1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 5 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：38.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2011 年试题，一)已知当 x0 时 f(x)=3sinxsin3x 与 cx k 是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4D.k=3，c=一 43.(2009 年试题，一)当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x 2 ln(1 一 bx)为等价无穷小，则( )。（分数：2.00）A.
2、a=1，b=一 16B.a=1，b=16C.a=一 1，b=一 16D.a=一 1，b=164.(2007 年试题，一)当 x0 时，与 （分数：2.00）A.B.C.D.5.(2004 年试题，二)把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，6.(2001 年试题，一)设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsin n 是比(e x2 一 1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )。（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.(1997 年试题，一)设 x0 时，e tanx 一 e n 与 x n 是同阶
3、无穷小，则 n 为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.(2010 年试题，1)函数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.(2009 年试题，一)函数 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.无穷多个10.(2008 年试题，一)设函数 （分数：2.00）A.一个可去间断点，一个跳跃间断点B.一个可去间断点，一个无穷间断点C.两个跳跃间断点D.两个无穷跳跃间断点11.(2007 年试题，一)函数 （分数：2.00）A.0B.1C.D.12.(2006 年试题，二)设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 （分数：2.00）A.连续的奇函
4、数B.连续的偶函数C.在 x=0 间断的奇函数D.在 x=0 间断的偶函数13.(2005 年试题，二)设函数 （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点14.(2000 年试题，二)设函数 内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析：题设所给函数 f(x)是初等函数，且在(一，)内连续，因此 f(x)
5、在(一，+)上处处有定义当 a0，b0 时,f(x)有间断点 ，因此可排除 A 当 a一 1，b=0 时，由已知， 矛盾，当a=一 1，b=0 时 f(x)无定义，由此可知 b0；当 b0 时，15.(2012 年试题，一)设函数 f(x)=(e * 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=( )（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n1)! B.(一 1) n (n 一 1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!解析：解析：x=0 时 f(0)=0，由函数在一点处导数的定义，有 16.(2011 年试题，一)已知 f(x)在
6、x=0 处可导，且 f(x)=0则 （分数：2.00）A.一 2f “ (0)B.一 f “ (0) C.f “ (0)D.0解析：解析：17.(2007 年试题，一)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若B.若C.若 D.若 解析：解析：A，B，C 三个选项都是正确的对于 D 选项，如 f(x)=x，满足 18.(2005 年试题，二)设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析：此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f(x)的函数图形求得因为 所以 根据 y=f(x)的表达式以及
7、其函数图形(见图 12 一 1)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导(图形是尖点)，所以选 C19.(1998 年试题，二)函数 f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x的不可导点的个数为( )。（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：由题设 f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x，其中 x 2 一 x 一 2 在(一，+)上处处可导，x 3 一 x在 x=0，一 1，1 三点之外处处可导，因此 f(x)只有在 x=0，一 1，1 三点有可能不可导下面逐一分析这三点的可导性，由导数的定义， 由于 因此 x=0 处不可导 其中(x 2 一 x一 2)x(
8、x 一 1)0，当 x-1， 有界，从而上左=0，因此 f “ (一 1)=0，即 x=一 1 处可导 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)20.(2005 年试题，一)当 x0 时，a(x)=kx 2 与 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：根据题意得*解得*）解析：21.(2003 年试题，一)若 X0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设，根据等价无穷小的定义，知 ）解析：解析：当 x0 时，f(x)0，则有(1+f(x) a 一 1 一 af(x)22.(2006 年试题，一)设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
9、：正确答案：根据连续性定义，有 ）解析：23.(2004 年试题，一)设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设， ）解析：24.(2002 年试题，一)设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由连续性的定义，要求左、右极限相等，由题设，f(0)=a， ）解析：解析：f(x)在 x 0 处连续 25.(1997 年试题，一)已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由连续性的定义， ）解析：三、解答题(总题数：7，分数：14.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.(2006
10、年试题，15)试确定常数 A，B，C 的值，使得 e 2 (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+D(x 2 )其中 o(x 3 )是当x0 时比 x 3 高阶的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用泰勒公式计算因为 从而 )解析：28.(2002 年试题，十)设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0f “ (0)0，f n (0)0证明：存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 加时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先明确高阶无穷小的定义，即若
11、 f(x)是 x 2 的高阶无穷小，则当且仅当 由题设，欲证结论等价于证明存在唯一一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得 (1)式成立的必要条件是 2 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)一 f(0)=0，即 1 f(0)+ 2 f(0)+ 3 f(0)一 f(0)=0，由已知 f(0)0，因此 1 + 2 + 3 -1=0(2)又由已知 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，从而可利用洛必达法则，由(1)式， (3)同样此式成立的必要条件是 f “ (h)+22f “ (2h)+3f “ (3h)=0，即 1 f “ (0)+2 2 f “ (0)+3 3 f “ (0)=0
12、 由已知 f “ (0)0，所以 1 +2 2 +3 3 =0(4)对(3)式继续应用洛必达法则，有 同理，由 f “ (0)=0，知 1 +4 2 +9 3 =0(5)综合(2)，(4)，(5)三式得一关于 1 ， 2 ， 3 的线性非齐次方程组 该方程组系数行列式为 )解析：解析：本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于 1 ， 2 ， 3 的方程组，即由 在上式中分别取 x=h，2h，3h，则 因此 1 f(0)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)=( 1 + 2 + 3 -1)f(0)+( 1 +2 2 +3 3 )f (0)h+ ( 1 +4 2 +9 3 )f （0）h 2
13、+o(h 2 )由题设 f(0)0,f “ (0)0,f n (0)0，则要使上式左边当 h0 时为 h 2 的高阶无穷小，必应满足 29.(2003 年试题，三)设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查函数在某一点处连续的定义及可去间断点的定义，当f(x)在 x=0 的左、右极限相等且等于 f(x)时，则 f(x)在 x=0 处连续，若左右极限相等但不等于 f(0)时，则 x=0 为可去间断点，由题设，欲使 f(x)在 x=0 处连续，则 f(0 - )=f(0 + )=6，又 )解析：解析：求左、右极限的过程中，应尽量利用无穷小量的等价代换，可简化计算30.(2001 年
14、试题，四)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，应先求出 f(x)的表达式，再讨论其间断点及其类型注意到原极限式中 x 应视为常数，则当 tx，极限 f(x)应为一初等函数，即 即 又由已知，f(x)的间断点为其无定义的点，也就是 sinx 的零点，x=0，k(k=1，2，)当 x=0 时，由于 ，从而 x=0 是 f(x)的第一类间断点或可去间断点；当 x=k(k=1，2，)时，由于 同时有 )解析：解析：说明间断点通常只需说明是第一类或第二类间断点即可，如若进行更细致的判定类别则更如，另求“1 ”型极限时，用第二类重要极限来求可能会更简单31.(1998 年试题，三)
15、求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设所给函数 的结构特点知，(0，2)内 f(x)的间断点 的零点及没有定义的点 ，即间断点为 下面一一分析各点的性质： )解析：32.(2004 年试题，三(2)设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=-x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数(I)写出 f(x)在一 2，0)上的表达式；()问 k 为何值时 f(x)在 x=0 处可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，f(x)=x(x 2 4)，x0，2当 x一 2，0)时，x+20，2)，则由f(x)=kf(x+2)知 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 一 4=k(x+2)(x 2 +4x)=kx(x+2)(x+4)，x一 2，0)由导数定义及 f(0)=0，有 令 f “ (0 + )=f “ (0 - )，则 ，所以当 )解析：
