1、考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x， y)可微，且对任意的 x，y，都有 ，则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2， y1)成立的一个充分条件是（A）x 1x 2，y 1y 2 （B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2 （D）x 1x 2，y 1 2 2 设函数 u(x，y) (xy)(xy) xy xy (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（A）（B）（C）（D）3 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（A）
2、（B）（C）（D）4 设函数 ，其中函数 f 可微，则（A）2yf(x y)（B） 2yf(x y)（C）（D）5 设函数 z z(x，y) 由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20 且（A）x （B） z （C） x（D）z6 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 (x，y)0 已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0 （B）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)一 0 （D）若 fx(
3、x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)07 设函数 z f(x，y)的全微分为 dzxdxydy，则点(0 ，0)（A）不是 f(x，y)的连续点 （B）不是 f(x，y) 的极值点（C）是 f(x，y) 的极大值点 （D）是 f(x， y)的极小值点8 设函数 f(x)，g(x) 均有二阶连续导数，满足 f(0) 0，g(0)0，且 f(0)g(0)0，则函数 zf(x)g(x)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（A）f“(0)0，g“(0)0 （B） f“(0)0，g“(0)0（C） f“(0)0，g“(0)0 （D）f“(0)0，g“(0)0 9 =_。（A）（B）（C）（D
4、）10 设函数 f(u)连续，区域 D(x，y)x 2y 22y)，则 等于（A）（B）（C） f(r2sincos)dr（D） f(r2sincos)rdr11 设函数 f(x)连续若 ，其中区域 Duv 为图 152 中阴影部分，则 （A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）12 设区域 D(x，y)x 2y 24，x0，y0f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 等于（A）ab （B）（C） (ab)（D）13 设区域 D 由曲线 ysinx， ，y1 围成，则 （A） （B） 2（C） 2（D）14 设 DkA 是网域 Df(x， y)x 2y 21位于第 k 象
5、限的部分，记，I k(k1，2，3，4)，则（A）I 10 （B） Ik20 （C） I30 （D）I 40 15 设 f(x，y)为连续函数，则 等于（A）（B）（C）（D）16 设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于（A）（B）（C）（D）17 设函数 f(x，y)连续，则 （A）（B）（C）（D）二、填空题18 设 f(u，v)是二元可微函数， _。19 设 _。20 设函数 z z(x，y) 由方程 ze 2x3z 2y 确定，则 _。21 设 ，其中函数 f(u)可微，则 _22 设平面区域 D 由直线 yx，圆 x2y 22y，及 y 轴围成，则二重积分_。三、解答题解答应写出
6、文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 zf(x 2y 2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 24 设 xf(x y，xy，xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dx 与 。25 设函数 uf(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定 a，b 的值，使等式在变换xay，xby 下化简为 。26 设函数 z f(xy,yg(x)，函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x1 处取得极值 g(1)1求 27 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)1，函数 yy(x)由方程 yxey1 1 所确定，设 zf(lnysinx)，求 。28 已知函数 zf(x
