1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2005 年试题，二) 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“ ”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有( ) 。（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 (x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数2 (2001 年试题，二) 设 则 ff(x)等于( )（A）0（B） 1（C）（D）3 (1999 年试题，二) 设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，
2、则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，(x) 必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数4 (1997 年试题，二) 设 则 gf(x)=( )（A）（B）（C）（D）5 (2012 年试题，一) 设 an0(n=1，2，3，)，s n=a1+a2+a3+an，则数列S n有界是数列a n收敛的( ) 。（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分也非必要条件6 (2003 年试题，二) 设a n，b n，c n均为非负数列，且=，则必有(
3、)。（A）a nn 对任意 n 成立（B） bnn 对任意 n 成立（C）极限 ancn 不存在（D）极限 bncn 不存在7 (1999 年试题，二)“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n 一 a 2”是数列x n收敛于 a 的( )（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件8 (1998 年试题，二) 设数列 xn 满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必有界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 y
4、n 必为无穷小9 (2002 年试题，二) 设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 yn+py+qy=e3x 满足初始条件y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 310 (2000 年试题，二) 若 则 为( )（A）0（B） 6（C） 36（D）11 (2008 年试题，一) 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是( ) 。（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛12 (20
5、07 年试题，一) 设函数 f(x)在(0，+)上具有二二阶导数，且 fn(x)0-令 un=f(n)=1，2， ， n，则下列结论正确的是( ) （A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散13 (2004 年试题，二) 等于( )。（A）（B）（C）（D）二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (2012 年试题，二)14 (2012 年试题，三) 已知函数15 求 a 的值；16 若 x0 时 f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值17 (2011 年试题
6、，二)18 (2009 年试题，三) 求极限19 (2008 年试题，三) 求极限20 (2007 年试题，二)21 (2004 年试题，三(1)求极限22 (2001 年试题，一)23 (2000 年试题，一)24 (1999 年试题，三) 求25 (1998 年试题，一)26 (1997 年试题，三(1)27 (2011 年试题，三) 已知函数 F(x)= 试求 a 的取值范围28 (2008 年试题，二) 设 f(x)连续，29 (2002 年试题，五) 已知函数 f(x)在(0，+)内可导 f(x)0， 96，且满足求 f(x)30 (1998 年试题，四) 确定常数 a，b，c 的值
7、，使31 (2011 年试题，三) 证明：对任意的正整数 n，都有 成立设 an= ，证明数列a n收敛32 (2,009 年试题，二)33 (2006 年试题，三) 设数列x n满足 01n-1=sinxn(n=1，2，)(I)证明 xn 存在，并求该极限；() 计算34 (2002 年试题，八) 设 01n+1= 证明数列x n的极限存在，并求此极限35 (2002 年试题，一)36 (1999 年试题，十) 设 f(x)是区间0，+)上单调减少且非负的连续函数，证明数列a n的极限存在考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
8、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知 于是 f(x)为奇函数为偶函数 的全体原函数为偶函数；F(x)为偶函数 f(x)=f(x)为奇函数所以选 A。评注 考虑当 f(x)具有函数的某种性质时，它的原函数 F(x)是否也具有这种性质?反过来考虑呢?【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 由题设， 则 由于f(x)只能取 0，1 两个值，即f(x) 1，x(一，+)，所以 ff(x)1，x(一，)，因而 ff(x)=f(1)=1 选 B。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 由已知 f(x)是连续函数，则 是 f(x)的一个原函数，从而
9、 f(x)的任一原函数 F(x)可表示为 即 其中 C 为任意常数，且有 当 f(x)是奇函数时，即 F(x)为偶函数， A 成立；当 f(x)是偶函数时，所以 B 不成立；关于选项 C，D 可举反例予以排除，如令 f(x)=1+cosx，则周期为 2，F(x)=x+sinx+C 不是周期函数；又令 f(x)=x，为单调增函数，但 不是单调函数，综上，选 A评注是函数 f(x)的原函数中的一个，所以 f(x)的原函数才为 F(x)= ，然后再用函数性质的定义进行判定【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 由已知 由 f(x)0，知 x0 且 f(x)=一 x；由 f(x
10、)0，知 x2；从而 gf(x)= 选 D【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 anO，因此数列S n是单调递增数列若S n有界，则Sn 存在，就有 an= (Sn 一 Sn-1)=0，得数列a n收敛，数列S n有界是数列an收敛的充分条件反之，若a n收敛，则S n不一定是有界的，例：取 an=1 满足题设，a n收敛，但 Sn=n，S n无上界，因此应选 B。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设， an=0 及 bn=1 知当 n 充分大时，a nn，但对任意n，a nn 不一定成立，从而可排除 A,同理 bnn 对任意
