1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 4 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1987 年)f()sine cos ()是 【 】（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数3.(1987 年)函数 f()sin 【 】（分数：2.00）A.当 时为无穷大B.在(，)内有界C.在(，)内无界D.当 时有有限极限4.(1990 年)已知 （分数：2.00）A.a1，b1B.a1，b1C.a1，b1D.a1，b15.(19
2、92 年)设 f() （分数：2.00）A.B.C.D.6.(1992 年)当 1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在但不为7.(1993 年)当 0 时，变量 （分数：2.00）A.无穷小B.无穷大C.有界的，但不是无穷小的D.无界的，但不是无穷大8.(1995 年)设 f()和 f()在 ()(，)上有定义，f()为连续函数，且 f()0，()有间断点，则 【 】（分数：2.00）A.f()必有间断点B.() 2 必有间断点C.f()必有间断点D.必有间断点9.(1997 年)设 0 时，e tan e 与 n 是同阶无穷小，则 n 为 【 】（分数：2.
3、00）A.1B.2C.3D.410.(1997 年)设 （分数：2.00）A.B.C.D.11.(1998 年)设数列 n 与 y n 满足 （分数：2.00）A.若 n 发散，则 y n 必发散B.若 n 无界，则 y n 必无界C.若 n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 12.(1999 年)“对任意给定 (0，1)，总存在正整数 N，当，nN 时，恒有 n a2”是数列 n 收敛于 a 的 【 】（分数：2.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件13.(2000 年)设函数 f() 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.
4、a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b014.(2001 年)设 f() （分数：2.00）A.0B.1C.D.15.(2001 年)设当 0 时，(1cos)ln(1 2 )是比 sin n 高阶的无穷小，而 sin n 是比( （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：10，分数：20.00)16.(1987 年) （分数：2.00）填空项 1:_17.(1988 年)设 f() （分数：2.00）填空项 1:_18.(1989 年) （分数：2.00）填空项 1:_19.(1989 年)设 f(z) （分数：2.00）填空项 1:_20.(1990 年)设
5、函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_21.(1991 年) （分数：2.00）填空项 1:_22.(1992 年)求 （分数：2.00）填空项 1:_23.(1994 年)若 f() （分数：2.00）填空项 1:_24.(1995 年) （分数：2.00）填空项 1:_25.(1996 年) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_27.(1988 年)设 f() （分数：2.00）_28.(1989 年)求 （分数：2.00）_29.(1990 年)已知 （分数：2.00）
6、_30.(1993 年)求 （分数：2.00）_31.(1995 年)求 （分数：2.00）_32.(1996 年)设函数 f() （分数：2.00）_33.(1997 年)求极限 （分数：2.00）_34.(1998 年)求函数 f() （分数：2.00）_35.(2001 年)求极限 （分数：2.00）_36.(2002 年)设 0 1 3， n+1 （分数：2.00）_37.(2004 年)求极限 （分数：2.00）_38.(2006 年)设数列 n 满足 0 1 ， n+1 sin n (n1，2，) ()证明 n 存在，并求该极限； () （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、
7、连续）历年真题试卷汇编 4 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1987 年)f()sine cos ()是 【 】（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数 解析：解析：由于 f()sin()e cos(-) sine cos f()，则 f()为偶函数3.(1987 年)函数 f()sin 【 】（分数：2.00）A.当 时为无穷大B.在(，)内有界C.在(，)内无界 D.当 时有有限极限解析：解析：由于 f(2k)2
8、ksin(2k)0 f(2k )2k4.(1990 年)已知 （分数：2.00）A.a1，b1B.a1，b1C.a1，b1 D.a1，b1解析：解析：由5.(1992 年)设 f() （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：6.(1992 年)当 1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在但不为 解析：解析： 则极限7.(1993 年)当 0 时，变量 （分数：2.00）A.无穷小B.无穷大C.有界的，但不是无穷小的D.无界的，但不是无穷大 解析：解析：取 n ，f( n )(n) 2 sin(n)0， f( n )0，取 y n ， 则当 0 时 8.(
9、1995 年)设 f()和 f()在 ()(，)上有定义，f()为连续函数，且 f()0，()有间断点，则 【 】（分数：2.00）A.f()必有间断点B.() 2 必有间断点C.f()必有间断点D.必有间断点 解析：解析：举反例 f()1，() 9.(1997 年)设 0 时，e tan e 与 n 是同阶无穷小，则 n 为 【 】（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：由于10.(1997 年)设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：当 0 时，f() 2 0，则 gf()f()2 2 2； 当 0 时，f()0，则 gf()2f()2()2； 故 gf() 1
