1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 3 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2003 年)设a n ，b n ，C n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n 成立B.b n c n 对任意 n 成立C.极限 D.极限 3.(2005 年)设函数 f() （分数：2.00）A.0，1 都是 f()的第一类间断点B.0，1 都是 f()的第二类间断点C.0 是 f()的第一类间断点，1 是 f()的第二类间断点
2、D.0 是 f()的第二类间断点，1 是 f()的第一类间断点4.(2007 年)当 0 + 时，与 （分数：2.00）A.1B.C.D.1cos5.(2007 年)函数 f() （分数：2.00）A.0B.1C.D.6.(2008 年)设函数 f()在(一，)内单调有界， n 为数列，下列命题正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 n 收敛，则f( n )收敛B.若 n 单调，则f( n )收敛C.若f( n )收敛，则 n 收敛D.若f( n )单调，则 n 收敛7.(2008 年)设函数 f() （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1 个可去间断点，1 个无穷间
3、断点C.2 个跳跃间断点D.2 个无穷间断点8.(2009 年)当 0 时，f()sina 与 g() 2 ln(1b)是等价无穷小，则 【 】（分数：2.00）A.a1，bB.a1，bC.a1，bD.a1，b9.(2009 年)函数 f() （分数：2.00）A.1B.2C.3D.无穷多个10.(2010 年)函数 f() （分数：2.00）A.0B.1C.2D.311.(2011 年)已知当 0 时，函数 f()3sinsin3 与 c k 是等价无穷小，则 【 】（分数：2.00）A.k1，c4B.k1，c4C.k3，c4D.k3，c412.(2012 年)设 a n 0(n1，2，)，
4、S n a 1 a 2 a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的 【 】（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分条件也非必要条件13.(2013 年)设 cos1sin()，其中() （分数：2.00）A.比 高阶的无穷小B.比 低阶的无穷小C.与 同阶但不等价的无穷小D.与 等价的无穷小14.(2014 年)(1)当 0 + 时，若 ln a (12)， （分数：2.00）A.(2，)B.(1，2)C.(D.(0，15.(2015 年)函数 f() （分数：2.00）A.连续B.有可去间断点C.有跳跃间断点D.有无穷间断点二、填空题(总题数：
5、10，分数：20.00)16.(1997 年)已知 f() （分数：2.00）填空项 1:_17.(2001 年) （分数：2.00）填空项 1:_18.(2002 年)设函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_19.(2003 年)若 0 时， （分数：2.00）填空项 1:_20.(2004 年)设 f() （分数：2.00）填空项 1:_21.(2005 年)当 0 时，a()k 2 与 () （分数：2.00）填空项 1:_22.(2007 年) （分数：2.00）填空项 1:_23.(2008 年)已知函数 f()连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_24.(2011 年)
6、 （分数：2.00）填空项 1:_25.(2013 年) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_27.(2008 年)求极限 （分数：2.00）_28.(2009 年)求极限 （分数：2.00）_29.(2011 年)已知函数 F() 设 F()lim （分数：2.00）_30.(2011 年) ()证明：对任意的正整数 n，都有 成立 ()设 a n 1 （分数：2.00）_31.(2012 年)已知函数 f() ，记 a （分数：2.00）_32.(2012 年)()证明方程 n
7、n-1 1(n 为大于 1 的整数)在区间( ，1)内有且仅有一个实根； ()记()中的实根为 n ，证明 （分数：2.00）_33.(2013 年)当 0 时，1cos.cos2.cos3 与 a n 为等价无穷小，求 n 与 a 的值（分数：2.00）_34.(2013 年)设函数 f()ln ()求 f()的最小值； ()设数列 n 满足 ln n 1证明 （分数：2.00）_35.(2014 年)求极限 （分数：2.00）_36.(2014 年)设函数 f() ，0，1定义函数列： f 1 ()f()，f 2 ()f(f 1 ()，f n ()f(f n-1 ()，记 S n 是由曲线
8、 yf n ()，直线 1 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 （分数：2.00）_37.(2015 年)设函数 f()aln(1)bsin，g()k 3 若 f()与 g()在 0 时是等价无穷小，求 a，b，k 的值（分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 3 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2003 年)设a n ，b n ，C n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n 成立B.
