1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (03 年 )设a nbn，c n均为非负数列,且 则必有（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 不存在（D）极限 不存在2 (05 年 )设函数 f(x)= 则（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点3 (
2、07 年 )当 x0 x 时，与 等价的无穷小量是4 (07 年 )函数 f(x)= 在一 ,上的第一类间断点是 x=（A）0（B） 1（C）（D）5 (08 年 )设函数 f(x)在( 一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调则x n收敛6 (08 年 )设函数 f(x)= ，则 f(x)有（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个跳跃间断点（D）2 个无穷间断点7 (09 年 )当 x0 时
3、，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则8 (09 年 )函数 f(x)= 的可去间断点的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个9 (10 年 )函数 f(x)= 的无穷间断点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 (11 年) 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则（A）k=1，c=4（B） k=1，c=一 4（C） k=3，c=4（D）k=3，c=一 411 (12 年) 设 an0(n=1，2，)，S n=a1+a2+an，则数列S n有界是数列a n收敛的（A）充分必要条件（B）充
4、分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件12 (13 年) 设 cosx 一 1=xsin(x),其中|(x)| ，则当 x0 时，(x) 是（A）比 x 高阶的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）与 x 同阶但不等价的无穷小（D）与 x 等价的无穷小。13 (14 年)(1)当 x0 +时，若 ln(1+2x)， 均是比 x 高阶的无穷小，则 的取值范围是（A）(2,+)（B） (1，2)（C）（D）14 (15 年) 函数 f(x)= 在(一,+)内（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点。（D）有无穷间断点15 (16 年) 设 当 x0 +时，以上3 个无
5、穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A） 1， 2， 3（B） 2， 1， 3。（C） 2， 1， 3（D） 3， 2， 116 (17 年) 若函数 f(x)= 在 x=0 处连续则（A）（B）（C） ab=0（D）ab=2 17 (17 年) 设数列 xn收敛，则18 (18 年) 若 ，则19 (18 年) 设函数 若 f(x)+g(x)在R 上连续，则（A）a=3 ，b=1（B） a=3，b=2（C） a=一 3，b=1（D）a= 一 3，b=2二、填空题20 (09 年) 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续则 a=_21 (03 年) 若 x0 时 与 xsinx 是等价无穷小则 a
6、=_22 (04 年) 设 f(x)= 则 f(x)的间断点为 x=_23 (05 年) 当 x0 时，(x)=kx 2 与 (x)= 是等价无穷小则k=_24 (07 年)25 (08 年) 已知函数 f(x)连续，且 ，则 f(0)=_26 (11 年)27 (13 年)28 (18 年) arctan(x+1)一 arctanx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 (02 年) 设 0x 13， (n=1， 2)，证明数列x n的极限存在，并求此极限30 (04 年) 求极限31 (06 年) 设数列 xn满足 0x 1，x n+1=sinxn(n=1，2)(I)
7、证明 存在并求该极限；() 计算32 (08 年) 求极限33 (09 年) 求极限34 (11 年) 已知函数 F(x)= 试求 的取值范围35 (11 年)(I)证明：对任意的正整数 n,都有 () 设 an=(n=1，2，) 。证明数列a n收敛36 (12 年) 已知函数 f(x)= (I)求 a 的值；() 若当 x0 时，f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值37 (12 年)(I)证明方程 xn+n-1+x=1(n 为大于 1 的整数)在区间 内有且仅有一个实根；()记(I) 中的实根为 xn,证明 存在，并求此极限38 (13 年) 当 x0 时，1cosx.
8、cos2x.cos3x 与 xn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值39 (13 年) 设函数 f(x)=lnx+ (I)求 f(x)的最小值；( ) 设数列x n满足 lnxn+存在并求此极限40 (14 年) 求极限41 (14 年) 设函数 f(x)= ,x01定义函数列： f1(x)=f(x)，f 2(x)=f(f1(x)，fn(x)=f(fn-1(x)，记 Sn 是由曲线 y=fn(x)，直线 x=1 及 x 轴所围成平面图形的面积，求极限 。42 (15 年) 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，
9、求 a，b，k 的值43 (16 年) 求极限44 (18 年) 设数列 xn满足：x 10， (n=1，2，：)证明x n收敛，并求考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 排除法：令 显然，以上a n，b n,cn满足题设条件，但 a1=1, 从而 a1b 1，故(A)不正确b 1c 1，故(B)也不正确而故(C)也不正确由排除法知，应选 (D)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0 和 x=1 是 f(x)的间断点，又 则x=0 是 f
10、(x)的第二类间断点；则 x=1 是 f(x)的第一类间断点，故应选(D) 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 则应选(B) 【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 则 x=0 是 f(x)的第一类间断点故应选(A) 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在( 一，+) 上单调有界，若 xn单调，则f(x n)是单调有界数列，故f(x n)收敛事实上 (A)(C)(D)都是错误的若令即x n收敛，令 显然f(x)在(一，+)上单调有界，但 f(xn)不收敛由于不存在，故(A)不正确若令 xn=n，f(x
11、)=arctanx显然f(x n)收敛且单调，但 xn=n 不收敛，故(C) 和(D)不正确【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 A【试题解析】 显然 f(x)= 在 x=1 和 x=0 没定义，因此 x=1 和 x=0 为间断点，其余点都连续则 x=1 为 f(x)的跳跃间断点 则 x=0 为 f(x)的可去间断点故应选(A) 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 x0 时，f(x)=xsinax 与 y(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 故应选(A)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 当 x=k(k=0，