10、1.(1998 年)设数列 n 与 y n 满足 （分数：2.00）A.若 n 发散，则 y n 必发散B.若 n 无界，则 y n 必无界C.若 n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析：解析：排除法，若取 n n，y n 12.(1999 年)“对任意给定 (0，1)，总存在正整数 N，当，nN 时，恒有 n a2”是数列 n 收敛于 a 的 【 】（分数：2.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分条件又非必要条件解析：解析：由数列极限的“”定义可知本题中“对任意给定 (0，1)，总存在正整数 N，当nN 时，恒有 n a2”与原定义等价，
11、故应选 C13.(2000 年)设函数 f() 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析：由14.(2001 年)设 f() （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解析：先求尢 ff() 由于当 1 时 f()1，从而 ff()1 当 1 时，f()0，则 ff()1 因此 ff()1 显然 fff()115.(2001 年)设当 0 时，(1cos)ln(1 2 )是比 sin n 高阶的无穷小，而 sin n 是比( （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：当 0 时1cos 2 ，ln(1 2 )
12、2 ，sin n n ， 1 2 ，则，当 0 时 (1cos)ln(1 2 ) 4 ，sin n n+1 ， 1 2 由于当 0 时，(1cos)ln(1 2 )是比 sin n 高阶的无穷小， 则 4n1； 又当 0 时，sin n 是比( 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)16.(1987 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -3 ）解析：解析：由于17.(1988 年)设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：f(00) (2a)af(00) 18.(1989 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正
13、确答案：正确答案：*）解析：解析：由于19.(1989 年)设 f(z) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ab）解析：解析：由于 f(00) b，f(00) 20.(1990 年)设函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 f()21.(1991 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由于22.(1992 年)求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于23.(1994 年)若 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解
14、析：解析：由于24.(1995 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：119*）解析：解析： 由夹逼原理可知：原式25.(1996 年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由和差化积公式得 原式三、解答题(总题数：13，分数：26.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.(1988 年)设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f() 知 f() 1又 ()0，则 ()解析：28.(1989 年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.(1990
15、 年)已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.(1993 年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式 )解析：31.(1995 年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式 )解析：32.(1996 年)设函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) )解析：33.(1997 年)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.(1998 年)求函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()在(0，2)上的间断点为 由于 f()， f()则 和 为第二类间断点，而 f()1 f()1，则 )解析：
16、35.(2001 年)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 则 f() 由于 )解析：36.(2002 年)设 0 1 3， n+1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 1 3 知 1 ，3 1 均为正数， 由数学归纳法知，对任意正数n1，均有 0 n ，因而数列 n 有界 又当 n1 时， n+1 n 0 因而 n+1 n (n1)即数列 n 单调增 由单调有界数列必有极限知 存在令 a，在 n+1 两边取极限，得 a 解之得 a ，a0(舍去) 故 )解析：37.(2004 年)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.(2006 年)设数列 n 满足 0 1 ， n+1 sin n (n1，2，) ()证明 n 存在，并求该极限； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用归纳法证明 n 单调下降且有下界 由 0 1 ，得 0 2 sin 1 1 设 0 n ，则 0 n+1 sin n n 所以 n 单调下降且有下界，故 n 存在 记 a ，由 n+1 sin n 得 asina 所以 a0，即 n 0 ()解因为 )解析：
