1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 2 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 g(x) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数4.设 f(x) （分数：2.00）A.0B
2、.1C.D.5.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， （分数：2.00）A.F(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.F(x)是周期函数D.F(x)是单调函数6.设数列 x n 与 y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 7.“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当，nN 时，恒有x n a2”是数列x n 收敛于 a 的（分数：2.00）A.允分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.允分必要条件D.既非充分条件又非必要条件8.设a n ，b n ，
3、c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n 成立B.b n c n 对任意 n 成立C.极限D.极限9.设 j，yy(x)是二阶常系数微分方程，y n py“qye 3x 满足初始条件 y(0)y(0)0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 310.若 （分数：2.00）A.0B.6C.36D.11.等于 （分数：2.00）A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdxC.2 1 2 ln(1x)dxD. 1 2 ln 2 (1x)dx12.设函数 f(x)在(0，)内具有二阶导数，且 f(x)0
4、，令 u n f(n)(n1，2，)，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n2 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散二、填空题(总题数：7，分数：14.00)13.。 （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.。 （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19.已知函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、
5、解答题(总题数：14，分数：28.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.求极限 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.求极限 （分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_27.已知函数 f(x)在(0，)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：2.00）_28.已知函数 ，设 （分数：2.00）_29.当 x0 时，1cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小，求 n 与 a 的值（分数：2.00）_30.设 f(x
6、)是区间0，)上单调减少且非负的连续函数， （分数：2.00）_31.。 （分数：2.00）_32.设 0x 1 3，x n1 （分数：2.00）_33.设数列x n 满足 0x 1 ，x n1 sinx n (n1，2，) (1)证明 存在，并求该极限；(2)计算 （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 2 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 g(x) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：详解gf(x
7、)3.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数解析：解析：分析 本题涉及原函数的基本特性，由于原函数有无穷多个，如何表示它是问题的关键实际上，只要找出一个原函数，则所有的原函数就可表示出来，而 F(x) 0 x f(t)dt 正好就是所需要的一个原函数 详解f(x)的原函数 F(x)可以表示为 F(x) 0 x f(t)dtC，于是 当 f(x)为奇函数时，f(u)
8、f(u)，从而有 即 F(x)为偶函数， 故应选(A) 至于选项(B)、(C)、(D)，可分别举反例如下：f(x)x 2 是偶函数，但其原函数 F(x) ，不是奇函数，可排除(B)；f(x)cos 2 x 是周期函数，但其原函数 F(x) 不是周期函数，可排除(C)；f(x)x 在区间(，)内是单调增函数，但其原函数 4.设 f(x) （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解析：由于f(x)1，于是 f(x)1，故 fff(x)1，故应选(B)5.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， （分数：2.00）A.F(x)是偶函数 B.F(x)是奇函数C.F(x)是周期函数D.F(x
9、)是单调函数解析：解析：分析 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案 详解 1 任一原函数可表示为 F(x) 0 x f(t)dtC，且 F“(x)f(x)当 F(x)为偶函数时，有 F(x)F(x)，于是 F“(x).(1)F“(x)，即f(x)f(x)，也即 f(x)f(x)，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 0 x f(t)dt 为偶函数，从而 F(x) 0 x f(t)dtC 为偶函数，故选(A) 详解 2 令 f(x)=1，则取 F(x)=x+1，可排除(B)，(C)；令 f(x)=x，则取 6.设数列 x n 与 y n 满足 （分数：2
10、.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析：解析：分析 通过举反例用排除法或直接推导 详解 1 举反例：取 y n 0，可排除(A)； 取 可排除(B)； 若取 x n 0，则 y n 可为任意数列，可排除(C) 故应选(D) 详解 2 若 为无穷小，则 7.“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当，nN 时，恒有x n a2”是数列x n 收敛于 a 的（分数：2.00）A.允分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.允分必要条件 D.既非充分条件又非必要条件解析：解析：分析 本
11、题考查对数列收敛性定义的理解，注意到 2 仍是可任意小的正数，因此上述条件也是数列收敛的充要条件当然也可严格推导出它与标准定义是等价的 详解 由数列x n 收敛于a “对任意给定的 1 0，总存在正整数 N 1 ，当 nN 1 时，恒有x n a 1 ”，显然可推导出：“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x 2n a2” 反过来，若有“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n a2”，则对任意的 1 0(不妨设 0 1 1，当 1 1 时，取 ，代替即可)。取 ，存在正整数N，当 nN 时，恒有x n a2 8.设a n ，b n ，c
12、n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n 成立B.b n c n 对任意 n 成立C.极限D.极限 解析：解析：详解 1 本题考查极限的概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A)，(B)；而极限 是“0.”型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限 属“1.”型，必为无穷大量，即不存在故应选(D) 详解 2 用举反例法，取 ，b n 1 9.设 j，yy(x)是二阶常系数微分方程，y n py“qye 3x 满足初始条件 y(0)y(0)0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析