7、，y)的全微分 dz2xdx2ydy，并且 f(1，1)2求 f(x，y)在椭圆域 上的最大值和最小值29 求函数 ux 2y 2z 2 在约束条件 zx 2y 2 和 xyz4 下的最大值与最小值30 求函数 的极值31 求曲线 x3xyy 31(x0，y0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离32 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)0，f(x ，1)0，其中 D(x，y)0x1，0y1，计算二重积分33 设平面内区域 D 由直线 x3y，y3x，及 x y8 围成，计算二重积分。34 设区域 D(x，y)x 2y 21,x0，计算二重积分 I35 计算二重积分 ，其
8、中 D(X，y)1 0X1 ，0y136 设二元函数 计算二重积分，其中 D(x，y)xy237 计算 ，其中 D(x，y)0x2，0y2)38 计算二重积分 ，其中 D(x，y)(x1) 2(y1)22，yx39 计算二重积分 ，其中 D(r，)0rsec，40 计算二重积分 ，其中区域 D 由曲线 r1cos(0) 与极轴围成考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 详解 若 x1x 2，y 1y 2，则由 ，有 f(x1，y 1)(x 2， y1)， 由 ，有 f(x
9、2，y 1)f(x 2，y 2)，即 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)f(x 2，y 1)故应选(D) 【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 详解 (xy)(xy)(x y)(xy)，(xy)(xy)(xy)(xy)， “(xy)“(xy)(xy)(z 一 3，)， “(xy) “(xy)(xy)(xy)，“(xy)“(xy)(xy) (x y)从而 故应选(B)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 详解 选项(A) 相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，因此
10、 (A)，(B)均不能保证 f(x，y)在点(0， 0)处可微 选项(D)相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0) ，f y(0，0)在点(0，0)连续，但不能推导出两个一阶偏导函数 fx(x，y)，f y(x，y) 在点(0，0)处连续，因此也不能保证 f(x，y)在点(0 ，0)处可微若 ，则 ，即fx(0，0)0，同理有 fy(0，0)0从而根据可微的定义，知函数 f(x，y)在(0 ，0)处可微故应选 (C)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由 ，可得故选(A)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 分析 利用公式直接求两个一阶偏导数详
11、解 因为，所以因此应选(B)评注 此题也可两边求全微分求得 。【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 详解 1 构造拉格朗日函数 F(x ，y)f(x，y)(x，y)令若(x 0，y 0)为极值点，则(x 0，y 0)为上面方程组的解，即有 fy(x0，y 0) y(x0，y 0)0代入第一个方程得若 fx(x0，y 0)0，则必有 fy(x0，y 0)0，故应选(D) 详解 2y0，由隐函数存在性定理，(x，y)0 确定 yy(x)，且 。此时 x0 为一元函数 f(x，y(x) 的极值点，从而有，即在(x 0，y 0)有 ，从而 fx(x0，y 0)0fy(xx，y
12、0)0【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 分析 由全微分的定义知 ，再用取得极值的充分条件判断详解 因 dzxdxydy，可得 ，又在(0，0)处，ACB 210，故(0，0)为函数 zf(x，y)的一个极小值点，故应选(D)【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 分析 直接利用二元函数取得极值的充分条件 详解显然 zx(0，0)f(0)g(0) 0，z y(0，0)f(0)g(0)0，故(0，0)是 zf(x)g(y)可能的极值点 计算得 z“xx(x，y)f“(x)g(y)，z“ yy(x，y)f(x)g“(y)，z“ xy(x，y)f(x)
13、g(y) ， 所以Az“ xx(0，0)f“(0)g(0)，Bz“ xy(0，0)0，Cz“ yy(0，0)f(0)g“(0) 由B2AC0，且 A0，C0，有 f“(0)0，g“(0)0故应选(A) 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 分析 用二重积分(或定积分) 的定义详解 因为所以应选(D)评注 1 也可用定积分定义计算评注 2 以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖【知识模块】 重积分10 【正确答案】 D【试题解析】 详解 如图 151 在直角坐标系下将原积分化为累次积分：先 y 后 x 的积分顺序有，可知(A)错先 x
