.00）A.0 B.1C.D.解析：解析：分析f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左、右极限判断其类型 详解f(x)在，上的无定义点，即间断点为 x0，1， 又 可见 x0 为第一类间断点，故应选(A) 评注 本题尽管可计算出 ，从而 x1，15.设函数 （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间
15、断点 B.1 个可去间断点，1 个无穷间断点C.2 个跳跃间断点D.2 个无穷问断点解析：解析：详解f(x)的间断点为 x0，x1因为 可见 x0 为可去间断点 又16.函数 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.无穷多个解析：解析：详解当 x 取任何整数时，f(x)均无意义，f(x)的间断点必有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故由 xx 3 0 的解 x 1,2,3 0，1 有 17.函数 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：分析 间断点为 x0，1，计算各点处的极限以判断间断点的类型 详解 有间断点 x0，1又 因为 ，所以 x0 为跳跃间断点 又 ，所以 x
16、1 为可去间断点，且二、填空题(总题数：7，分数：14.00)18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 0）解析：解析：分析两次利用分部积分法求出，I n 0 1 e x sinnxdx，然后计算极限 详解 19.若 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填4）解析：解析：分析 根据等价无穷小量的定义，相当于已知 ，反过来求 a 注意在汁算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简 详解 当 x0 时， ，xsinxx 2 于是，根据题设有 20.当 x0 时，(x)kx 2 与 (x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
17、案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 题设相当于已知 ，由此确定 k 即可 详解 由题设， 得21.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 求“1 ”型极限，令其等于 f(0)，得 a 的取值 详解 1 由题设 ，即 评解 2 由题设知 ，因此 22.设函数 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填2）解析：解析：分析 先求出在分段点处的左、右极限 f(00)，f(00)，再根据 f(00)f(00)f(0)确定参数 a 详解 因为 由题设得 a2 评注f(x)在 x 0 处连续 23.设 （分数：2.00）填空项
18、 1:_ （正确答案：正确答案：应填 0）解析：解析：分析 本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点对不同的 x，先用求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点 详解 显然当 x0 时，f(x)0； 当 x0 时，所以 因为24.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析 本题为已知分段函数连续求参数的问题直接利用函数的连续性定义即可 详解 由题设知，函数 f(x)在 x0 处连续，则 又因为 所以三、解答题(总题数：10，分数：20.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.
19、(1)证明：对任意正整数 n，都有 成立 (2)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方法一 根据拉格朗日定理，存在 (n，n1)，使得 所以 方法二 考虑函数不等式 ln(1 x)x(0x1) 先证 In(1x)x，令 f(x)ln(1x)x， 则 ，有 f(x)在0，1上单调递减 因而当 0x1 时，f(x)f(0)0，即 ln(1x) ln(1x)，令 g(x)ln(1x) ， 则 ，有 g(x)在0，1上单调递增 因而，当 0x1 时，f(x)f(0)0，即 。 综上所述，有 ln(1x)x(0x1)，把 x 换为 得原不等式成立 (2)先证数列a n 单调递减 由(1)
20、得 a n1 a n ，所以数列a n 单调递减 再证数列a n 有下界由(1)得 )解析：解析：对(1)用拉格朗日定理或把27.(1)证明方程 x n x n1 x1(n 为大于 1 的整数)在区间 内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为 x n ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 f n (x)x n x n1 x1因为 f n (x)在 上连续，又 ，f n (1)n10， 由介值定理，存在 x n ，使 f n (x n )0(n2，3，)，即原方程在区间 内至少有一个实根又当 x 时，f“(x)12xnx n1 0，即 f n (x)在 内单调增加，故