13、：解析：分析 本题为 型未定式的极限，可用洛必塔法则或用泰勒展开式 详解 1 根据题设，有 y“(0)py“(0)qy(0)1y“(0)1 于是利用洛必塔法则，有 故应选(C) 详解 2 利用泰勒公式，有 于是10.若 （分数：2.00）A.0B.6C.36 D.解析：解析：分析 本题已知某函数的极限，推求另一相关函数的极限，基本方法有：无穷小量的等价代换、洛必塔法则和泰勒展开其中用洛必塔法则时，应注意分子、分母求导以后的极限必须存在，本题f(x)未知是否可导，不能用洛必塔法则，泰勒展开的阶数一般可由分母的幂次来确定，本题可将 sin6x 展开到 x 3 。即可 详解 1 因为 所以有 可见
14、详解 2 本题也可这样求解： 因为 所以 评注 注意若采用下述方法求解： 11.等于 （分数：2.00）A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdx C.2 1 2 ln(1x)dxD. 1 2 ln 2 (1x)dx解析：解析：分析 将原极限变形，使其对应一函数在一区间上的积分和式作变换后求解 详解12.设函数 f(x)在(0，)内具有二阶导数，且 f(x)0，令 u n f(n)(n1，2，)，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n2 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2
15、 ，则u n 必发散 解析：解析：分析 利用反例通过排除法进行讨论 详解 设 f(x)x 2 ，则 f(x)在(0，)上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1 u 2 ，但u n n 2 发散，排除(C)；设 f(x) ，则 f(x)在(0，)上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1 “2u 2 ，但u n 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)13.。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 ）解析：解析：分析 本题为 型未定式，可直接用洛必塔法则求解 详解 1 详解 2 考虑到分母为 x 2 ，利用泰勒公式将分子 展开到 x 的二次幂。有 14. （分数：2.00
16、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 ）解析：解析：分析 结合无穷小量等价代换和洛必塔法则进行计算即可 详解15.。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 ）解析：解析：分析 本题为求极限的常规题，注意到分子部分含有根式，应先有理化再求极限 详解16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 ）解析：解析：17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 ）解析：解析：分析是未定式“1 ”型，属基础题型 详解 18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 ）解析：解析：详解属于“1 ”未定式 19
17、.已知函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 2）解析：解析：详解 由三、解答题(总题数：14，分数：28.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分子分母同除以 x，考虑到 x 为负，有 )解析：解析：本题为22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：分析 含有根式函数的极限问题，一般应先有理化，然后再用四则运算、无穷小量等价代换以及洛必塔法则等求极限 评注 在利用洛必塔法则求极限之前，应尽量通过无穷小量的等价代换进行简化，
18、另外非零因子项的极限要先计算出来，不要再放在分子、分母的求导过程中比如，本题有理化后，应先将23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 。 详解 2 )解析：解析：此极限属于24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用无穷小量的等价代换以及洛必塔法则，有 )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：利用无穷小量替换及洛必塔法则26.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 ，而原极限c0，得 知 b0 所以 a1 原极限即 a1，b0， )解析：解析：一般情况下，若 limf(x)0，
19、27.已知函数 f(x)在(0，)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 有 ，两边积分得 f(x) ， 又由 知，C1故 f(x)解析：解析：本题为“1 ”型未定式，利用公式 limf(x) g(x)f(x)1 lime g(x)f(x)1 求极限即可28.已知函数 ，设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：欲使 ，用洛必塔法则， 只需 ，所以 2a1，即 a3 欲使 ，用洛必塔法则， 只需 )解析：解析：本题是极限的反问题，利用洛必塔法则求解29.当 x0 时，1cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小，求 n 与 a 的值（分数
20、：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 当 x0 时，1COSrcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小，由三角函数的积化和差公式以及洛必塔法则得 故 n2，a7 详解 2 当 x0 时，由泰勒公式 于是 cos3ccos2x )解析：30.设 f(x)是区间0，)上单调减少且非负的连续函数， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可得 f(k1) k k1 f(x)dxf(k)(k1，2，)，因此有 a n1 a n f(n1) n n1 f(x)dx0，即数列a n 单调下降 又 )解析：解析：分析 证明抽象数列a n 的极限存在，一般用单调有界数列必有极限定理来判
21、断因此只需证明a n )足单调(增加或减少)且有界(上界或下界)即可 评注 本题的证明过程中，用到了 31.。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应填 )解析：解析：分析 利用定积分的定义计算即可 详解 由定积分的定义，知32.设 0x 1 3，x n1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用归纳法证明x n 有上界：首先，由 0x 1 3 得 又设 ，则有 再证x n 单调增加：由 有 x n1 x n 由单调有界准则知， 存在 在递推公式 x n1 两边取极限，得 ，解得 )解析：解析：利用单调有界数列必有极限，先证明极限存在，再求极限33.设数列x n 满足 0x 1 ，
22、x n1 sinx n (n1，2，) (1)证明 存在，并求该极限；(2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 0x 1 ，则 0x 2 sinx 1 1 可推得 0x n1 sinx n 1，n1，2，则数列x n 有界 于是 (因为当 x0 时，sinxx)，则有 x n1 x n ，可见数列x n 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在 设 ，在 x n1 1sinx n 两边令 n，得 sin，解得 0，即 (2)因 ，由(1)知该极限为“1 ”型， 令 tx n ，则 n，t0，而 又 故 )解析：解析：题设数列由递推公式给出，一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数