14、后 y 的积分顺序有，由于 f(xy)关于 x 不一定为偶函数，知(B)错在极坐标系下化为累次积分： x 2y 22yr2sin，0，可知(D)正确故应选(D) 评注 由极坐标系下的面积元为如 drdrd，知(C)错由 D 的边界曲线 x2(y1)21，可知(A) 错，因(A) 中的累次积分对应的区域为 x2y 21 由 f(xy)为抽象函数，没有其他条件可知(B)不对，因此由排除法知，应选(D)【知识模块】 重积分11 【正确答案】 A【试题解析】 详解 利用极坐标，有于是 ，故应选(A)【知识模块】 重积分12 【正确答案】 D【试题解析】 在区域 D 上，根据 x，y 的对称性，有同样有
15、因此【知识模块】 重积分13 【正确答案】 D【试题解析】 详解 如图 154：(利用对称区间上奇函数的性质)故应选(D) 【知识模块】 重积分14 【正确答案】 B【试题解析】 分析 利用重积分的性质即可得出答案 详解 因为第 1，3 象限区域有关于 X，Y 的轮换对称性，故在第 2 象限区域 Dk2 上， yx0，在第 4 象限区域 D4 上，yx0，故由重积分的性质得I20，I k40故选(B)【知识模块】 重积分15 【正确答案】 C【试题解析】 如图 1 一 58，由原积分限确定的积分区域为在直角坐标系下 D 为于 是故应选(C)【知识模块】 重积分16 【正确答案】 B【试题解析】
16、 分析 先确定积分区域，画出示意图(见图 159)，再交换积分次序 详解 积分区域D： ，sinxy1 ，也可表示为 D：0y1， arcsinyx，故，故应选(B)评注 确定 y的取值范围时应注意：当 时，ysinxsin(x)，于是 xarcsiny，从而 xarcsiny 【知识模块】 重积分17 【正确答案】 C【试题解析】 详解 的积分区域为两部分 D1(x，y)1x2，xy2 ，D 2(x，y)1y2，yx4y，将其写成 D(x，y)1 1y2 ，1x4y)，故二重积分可以表示为1605*，故应选(C) 【知识模块】 重积分二、填空题18 【正确答案】 应填 。【试题解析】 【知识
17、模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 二元函数 ，对 x 求偏导，应当作幂指函数求导，可先取对数或化为指数函数再求导详解 两边取对数，有，对 x 求偏导，得当 x1，y2 时，有 ，代入上式得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 应填 2【试题解析】 详解 1 在方程 ze 2x3z 2y 两边对 x 求偏导，并注意到 z 是 x、y的二元函数，得 ，由此得 。同理得。于是 。详解 2令F(x，y，z) ze2x3z 2y，则 ，故 详解 3 在等式两边求全微分，有 dze 2x3z (2dx3dz)2dy，从而 ，故，由此得 。评注 1 本题易犯的错误是
18、在求 Fx，F y 时，把 z 看成是 x，y 的函数，而不明白在F(x，y，z)中 x，y，z 都是相互独立的自变量，从而不能出 m 正确结果评注 2 本题代表了求隐函数偏导数的三种方法：按复合函数求导；代公式；利用全微分的形式不变性【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 应填 0【试题解析】 详解 由，于是 。设函数 f(u)在(0， )内具有二阶导数，且满足等式 。(1)验证。(2)若 f(1)0，f(1)1，求函数 f(u)的表达式详解(1)令 ，则 zf(u)，由复合函数求导法得，由对称性可得，代入 得。(2)令 Pf(u) ，p f“(u)，得，解得 lnplnulnC ，
19、于是。f(1)1C 1由 得 f(u) lnu C f(1)0C0，故 f(u)lnu【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 用极坐标计算二重积分详解易得圆的极坐标方程为r2sin，于是【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由复合函数求偏导法得f 1.2x f2.yexy2xf 1ye xyf2， f 1(2y)f 2.xexy2yf 1xe xyf2，2xf“ 11(2y)f“ 12xexye xyf2xye xyf2 ye xyf“21(2y)f“ 22xexy4xyf“ 11 2(xy)e xyf“1
20、2xye xyf“22(1xy)e xyf2【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 ，所以，(f 1f 2yf 3)dx(f 1f 2xf 3)dy， f“ 11.1f“ 12.(1)f“ 13.xf“ 21.1f“ 22.(1)f“ 23.xf“ 3 yf“ 31.1f“ 32.(1)f“ 33.zf 3f“ 11f“ 22xyf“ 33 十(xy)f“ 13(xy)f“ 23【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 由复合函数的链导法则得所以由，得，因而 解得【试题解析】 分析 利用复合函数的链导法则变形原等式即可评注 此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考
