1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2003 年) 设 an，b n，C n均为非负数列，且，则必有 【 】（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 ancn 不存在（D）极限 bncn 不存在2 (2005 年) 设函数 f() ，则 【 】（A）0， 1 都是 f()的第一类间断点（B） 0， 1 都是 f()的第二类间断点（C） 0 是 f()的第一类间断点，1 是 f()的第二类间断点（D）0 是 f()的第二类间断点，1 是 f()的第一类间断点3
2、 (2007 年) 当 0 +时，与 等价的无穷小量是 【 】（A）1（B）（C）（D）1cos 4 (2007 年) 函数 f() 在 ， 上的第一类间断点是 【 】（A）0（B） 1（C）（D）5 (2008 年) 设函数 f()在(一，) 内单调有界， n为数列，下列命题正确的是 【 】（A）若 n收敛，则f( n)收敛（B）若 n单调，则f( n)收敛（C）若 f(n)收敛，则 n收敛（D）若f( n)单调，则 n收敛6 (2008 年) 设函数 f() sin，则 f()有 【 】（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个跳跃间断
3、点（D）2 个无穷间断点7 (2009 年) 当 0 时，f() sina 与 g() 2ln(1b)是等价无穷小，则 【 】（A）a1， b （B） a1，b （C） a1，b （D）a1 ，b 8 (2009 年) 函数 f() 的可去间断点的个数为 【 】（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个9 (2010 年) 函数 f() 的无穷间断点的个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）310 (2011 年) 已知当 0 时，函数 f()3sinsin3 与 ck 是等价无穷小，则 【 】（A）k1，c 4（B） k1，c4（C） k3，c4（D）k3，c 411 (2012 年
4、) 设 an0(n1，2，)，S na 1a 2a n，则数列S n有界是数列an收敛的 【 】（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件12 (2013 年) 设 cos1sin()，其中() ，则当 0 时，()是 【 】（A）比 高阶的无穷小（B）比 低阶的无穷小（C）与 同阶但不等价的无穷小（D）与 等价的无穷小13 (2014 年)(1)当 0 +时，若 lna(12) ， 均是比 高阶的无穷小，则 a 的取值范围是 【 】（A）(2 ，)（B） (1，2)（C） ( ，1)（D）(0 ， )14 (2015 年) 函数 f() 在(，)
5、内 【 】（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D）有无穷间断点二、填空题15 (1997 年) 已知 f() 在 0 处连续，则 a_16 (2001 年) _17 (2002 年) 设函数 f() 在 0 处连续，则 a_18 (2003 年) 若 0 时， 1 与 sin 是等价无穷小，则 a_19 (2004 年) 设 f() ，则 f()的间断点为 _20 (2005 年) 当 0 时，a()k 2 与 () 是等价无穷小，则 k_21 (2007 年) _22 (2008 年) 已知函数 f()连续，且 1，则 f(0)_23 (2011 年) _24 (2013 年)
6、_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 (2008 年) 求极限26 (2009 年) 求极限27 (2011 年) 已知函数 F() 设 F()lim F()0，试求 a的取值范围28 (2011 年) ()证明：对任意的正整数 n，都有 成立 ()设 an1 一 lnn(n1，2，)，证明数列 an)收敛29 (2012 年) 已知函数 f() ，记 a f() ( )求 a 的值； ()若当0 时，f()a 与 k 是同阶无穷小，求常数 k 的值30 (2012 年)()证明方程 n n-11(n 为大于 1 的整数)在区间( ，1) 内有且仅有一个实根； () 记()
7、 中的实根为 n，证明 n 存在，并求此极限31 (2013 年) 当 0 时，1cos.cos2.cos3 与 an 为等价无穷小，求 n 与 a 的值32 (2013 年) 设函数 f()ln () 求 f()的最小值； ()设数列 n满足lnn 1证明 存在，并求此极限33 (2014 年) 求极限34 (2014 年) 设函数 f() ， 0，1定义函数列： f 1()f()，f 2()f(f 1()，f n()f(f n-1()，记 Sn 是由曲线 yf n()，直线 1 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 nSn35 (2015 年) 设函数 f()aln(1 )bsin，g()k
8、 3若 f()与 g()在 0 时是等价无穷小，求 a，b， k 的值考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 bn10， cn则 bncn 即极限 bncn 不存在，故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 0 和 1 是 f()的间断点，又 ，则0 是 f()的第二类间断点；则 1 是 f()的第一类间断点，故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 则应选 B【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答
9、案】 A【试题解析】 则 0 是 f()的第一类间断点故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f()在( ，)上单调有界，若 n单调，则f( n)是单调有界数列，故f( n)收敛 事实上 A、C、D 都是错误的若令 n ，显然0，即 n收敛，令 f() ，显然 f()在(， )上单调有界，但f( n)不收敛由于 f( n) ，所以 f(n)不存在，故 A 不正确 若令 n，f()arctan显然 f(n)收敛且单调，但 nn 不收敛，故 C 和 D 不正确【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 A【试题解析】 显然 f() sin 在 1 和 0
