1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2005 年试题，二)设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“ （分数：2.00）A.F(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.F(x)是周期函数D.F(x)是单调函数3.(2001 年试题，二)设 （分数：2.00）A.0B.1C.D.4.(1999 年试题，二)设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )（分数：2.00）A.当 f(
2、x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时，(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数5.(1997 年试题，二)设 （分数：2.00）A.B.C.D.6.(2012 年试题，一)设 a n 0(n=1，2，3，)，s n =a 1 +a 2 +a 3 +a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的( )。（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分也非必要条件7.(2003 年试题，二)设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a
3、 n n 对任意 n 成立B.b n n 对任意 n 成立C.极限 D.极限 8.(1999 年试题，二)“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n 一a2”是数列x n 收敛于 a 的( )（分数：2.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件9.(1998 年试题，二)设数列 x n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 10.(2002 年试题，二)设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y
4、 n +py “ +qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y “ (0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 311.(2000 年试题，二)若 则 （分数：2.00）A.0B.6C.36D.12.(2008 年试题，一)设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )。（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛13.(2007 年试题，一)设函数 f(x)在(0，+)
5、上具有二二阶导数，且 f n (x)0-令 u n =f(n)=1，2，n，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散14.(2004 年试题，二) （分数：2.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：23，分数：46.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.(2012 年试题，二) （分数：2.00）_(2012 年试题，三)已知函数 （分数：4.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2
6、).若 x0 时 f(x)一 a 与 x k 是同阶无穷小，求常数 k 的值（分数：2.00）_17.(2011 年试题，二) （分数：2.00）_18.(2009 年试题，三)求极限 （分数：2.00）_19.(2008 年试题，三)求极限 （分数：2.00）_20.(2007 年试题，二) （分数：2.00）_21.(2004 年试题，三(1)求极限 （分数：2.00）_22.(2001 年试题，一) （分数：2.00）_23.(2000 年试题，一) （分数：2.00）_24.(1999 年试题，三)求 （分数：2.00）_25.(1998 年试题，一) （分数：2.00）_26.(19
7、97 年试题，三(1) （分数：2.00）_27.(2011 年试题，三)已知函数 F(x)= （分数：2.00）_28.(2008 年试题，二)设 f(x)连续， （分数：2.00）_29.(2002 年试题，五)已知函数 f(x)在(0，+)内可导 f(x)0， 96，且满足 （分数：2.00）_30.(1998 年试题，四)确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_31.(2011 年试题，三)证明：对任意的正整数 n，都有 成立设 a n = （分数：2.00）_32.(2,009 年试题，二) （分数：2.00）_33.(2006 年试题，三)设数列x n 满足 0 1n-
8、1=sinxn(n=1，2，)(I)证明*x n存在，并求该极限；()计算*（分数：2.00）_34.(2002 年试题，八)设 0 10，知 x2 ；从而 gf(x)= 6.(2012 年试题，一)设 a n 0(n=1，2，3，)，s n =a 1 +a 2 +a 3 +a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的( )。（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件 C.必要非充分条件D.非充分也非必要条件解析：解析：由题设 a n O，因此数列S n 是单调递增数列若S n 有界，则 S n 存在，就有 a n = 7.(2003 年试题，二)设a n ，b n ，c n 均
9、为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n n 对任意 n 成立B.b n n 对任意 n 成立C.极限 D.极限 解析：解析：由题设， a n =0 及 8.(1999 年试题，二)“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n 一a2”是数列x n 收敛于 a 的( )（分数：2.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分条件又非必要条件解析：解析：本题考查数列极限的 -N 语言定义，即：V 0，存在 NN，当 nN 时有x n 一 an收敛于口的充要条件，所以选 C。评注对概念的理解要彻底，当 为任意小的正数时，k 也为