11、 n 也不一定成立，因此 B 也可排除，假设 an= cn=n，则 an=0， cn=+，且 ，因此 C 也不成立，关于 D，由于 bncn=，所以极限 bncn 不存在，综上，选 D。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查数列极限的 -N 语言定义，即：V 0，存在 NN，当nN 时有x n 一 a n收敛于口的充要条件，所以选 C。评注对概念的理解要彻底，当 为任意小的正数时，k 也为任意小的正数 (k 为确定的正数)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项，即设 xn=sinn，y n= 则yn
12、 收敛 xnyn)，=0从而可排除 A设 xn 显然 xn无界且满足 xnyn=0，但是 yn 也无界，因此 B 亦可被排除设 xn=则 xnyn=0，x n 有界，但 yn 并非无穷小，从而 C 也不对综上，只有 D 成立，关于 D 的正确性的证明如下：所以 为无穷小时，y n 亦为无穷小，所以选 D【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，y(0)=y (0)=0，代入原微分方程，得 yn(0)=1，则选 C【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 C【试题解析】 由于题设未给出关于 f(x)的更多性质，故不应直接对原式应用洛必达法则，可将 sin6x
13、 展成麦克劳林级数，即当 x0 时， sin6x=6x 一 (6x)3+o(x3)=6x一 36x3+o(x3)，因此 所以 选 C或者所以 评注要正确运用四则运算公式和无穷小量代换【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在实数域内单调有界，若x n也单调，则f(x n)单调有界，从而f(x n)是收敛的， B 选项正确；若 f(x)是单调有界的，且x n是收敛于 0 的，但f(x n)的数值总是在 1 和一 1 之间来回变化，是不收敛的，A 选项错误；若 f(x)=arcotanx，x n=n，满足 CD 选项的条件，但与结果相矛盾，CD 选项均错误故
14、应选 B。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 因 fn(x)1，故 f(在(0 ，+)上单调递增若 u1u 2，则 0，(1 ，2)，即 n2 时，必有 f(n)f()0，即 un=f(n)单调递增，且随 n 的增大，f(n)增大 f(n)增长得更快，故而发散所以应选 D【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查定积分的定义，即函数求和取极限的形式，则将1，2等分为乃个小区间，间隔为 在小区间右端点上函数 f(x)=lnx 的值为 由定积分定义知，选 B评注应用定积分的定分和变换【知识模块】 函数、极限、连续二、解答题解答应写出文字
15、说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 由已知 x0时 f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，则有 k+2=3，k=1【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 解析一解析二【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续2
16、3 【正确答案】 由题设，【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【试题解析】 在求极限过程中，应先将非零因子项计算出来，尽量用无穷小量的等价代换进行简化，然后再用洛必达法则求极限，这样比较简便【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 解析一 解析二 解析三 【试题解析】 当分子(或分母)为 xn 时，将分开(或分子)用泰勒公式展开到 xn 进行计算比较简单，这类题有多种解法，选择合适的一种【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 解析一 解析二 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 当 a=0 时，因为 所以结论不正确；当 a，所以结论也不正确；当 a0
17、 时,所以 a【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 因为当 x0 时，e 2-1x 2， ，所以有因为 f(x)连续，所以 故有 f(0)=2【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 本题考查由重要极限 导出微分方程，再求解微分方程，由题设， 因此 f(x) 分离变量得两边积分得 即 又由已知 ，可求出C=1，所以【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 由题设表达式，因为 ，但原式极限二 c0，因此分母极限(x0)也为 0，即 从而 ，当 b0 时，t (0，b)，则 因而 当 b 因而综上 b=0，于是 又由于因此必有 即 a=1，从而所以 综上【知识模块】 函
18、数、极限、连续31 【正确答案】 证明：f(x)=ln(1+x)在 应用中值定理an单调递减有界，故a n收敛【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 令【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 (I)依题意，有 02=sinx1 x2=sinx1103=sinx22 同理可知0n+1=sinxnn， n=2，3，.，即x n单调下降有下界，于是 极限 xn，记为 a对xn+1=sinxn 取极限，令 n+。可得【试题解析】 f(x)=x 一 sinx 在(一，+)单调上升，有唯一零点 x=0()因为所以【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 通常证明数列有极限都是通
19、过证明其单调有界来达到目的，本题考查的也是这一思路，由题设，已知 01a+1= 知，x 2= 显然假设 ，则 xk0 且 3 一 xk0，从而于是由归纳假设得出结论x 1有上界且全为正数，关于单调性，当 n1 时，由于已知 0k ，所以 即x n单调递增，综上，由数列单调有界收敛准则知x n收敛设极限为 A，即 两边令 n，则解之得 (A=0 舍去)，所以 评注在证明x n单调性时，也可利用 来达到目的。【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 由题设，原极限可化为定积分表示，即【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 数列单调有界必有极限，因此由题设，证明a n单调有界即可由已知 f(x)在0，+)上单调减少，因此因此即数列a n有下界，又因而数列a n单调下降，所以数列a n极限存在评注 处理技巧【知识模块】 函数、极限、连续