9、b n c n 对任意 n 成立C.极限 D.极限 解析：解析：由于 b n 10， c n 则 b n c n 即极限 3.(2005 年)设函数 f() （分数：2.00）A.0，1 都是 f()的第一类间断点B.0，1 都是 f()的第二类间断点C.0 是 f()的第一类间断点，1 是 f()的第二类间断点D.0 是 f()的第二类间断点，1 是 f()的第一类间断点 解析：解析：显然 0 和 1 是 f()的间断点，又 ，则 0 是 f()的第二类间断点；4.(2007 年)当 0 + 时，与 （分数：2.00）A.1B. C.D.1cos解析：解析：5.(2007 年)函数 f()
10、（分数：2.00）A.0 B.1C.D.解析：解析：6.(2008 年)设函数 f()在(一，)内单调有界， n 为数列，下列命题正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 n 收敛，则f( n )收敛B.若 n 单调，则f( n )收敛 C.若f( n )收敛，则 n 收敛D.若f( n )单调，则 n 收敛解析：解析：由于 f()在(，)上单调有界，若 n 单调，则f( n )是单调有界数列，故f( n )收敛 事实上 A、C、D 都是错误的若令 n ，显然 0，即 n 收敛，令 f() ，显然 f()在(，)上单调有界，但f( n )不收敛由于 f( n ) ，所以 7.(2008 年)设
11、函数 f() （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1 个可去间断点，1 个无穷间断点C.2 个跳跃间断点D.2 个无穷间断点解析：解析：显然 f() sin 在 1 和 0 没定义，因此 1 和 0 为间断点，其余点都连续 则 1 为 f()的跳跃间断点8.(2009 年)当 0 时，f()sina 与 g() 2 ln(1b)是等价无穷小，则 【 】（分数：2.00）A.a1，b B.a1，bC.a1，bD.a1，b解析：解析：由于当 0 时，f()sina 与 y() 2 ln(1b)是等价无穷小，则 则 b 9.(2009 年)函数 f() （分数：2.00）A
12、.1B.2C.3 D.无穷多个解析：解析：当 k(k0，1，2，)时，sin0，则这些点都是 f()的间断点而当0，1 时， 3 0， 10.(2010 年)函数 f() （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：显然 f() 有间断点 0，111.(2011 年)已知当 0 时，函数 f()3sinsin3 与 c k 是等价无穷小，则 【 】（分数：2.00）A.k1，c4B.k1，c4C.k3，c4 D.k3，c4解析：解析： 则 k3，12.(2012 年)设 a n 0(n1，2，)，S n a 1 a 2 a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的 【 】（分数
13、：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件 C.必要非充分条件D.既非充分条件也非必要条件解析：解析：由于 a n 0，则数列S n 单调增，若S n 有界，则S n 收敛，设 S n a，则 13.(2013 年)设 cos1sin()，其中() （分数：2.00）A.比 高阶的无穷小B.比 低阶的无穷小C.与 同阶但不等价的无穷小 D.与 等价的无穷小解析：解析：由 cos1sin()知14.(2014 年)(1)当 0 + 时，若 ln a (12)， （分数：2.00）A.(2，)B.(1，2) C.(D.(0，解析：解析：由于当 0 + 时 ln 口(12)2， ， 由题设可知，
14、1，且 15.(2015 年)函数 f() （分数：2.00）A.连续B.有可去间断点 C.有跳跃间断点D.有无穷间断点解析：解析：由 f() 知，f(0)无意义，且 当 0 时，f() 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)16.(1997 年)已知 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于17.(2001 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将分子有理化，分母分解因式得18.(2002 年)设函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由于当 0 时 1e
15、(tan)()，arcsin ，则 19.(2003 年)若 0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由于当 0 时 (1) 1，则当0 时 1 a 2 ，从而 由题意知 20.(2004 年)设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：21.(2005 年)当 0 时，a()k 2 与 () （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 k22.(2007 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.(2008 年)已知函数 f()连续，且
16、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：24.(2011 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：25.(2013 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.(2008 年)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.(2009 年)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 0 时，1cos 2 ，sin，所以 )解析：29
17、.(2011 年)已知函数 F() 设 F()lim （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由题意 )解析：30.(2011 年) ()证明：对任意的正整数 n，都有 成立 ()设 a n 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n1)，使得 ()当 n1 时，由()知 )解析：31.(2012 年)已知函数 f() ，记 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 则 a1 () 由于当 0 时，sin )解析：32.(2012 年)()证明方程 n n-1 1(n 为大于 1 的整数)在区间( ，1)内有且仅有一个实根； ()记
18、()中的实根为 n ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 f() n n-1 1(n1)，则 f()在 ，1上连续，且 ，f(1)n10, 由闭区间上连续函数的介值定理知，方程 f()0 在( ，1)内至少有一个实根 当 ( ，1)时， f()n n-1 (n1) n-2 2110， 故f()在( ，1)内单调增加 综上所述，方程 f()0 在( ，1)内有且仅有一个实根 ()由 n ( ，1)知数列 n 有界，又 n n n n-1 n 1 n n n n-1 n+1 n-1 n+1 1 因为 0，所以 n n n n-1 n n+1 n n+1 n-1 n+1 于是有
19、n n+1 ，n1，2， 即 n 单调减少 综上所述，数列 n 单调有界，故 n 收敛 记 a n 由于 令 并注意到 n 1 1，则有 解得 a ，即 )解析：33.(2013 年)当 0 时，1cos.cos2.cos3 与 a n 为等价无穷小，求 n 与 a 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由题设知 )解析：34.(2013 年)设函数 f()ln ()求 f()的最小值； ()设数列 n 满足 ln n 1证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f() ，令 f()0，解得 f()的唯一驻点 1 又 f(1) 10，故 f(1)1 是唯一极小值，即最小值
20、()由()的结果知 ln 1，从而有 于是 n n+1 ，即数列 n 单调增加 又由 ln n 1，知 ln n 1，得 n e 从而数列 n 单调增加，且有上界，故 n 存在 记 n a，可知a 1 0 在不等式 ln n 1 两边取极限，得 lna 1 又 lna 1，故 lna 1，可得 a1，即 )解析：35.(2014 年)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.(2014 年)设函数 f() ，0，1定义函数列： f 1 ()f()，f 2 ()f(f 1 ()，f n ()f(f n-1 ()，记 S n 是由曲线 yf n ()，直线 1 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.(2015 年)设函数 f()aln(1)bsin，g()k 3 若 f()与 g()在 0 时是等价无穷小，求 a，b，k 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 f()(1a)(b ) 2 0( 3 ) 由于当0 时，f()k 3 ，则 )解析：