12、1，2)时，sinnx=0，则这些点都是 f(x)的间断点而当 x=0，1 时，x 一 x3=0，又 则x=0，x=1 为 f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点故应选(C)【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 显然 f(x)= 有间断点 x=0，x=1则 x=一 1 为无穷间断点则 x=0 为跳跃间断点则 x=1 为可去问断点【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 C【试题解析】 则 k=3， ,c=4【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 an0，则数列S n单调增，若S n有界，则S n收敛，设，则 即a n收敛 但若
13、a n收敛，S n不一定有界如 an=1，S n=n，故应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 C【试题解析】 由 cosx 一 1=xsina(x)知故应选(C)【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 由于当 x0 +时 ln(1+2x)2 x， 由题设可知，1，且 则 1 2，故应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 B【试题解析】 知，f(0)无意义，且则 x=0 为 f(x)的可去间断点故应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 +时 则当 x0 +时，以上 3 个无穷小从低阶
14、到高阶的排序是 2,3， 1 故应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 A【试题解析】 要使 f(x)在x=0 处连续，则须 故应选(A)【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 D【试题解析】 由于x n收敛，令 ，则由 (A)知 sina=0，此时 a 不一定为零，a 可等于 ， 2 等等，则 (A) 不正确，同理(B)(C) 不正确，而由 (D)知 sina=a 此时，只有 a=0，故应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x)=f(x)+g(x)=
15、F(一 1 一 0)=1+a=F(一 1) F(一 1+0)=一 2 则 1+a=一 2解得 a=一 3 F(0-0)=一 1 F(0+0)=1 一b=F(0)则 1 一 b=-1，解得 b=2故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题20 【正确答案】 一 2【试题解析】 由于当 x0 时 1 一 etanx(一 tanx)( 一 x)，arcsin ，则而 f(0)=a 所以要使函数 f(x)在 x=0 处连续，则 a=一 2【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 一 4【试题解析】 由于当 x0 时 (1+x) 一 1x，则当0 时从而 由题意知即 a=一 4【知识模块
16、】 函数、极限、连续22 【正确答案】 x=0【试题解析】 显然 x=0 为 f(x)的唯一的间断点【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【试题解析】 由原题知【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 2【试题解析】 则 f(0)=2【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 1【试题解析】 这里 xx+1 则 x 2 2(x+1) 2【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答
17、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 由 0x 13 知 x1,3 一 x1 均为正数，由数学归纳法知，对任意正数 n1均有 0x n 因而数列x n有界又当 n1 时，因而xn+1xn(n1) 即数列x n单调增由单调有界数列必有极限知两边取极限，得【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 (1)用归纳法证明x n单调下降且有下界 由 0x 1 ，得0x 2=sinx1 x1 设 0x n，则 0x n+1=sinxnx n 所以x n单调下降且有下界，故 存在 由 xn+1=sinxn 得 a=sina 所以 a=
18、0，即 ()因为【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 由于当 x0 时，1 一 cosx ，sinxx，所以【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 因为 由题意得 1又因为 由题意 ，得 3综上所述，13【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 (I)根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n+1)，使得()当 n1 时，由(I) 知所以数列a n单调减少有下界，故 an收敛【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 (I)由于则 a=1由于当 x0时，xsinx 则 k+2=3k=1【知识模块】 函数、极限、连续
19、37 【正确答案】 (I)令 f(x)=xn+xn-1+x 一 1(n1)，则 f(x)在 上连续，且由闭区间上连续函数的介值定理知方程 f(x)=0 在 内至少有一个实根 f(x)=nxn-1+(n 一1)xn-2+2x+110故 f(x)在 内单调增加综上所述，方程 f(x)=0 在内有且仅有一个实根()由 知数列x n有界,又 x nn+xnn-1+xn=1 xn+1n-1+xn+1n+xn+1n-1+xn+1=1 因为 xn+1n+10，所以 x nn+xnn-1+xnx n+1n+xn+1n-1+xn+1 于是有 x nx n+1n=1，2，即x n单调减少 综上所述，数列x n单调
20、有界故 xn收敛令 n并注意到x nx 11，则有【知识模块】 函数、极限、连续38 【正确答案】 当 n2时，显然不合题意。所以 a=7n=2【知识模块】 函数、极限、连续39 【正确答案】 (I)f(x)= 。令 f(x)=0解得 f(x)的唯一驻点 x=1又 f“(1)=10故 f(1)=1 是唯一极小值即最小值()由(I)的结果知从而有 于是 xnxn+1，即数列x n单调增加【知识模块】 函数、极限、连续40 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续41 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续42 【正确答案】 由于当 x0时，f(x)kx 3，则【知识模块】 函数、极限、连续43 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续44 【正确答案】 由于 x10，所以 根据微分中值定理，存在(0， x1)，使得 所以 故 0x 2x 1假设 0x n+1x n，则所以 0x n+2x n+1 故x n是单调减少的数列，且有下界，从而x n收敛设 得 aea=ea 一 1易知 a=0 为其解令f(x)=xex 一 ex+1，则 f(x)=xex当 x0 时，f(x) 0，函数 f(x)在0 ，+) 上单调增加，所以 a=0 是：疗程 aea=ea-1 在0，+) 上的唯一解故【知识模块】 函数、极限、连续