10、 没定义，因此 1 和 0为间断点，其余点都连续则 1 为 f()的跳跃间断点 则0 为 f()的可去间断点故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 0 时，f()sina 与 y() 2ln(1b) 是等价无穷小，则 则 b 故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 当 k(k0，1 ，2，) 时，sin0，则这些点都是 f()的间断点而当 0，1 时， 30，则 0，1 为 f()的可去间断点，其余均为无穷间断点故应选 C【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 显然 f() 有间断点 0，1则
11、1 为可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 C【试题解析】 则k3， 1 ，c4【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 an0，则数列S n单调增，若S n有界，则S n收敛，设Sna，则 即a n收敛 但若a n收敛，S n)不一定有界如 an1，S nn，故应选 B【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 C【试题解析】 由 cos1sin()知故应选 C【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 由于当 0 +时 ln 口(12)2， ， 由题设可知，1，且 1则 1 2，故应选 B【知识模块】 函数、极
12、限、连续14 【正确答案】 B【试题解析】 由 f() 知，f(0) 无意义，且 当 0 时，f() 则 0 为 f()的可去间断点 故应选B【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题15 【正确答案】 【试题解析】 由于【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【试题解析】 将分子有理化，分母分解因式得【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 2【试题解析】 由于当 0 时 1e (tan)() ，arcsin ，则而 f(0)a 所以要使函数 f()在0 处连续，则 a2【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 4【试题解析】 由于当 0 时 (1) 1，则当 0 时
13、1 a2，从而 由题意知 1，即 a4【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 0【试题解析】 显然，0 为 f()的唯一的间断点【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【试题解析】 则k【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 2【试题解析】 则 f(0)一 2【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 【知识模块】 函数
14、、极限、连续26 【正确答案】 由于当 0 时，1cos 2，sin ，所以【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 由题意F()0，得 a3 综上所述，1a3【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 () 根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n1)，使得()当 n1 时，由()知所以数列a n单调减少有下界，故a n收敛【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 () 由于则 a1 () 由于当 0 时， sin 3，则 k23 k1 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 () 令 f() n n-11(n1)，则 f()在 ，1上连续，且 ，f(1)n10,
15、 由闭区间上连续函数的介值定理知，方程 f()0 在( ，1)内至少有一个实根 当 ( ，1)时， f()n n-1(n1) n-22110， 故 f()在( ，1)内单调增加 综上所述，方程 f()0 在( ，1)内有且仅有一个实根 ()由 n( ，1)知数列 n有界，又 nn nn-1 n1 nn nn-1 n+1n-1 n+11 因为 0，所以 nn nn-1 n n+1n n+1n-1 n+1 于是有 n n+1，n1，2， 即 n单调减少 综上所述，数列 n单调有界，故 n收敛 记 a n由于令 并注意到 n 11，则有 解得 a ，即【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】
16、 由题设知 1，故 a7 当 n2 时，显然不合题意所以 a7，n2【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 ()f() ，令 f()0，解得 f()的唯一驻点 1 又 f(1) 10，故 f(1)1 是唯一极小值，即最小值 () 由()的结果知ln 1，从而有 于是 nn+1，即数列 n单调增加 又由 lnn 1，知 lnn1，得 ne 从而数列 n单调增加，且有上界，故 n 存在 记 na，可知 a10 在不等式 lnn 1 两边取极限，得 lna 1 又 lna 1，故 lna 1，可得 a1，即 1【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 则 f()(1a)(b )20( 3) 由于当 0 时，f()k 3，则【知识模块】 函数、极限、连续