21、核【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 由题意 g(1)0 因为， ， f 1 yxf“11g(x)f“ 12g(x)f 2yg(x)xf“ 21g(x)f“ 22，所以，令xy1，且注意到 g(1)1，g(1)0，得 f 1(1，1)f“ 11(11)f“ 12(1，1)【试题解析】 利用多元复合函数的求偏导法则及 g(1)0【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 而由 yxeyy1 1 两边对 x 求导得 ye y1 xe y1 y0再对 x 求导得 y“ ey1 ye y1 y一 xey1 yxe y1 y“0将 x0，y1 代入上面两式得 y(0)1，y“(0)2故
22、f(0)(00)0， f(0).(21)1【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 详解 1 由 dz2xdx2ydy 可知 z f(x ，y)x 2y 2C由f(1，1)2，得 C2，故 z f(x，y)x 2y 22令，解得驻点(0，0)在椭圆 上，zx 2(44x 2)2，即 z5x 22(1x1)，其最大值为 ，最小值为 ，再与 f(0，0)2 比较，可知 f(x，y)在椭圆域 D 上的最大值为3，最小值为2 详解 2 同详解 1，得驻点(0，O) 用拉格朗日乘数法求函数在椭圆 上的极值设解得4 个可能的极值点(0，2) ，(0，2) ，(1，0)和(1，0)又 f(0，2)2，
23、f(0， 2)2，f(1 ，0)3，f(1，0)3，再与 f(0，0)2 比较，得f(x，y)在 D 上的最大值为 3，最小值为2【试题解析】 分析 先由全微分的表达式求出 f(x，y)的表达式，再求其最值评注 此题的新颖点在于要求极值的函数没有直接给出，需要根据全微分的表达式求出后再讨论其最值【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 设拉格朗日函数为 F(x，y，z)x 2y 2z 2(z x 2y 2)(xyz4)解方程组 得故最大值、最小值分别为 umax(2) 2( 2)28 272，u min1 21 21 22 26【试题解析】 本题考查两个约束条件 下的函数 uf(x ，y
24、，x)的条件极值问题，可类似地构造拉格朗日函数 F(x，y，z ，)f(x，y，z)(x，y， z)(x，y ，z)解出可能极值点后，直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值)即可【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 令解得函数驻点，即可能极值点为(1，o)或(1，0) 易得(1)在驻点(1，0)，Af“ xx(1，0) ，Bf“ xy(1，0)0，Cf“ yy(1，0)由 B2AC 2e 1 0，且 A0，知(1，0)为极大值点，极大值 f(1，0) (2)在驻点 (1，0)，Af“ xx(1，0) ，Bf“ xy(1，0)0， Cf“ xy(1， 0) 由 B2
25、AC2e 1 0，且 A0，知(1，0)为极小值点，极小值 f(1，0) 【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 点(x，y)到坐标原点的距离 ，问题为求目标函数在约束条件 x3xyy 31(x0，y0)下的最大值和最小值为方便求导，我们构造拉格朗日函数 F(x，y，)x 2y 2(x 3xyy 31)解方程组由，消去 得，(y x)(3xy xy)0，由于 x0，y0，得 yx，代入得唯一可能的极值点：xy1另外，曲线 L 与 x 轴，y 轴的交点分别为(1，0)，(0，1)计算这些点到坐标原点的距离得 d(1，1) ，d(1，0)d(0 ，1)1，故所求最长距离为 ，最短距离为 1
26、。【试题解析】 分析 本题考查二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘数法评注求最值问题时要注意考虑区域边界点或曲线端点的情况【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 用分部积分法交换积分次序再用分部积分法所以【试题解析】 分析 把二重积分化为二次积分，用分部积分法评注注意在计算二次积分的过程中对分部积分法及已知条件的应用【知识模块】 重积分33 【正确答案】 直线 x3y 与 y3x 的交点为(0，0)，直线 x3y 与 xy8 的交点为(6 ，2)，直线 y3x 与 xy8 的交点为(2，6)【知识模块】 重积分34 【正确答案】 如图 153，由于 D 关于 x 轴对称，而 1554*
27、关于 y 为奇函数，从而 于是【知识模块】 重积分35 【正确答案】 详解 1 如图 155，设则由于故详解 2 同详解 1，【试题解析】 由于被积函数含有绝对值x 2y 21，应按 x2y 210 和x2y 2 一 10 将 D 分为两部分，从而将原积分写成两个积分之和【知识模块】 重积分36 【正确答案】 如图 156，记 D1(x，y)xy1)，D 2D D1，则【试题解析】 在计算积分 时，利用了将区域 D2 转化为区域 D 减去D1，而后面这两块区域均方便积分【知识模块】 重积分37 【正确答案】 记 D1(x，y)xy1，(x，y) D， D 2(x，y)zy1，(x，y) D，则
