1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）0（B） -（C） +（D）不存在但也不是2 设 f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)= 则当 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等阶无穷小二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 ()若 xn yn(nN)，且存在极限 xn=A， yn=B，则 AB；()设 f(x)在(a， b)有定义，又 c(a，b)使得极限 =A，则 f(x)在(a ，b) 有界；()若使得当 0x-a
2、 时 有界4 设 f(x)= 又 a0，问 a 为何值时 存在5 证明：() 不存在；() 设 f(x)= 不存在6 求7 求极限8 求下列极限：9 求10 求11 求12 求下列极限 f(x)：13 求数列极限14 设 xn= xn.15 求数列极限：() (M0 为常数)；( )设数列x n有界，求16 设 f(x)在0，1上连续，求 01xnf(x)dx17 设 a10， an+1= (n=1，2，)，求 an.18 设 x1=2， xn+1=2+ ，n=1 ，2，求 xn.19 求20 设(x)= ()若 f(x)处处连续，求 a，b 的值；()若 a，b不是( )中求出的值时 f(x
3、)有何间断点，并指出它的类型21 求极限 .22 求极限23 求极限24 求极限25 求下列极限：26 求考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 et=+， et=0，故要分别考察左、右极限由于因此应选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 C【试题解析】 由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选 C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 () 不正确在题设下只能保证 AB，不能保证
4、AB例如，x n=，y n= ，则 xny n，而 yn=0( )不正确这时只能保证： 点 c的一个空心邻域 U0(c，)=x0x-c 使 f(x)在 U0(c，) 中有界，一般不能保证 f(x)在(a，b)有界例如：f(x)= ，(a，b)=(0，1)，取定 c(0，1)，则在(0，1)无界()正确因为，由存在极限的函数的局部有界性 使得当 0x-a 时 有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 f(0+0)= =f(0-0)=1.a.1=a(a0)，由 f(0+0)=f(0-0)，得a=因此，当且仅当 a= 时，存 =【知识模块】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】
5、 () 取 xn= ，y n= ，则均有 xn0，y n0(n)，但不存在()已知 f(x)=，其中 g(x)=0xcost2dt，由于而不存在【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x)2 得其中 (用洛必达法则)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 属 1型w= =2.e20=2e【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 () 注意 x0 时， x2(1-cosx) x4， ex4-1x 4 w= =4( )因为x3(x0)，ln(1+2x 3)2x 3(x0)，所以【知识模块】 极限、连续与求
6、极限的方法9 【正确答案】 属 型先作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换：x0 时 sin3x3x 3， x2-sin2x于是 最后用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法10 【正确答案】 属- 型先通分化成 型未定式，则有直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明 x(x)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用 ln(1+x)x(x0)就有【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 这是 1型的对于幂指数型未定式，总可先用公式 uv=evlnu，然后再用洛必达法则，并注意 arctanxx(x0) 由于 ，而因此【知识模块】 极限、连续与求极限的方
7、法12 【正确答案】 () 注意：因此() 由于因此【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 由 (n)用等价无穷小因子替换得 引入函数 f(x)= (x0)，则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小注意，已知 因此xn=1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 () 存在自然数 k，kM，使 ，当 nk 时，有 即当nk 时，有 是常数，且 ，由夹逼定理知 () 由于x n有界，故 M0，对一切 n 有x nM 于是，由题()的结论及夹逼定理知【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】
8、 因为 01xndx= ，且连续函数f(x)在0，1存在最大值记为M，于是 01xnf(x)dx 01xnf(x)dxM 01xndx= 又01xnf(x)dx=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 显然，0a n3(n=2，3，)，于是a n有界令 f(x)= ，则 an+1=f(an)，f(x)= (x0)于是 f(x)在 x0 单调上升，从而a n是单调有界的，故极限 an 存在令 an=A，对递归方程取极限得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 令 f(x)=2+ ，则 xn+1=f(xn)显然 f(x)在 x0 单调下降，因而由上面的结论可知
9、x n不具单调性易知， 2xn xn=a，则由递归方程得a=2+ ，即 a2-2a-1=0，解得现考察因此【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 x0 时，t=(1+x) x-10，则(1+x) x-1=tln(1+t)=ln(1+x) x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 () 首先求出 f(x)注意到 故要分段求出 f(x)的表达式当x1 时，当x1 时，=ax2+bx于是得其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在(-，-1)，(-1，1)，(1 ，+)上连续最后，只需考察 f(x)在分界点 x=1 处
10、的连续性这就要按定义考察连续性，分别计算：从而 f(x)在 x=1 连续 f(1+0)=f(1-0)=f(1) a+b=1= (a+b+1) a+b=1；f(x) 在 x=-1连续 f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1) a-b=-1= (a-b-1) a-b=-1因此 f(x)在 x=1 均连续a=0，b=1当且仅当 a=0，b=1 时 f(x)处处连续()当(a，b)(0，1) 时，若 a+b=1(则 a-b-1)，则 x=1 是连续点，只有 x=-1 是间断点，且是第一类间断点；若 a-b=-1(则 a+b1)，则 x=-1 是连续点，只有间断点 x=1，且是第一类间断点；若 a-b
11、-1 且 a+b1，则 x=1，x=-1 均是第一类间断点【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 恒等变形：分子、分母同乘 然后再同除x2，得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 这是求 型极限，用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 属.0 型可化为 型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 属- 型先作变量替换并转化成 型未定式，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 () 属 00 型.一般方法因此=e0=1其中 ()属 0 型因此 e=e-1( )属 0 型利用恒等变形及基本极限 可得=12 0=1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 属 型先用等价无穷小关系 arctan4xx(x0)化简分母后再用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