10、任意小的正数(k 为确定的正数)9.(1998 年试题，二)设数列 x n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析：解析：本题可采取举反例的方法一一排除干扰项，即设 x n =sinn，y n = 则 y n 收敛 x n y n )，=0从而可排除 A设 x n 显然 x n 无界且满足 x n y n =0，但是 y n 也无界，因此 B 亦可被排除设 x n = 则 x n y n =0，x n 有界，但 y n 并非无穷小，从而 C也不对综上，只有 D 成立，关于
11、D 的正确性的证明如下： 所以 10.(2002 年试题，二)设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y n +py “ +qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y “ (0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析：解析：由题设，y(0)=y “ (0)=0，代入原微分方程，得 y n (0)=1，则 11.(2000 年试题，二)若 则 （分数：2.00）A.0B.6C.36 D.解析：解析：由于题设未给出关于 f(x)的更多性质，故不应直接对原式应用洛必达法则，可将 sin6x 展成麦克劳林级数，即当 x0 时，sin6x
12、=6x 一 (6x) 3 +o(x 3 )=6x 一 36x 3 +o(x 3 )，因此 所以 选 C或者 所以 12.(2008 年试题，一)设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )。（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛 C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛解析：解析：因为 f(x)在实数域内单调有界，若x n 也单调，则f(x n )单调有界，从而f(x n )是收敛的，B 选项正确；若 13.(2007 年试题，一)设函数 f(x)在(0，+)上
13、具有二二阶导数，且 f n (x)0-令 u n =f(n)=1，2，n，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散 解析：解析：因 f n (x)1，故 f “ (在(0，+)上单调递增若 u 1 u 2 ，则 14.(2004 年试题，二) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查定积分的定义，即函数求和取极限的形式， 则将1，2等分为乃个小区间，间隔为 在小区间 右端点上函数 f(x)=lnx 的值为 由定
14、积分定义知，二、解答题(总题数：23，分数：46.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.(2012 年试题，二) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2012 年试题，三)已知函数 （分数：4.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).若 x0 时 f(x)一 a 与 x k 是同阶无穷小，求常数 k 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.(2011 年试题，二) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.(2009 年试题，三)求极限 （分数：2.00）_
15、正确答案：(正确答案： )解析：19.(2008 年试题，三)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.(2007 年试题，二) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(2004 年试题，三(1)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解析一 解析二 )解析：22.(2001 年试题，一) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.(2000 年试题，一) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设， )解析：24.(1999 年试题，三)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：在求极限过程中，应
16、先将非零因子项计算出来，尽量用无穷小量的等价代换进行简化，然后再用洛必达法则求极限，这样比较简便25.(1998 年试题，一) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解析一 解析二 解析三 )解析：解析：当分子(或分母)为 x n 时，将分开(或分子)用泰勒公式展开到 x n 进行计算比较简单，这类题有多种解法，选择合适的一种26.(1997 年试题，三(1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解析一 解析二 )解析：27.(2011 年试题，三)已知函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=0 时，因为 所以结论不正确；当 a ，所以结论也不正确；当a0
17、 时, )解析：28.(2008 年试题，二)设 f(x)连续， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为当 x0 时，e 2 -1x 2 ， ，所以有 因为 f(x)连续，所以 )解析：29.(2002 年试题，五)已知函数 f(x)在(0，+)内可导 f(x)0， 96，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查由重要极限 导出微分方程，再求解微分方程，由题设， 因此 f “ (x) 分离变量得 两边积分得 即 又由已知 ，可求出 C=1，所以 )解析：30.(1998 年试题，四)确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设表达式
18、，因为 ，但原式极限二 c0，因此分母极限(x0)也为 0，即 从而 ，当 b0 时，t(0，b)，则 因而 当 b1 时，*由于已知0k*，所以*即x n单调递增，综上，由数列单调有界收敛准则知x n收敛设极限为 A，即*两边令 n，则*解之得*(A=0 舍去)，所以* 评注在证明x n单调性时，也可利用*来达到目的。)解析：35.(2002 年试题，一) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，原极限可化为定积分表示，即 )解析：36.(1999 年试题，十)设 f(x)是区间0，+)上单调减少且非负的连续函数， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：数列单调有界必有极限，因此由题设，证明a n 单调有界即可由已知 f(x)在0，+)上单调减少，因此 因此 即数列a n 有下界，又 因而数列a n 单调下降，所以数列a n 极限存在 评注处理技巧 )解析：