21、原方程在区间 内有且仅有一个实根 (2)由(1)知数列x n 有界，下面证明单调性 因为 f n (x n )0f n1 (x n1 )，n2，3， 故 x n n x n n1 x n 1(x n1 n1 x n1 n n1 n1 0， 即 f n (x n )f n2 (x n1 )，而 f n (x)在 内单调增加，从而有 x n x n1 ，即数列x n2 单调减少(n2，3，)，所以 存在，设为 l由于 0x n x 2 1，故 0 n n x 2 n 根据夹逼定理有 由 f n (x n )0(n2，3，)，即 x n n x n n1 x n 1，得 ， 令 n，取极限得 ，解得
22、 故 )解析：解析：分析根的存在性用介值定理，而唯一性利用单调性；对于(2)，应先证明极限存在，在已知关系式两边取极限即可 评注注意解答过程中的步骤 0x n x 2 1 不是多余的，因为仅由 0x n 1 是推不出 28.设函数 (1)求 f(x)的最小值； (2)设数列x n 满足 ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因 ，令 f(x)0，得 f(x)的唯一驻点 x1，且在定义域内没有导数不存在的点当 0x1 时，f(x)0，当 x1 时，f“(x)0，因此 x1 为 f(x)的极小值点，也是最小值点，且最小值为 f(1)1 (2)由(1)知，数列x n 有 ，即 ，于
23、是 x n x n1 ，即x n 单调上升 显然，x n 0，于是由 ，即 x n e，所以x n 单调上升且有上界，故 存在 设 ，当 n时，对 两边求极限，并由极限的保号性有 又由(1)得 ，两边求极限有 ，解 得 a1，即 )解析：解析：第(1)问利用导数讨论即可；第(2)问利用极限存在的单调有界收敛准则29.设函数 f(x)在 x0 的某邻域内具有二阶连续导数。且 f(0)0，f“(0)0，f“(0)0证明：存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h) 2 f(2h) 3 f(3h)f(0)是比 h 2 高阶的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
24、：详解 1 由题设知， 于是 1 f(h) 2 f(2h) 3 f(3h)f(0) 1 f(0) 2 f(0) 3 f(0)f(0)0， 而 f(0)0，因此有 1 2 3 10 利用洛必塔法则，有 同样有 1 f“(h)2 2 f“(2h)十 3 3 f“(3h)( 1 2 2 3 3 )f“(0)0， 而 f“(0)0，因此有 1 2 2 3 3 0 再次利用洛必塔法则，有 而 f“(0)0，因此有 1 4 2 9 3 0 可见 1 ， 2 ， 3 满足 由于其系数行列式 20，于是方程组有唯一解，即 1 ， 2 ， 3 可唯一确定 详解 2 将 f(h)，f(2h)，f(3h)分别在 h
25、0 处用泰勒公式展开，于是有 1 f(h) 2 f(2h) 1 f(3h)f(0) ( 1 2 3 1)f(0)( 1 2 2 3 3 )f“(0)h(4 2 9 3 ) 可见 1 ， 2 ， 3 满足 )解析：解析：题设相当于已知 30.试确定 A，B，C 的值，使得 e x (1BxCx 2 )1Axv(x 3 ) 其中 v(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 用洛必塔法则，由 于是 1BA0 又 于是12B2C0 再一次利用洛必塔法则， 有 于是有 13B6C0 由此可解得 详解 2 将 e x 的泰勒级数展开式 代入题设等
26、式 整理得 比较两边同次幂系数得 )解析：解析：题设条件相当于已知31.已知函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)方法一 因为 f(x)af(x)1 故 又当 x0 时， ，因此 k1，f(x)a 与 x k2 是同阶无穷小(x0) 方法二 因为 ，于是 )解析：32.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在区间(0，2)内不存在的点为 f(x)在区间(0，2)内的间断点是不存在的点，即 在 处， 故 处，f(上)为第二二类间断点； 在 处，但相应的函数在以上两点无定义，故 )解析：解析：初等函数的无定义的点即为要找的间断点，问题转化为求33.求极限 （分
27、数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 原式 即 显然，f(x)的间断点为x0，xk(k1，2，) 由于 ，所以 x0 是函数 f(x)的第一类(或可去)间断点； 而有一不存在，故 xk(k1，2，) 是 f(x)的第二类间断点 详解 2 原式 而)解析：解析：分析 本题为“1 ”型未定式极限问题，可用第二类重要极限或化为指数函数这两种方法求解，得到 f(x)后，再求其间断点并进行分类 评注 从本题可看出，求“1 ”型未定式的极限，有时直接用第二类重要极限来计算可能更简便，指出间断点的类型，通常只需说明是第一或第二类即可，当然若能更详细地指出是第一类中的可去或跳跃间断点，以及第二类中的无穷或振荡间断点则更好34.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 f(00)f(00)，有6a2a 2 4，得 a1 或 a2 当a1 时， 6f(0)，即 f(x)在 x0 处连续 当 a2 时， )解析：解析：分析 分段函数在分段点 x0 连续，要求既是左连续又是右连续，即 f(00)f(0)f(00) 评注 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左、右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化
