1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若（A）0（B） 6（C） 36（D）2 设 f(x)，g(x) 在点 x=0 的某邻域内连续，且当 x00 时 f(x)与 g(x)为等价无穷小量，则当 x0 时 0xf(t)(1 一 cos t)dt 是 0xt2g(t)dt 的( )（A）等价无穷小量（B）同阶 (非等价)无穷小量（C）高阶无穷小量（D）低阶无穷小量3 把 x0 +时的无穷小量 =0xcos t2dt， 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是( )（A），（B） ,， （C）
2、 ， （D）， 4 设函数 其中 f(x)在 x=0 处二阶可导 f”(0)0,f(0)=0,f(0)=0，则x=0 是 F(x)的( )（A）第一类间断点（B）连续点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定5 设函数 f(x)= ，讨论 f(x)的间断点，其结论为 ( )（A）不存在间断点（B） x=0 是可去间断点（C） x=0 是跳跃间断点（D）x=0 是无穷间断点二、填空题6 当 x0 时，tan(tan x) 一 sin(sinx)是 x 的_阶无穷小量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 求 f(0),f(0
3、),f”(0)及8 设函数 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)0，求9 设 f(x)具有连续导数，求10 设11 求12 x表示不超过 x 的最大整数，试确定常数 a 的值，使 存在，并求出此极限13 若 x0 时 与 xsinx 是等价无穷小量，试求常数 a14 当 x0 时， 与 xm 是同阶无穷小量，试求常数 m15 当 x0 时 3x 一 4sinx+sin xcosx 与 xn 为同阶无穷小量，试求 n16 设当 x0 时，ln(1+x)一(ax 2+bx)是比 xarcsinx 高阶的无穷小量，试求常数 a 和b17 设 x0 时，f(x)= 是等价的无穷小量，试求常数 a
4、和 k 的值18 设函数 问 f(x)在 x=1 处是否连续?若不连续，修改f(x)在 x=1 处的定义，使之连续19 设 f(x)连续，且 求 f(0)20 设当 0x1 时，f(x)=x sin x，对于其他 x，f(x) 满足 f(x)+k=2f(x+1)，求常数 k 的值，使 f(x)在 x=0 处连续21 求函数 f(x)= 的间断点，并判别其类型22 求函数 的间断点，并指出其类型23 证明方程 在(0，+)内至少有两个实根24 设函数 f(x)在0，1上非负连续，且 f(0)=f(1)=0，证明对实数 a(0a 1) ，必有0， 1)使 f(+a)=f()25 设 f(x)在a，
5、b上可微， a，b，af(x) b，且 f(x)1，x (a，b)试证：在(a ，b)内方程 f(x)=x 有唯一实根26 设 f(x)在区间0，1上可微，当 0x1 时，恒有 0f(1) f(x)，且 f(x)f(x)讨论在(0，1)内存在唯一的点 ，使得 f()=0f(t)dt考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由极限与无穷小量的关系知【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知即 0xf(t)(1一 cost)dt 与 0xt2g(t)dt 是 x
6、0 时的同阶但非等价无穷小量，故应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 所以 是比 低阶的无穷小量，又 即 是比 高阶的无穷小量，而 即 是比 低阶的无穷小量，因而正确的排列次序是 ， ， 故应选(B).【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 所以 x=0 是F(x)的第一类(可去)间断点【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以 x=0 是 f(x)的无穷间断点，故应选(D) 【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 3【试题解析】 因为 从而于是取 k=3 时，有故应填 3【知识模块】
7、函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 又 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，因此 f(x),f(x)在 x=0 处连续从而 f(0)=一 3【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 由积分中值定理可知，存在 一 a，a ，使 -aaf(t+a)一 f(t 一 a)dt=2af(+a)一 f( 一 a)，再由微分中值定理可知，存在 (a，+a)，使 f(+a)-f( 一 a)=2af() 由夹逼准则可知，当 a0 +时 0，0，故【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 由微分中值定
8、理，存在 (x1，x+1)，使 f(x+1)-f(x 一 1)=2f()注意到当 x时，从而【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 因为【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 故一a=2，即 a=一 2 时上述极限存在，并且【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 由等价无穷小的定义知 ，即 a=一 4【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 由同阶无穷小量的定义知 m 一 3=2，即 m=5 时， 与 xm 是 x0 时的同阶无穷小量【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 故当 n=5 时上述极限存在并且等于 即 n=5 时 3x 一 4sinx
9、+sin xcosx 与 xn 是 x0 时的同阶无穷小【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 当 x0 时 xarcsin xx 2而由条件知b=1 时 ln(1+x)一(ax 2+bx)是 x0 时的比 xarcsinx 高阶的无穷小量【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因 x0 时有由 f(x)和 g(x)是 x0 时的等价无穷小量，可得【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 故 f(x)在 x=1 处不连续【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 等式两边取极限，得 由于 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0)=【知识模块】 函数、极限、连
10、续20 【正确答案】 又 f(0)=2f(1)一 k=2 一 k，故 2 一 k=1，即 k=1 时，f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0 以及 ，即 x=1 和 x=一 1故 x=0 是 f(x)的第二类间断点，且是无穷间断点 故 x=1和 x=-1 是 f(x)的第一类间断点，且是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 因为由此，f(x)的间断点是 x=0 及 x=k(k=1，2，)，因为 所以 x=0 是 f(x)的第一类(可去)间断点；而 x=k(k=1，2，)均为第二类(无穷)间断点【知识模块】 函
11、数、极限、连续23 【正确答案】 令 ，则 f(x)在(0，+)内连续，因为又 故由零点定理，f(x)=0 在(0，e)与(e ，+) 内至少各有一个实根，即 f(x)=0 在(0，+)内至少有两个实根【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 令 F(x)=f(x+a)-f(x)因为 f(x)在0，1上非负连续，f(x+a)应在一a，1 一 a上非负连续，于是 F(x)在0，1a上连续 由于 F(0)=f(a)-f(0)=f(a)0 ， F(1 一 a)=f(1)-f(1 一 a)=-f(1 一 a)0 (1)若 F(0)=0，则 =0 即为所求； (2) 若 F(1 一a)=0， 则
12、 =1a 即为所求； (3)若 F(0)0 且 F(1-a)0，则由零点定理，必存在(0， 1 一 a) (0，1)，使得 F()=0，即 f(+a)=f() 综上所述，存在 0，1)，使 f(+a)=f()【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 存在性令 F(x)=f(x)一 x，显然 F(x)在a，b上连续，又 F(a)=f(a)-a0，F(b)=f(b) 一 b0，则由零点定理可知，至少存在一点 (a，b)，使F()=0，即 f()=用反证法证唯一性设存在 (a，b)，使 F()=0，则由罗尔定理可知，在 与 之间存在一点 c，使 F(c)=f(c)一 1=0，即 f(c)=1
13、，这与 f(x)1，x (a，b)矛盾【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 先证存在性 令 g(x)=f(x)一 0xf(t)dt，则 g(x)在0 ，1上连续，又 g(0)=f(0)0，g(1)=f(1)一 01f(t)dt=01f(1)-f(t)dt0 由零点定理知，存在(0， 1)使得 g()=0，即 f()=0f(t)dt 再证唯一性，用反证法 假设存在1， 2(12)满足 f()=0f(t)dt不妨设 1 2显然 g(1)=g(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)使得 g()=0，即 f()-f()=0这与条件 f(x)f(x)矛盾即假设不成立因此满足 f()=0f(t)dt 的 是唯一的【知识模块】 函数、极限、连续
