1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是 ( )（A）矩阵 AE 是不可逆矩阵。（B）矩阵 A+E 和对角矩阵相似。（C）矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交。（D）方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。2 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A） 一 1A n。（B） 一 1A。（C） A。（D）A n。3 已知 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若
2、 A*的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（A）AE 。（B） 2AE。（C） A+2E。（D）A 一 4E。4 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（A）A T。（B） A2。（C） A 一 1。（D）A 一 E。5 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有特征值( )（A）（B）（C）（D）6 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（A）必是 A 的二重特征值。（B）至少是 A 的二重特征值。（C）至多是 A 的二重特征值。（D）一重、二重、三重特征值都有可能。7 三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（A）秩
3、r(A)=0。（B）秩 r(A)=1。（C）秩 r(A)=2。（D）条件不足，不能确定。8 已知 1=(一 1，1，a，4) T， 2=(一 2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T 是四阶方阵A 的三个不同特征值对应的特征向量，则( )（A）a5 。（B） a一 4。（C） a一 3。（D）a一 3 且 a一 4。9 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10。（B） 20。（C） 1=0。（D） 2=0。10 已知 =(1，一 2，3) T 是矩阵 的特征向量，则( )（A）a=
4、一 2，b=6。（B） a=2，b=一 6。（C） a=2，b=6。（D）a= 一 2，b=一 6。二、填空题11 设 有二重特征根，则 a=_。12 矩阵 的非零特征值为_。13 设矩阵 的一个特征值为 1=一 3，且 A 的三个特征值之积为一12，则 a=_；b=_；A 的其他特征值为_。14 设矩阵 有一特征值 0，则 a=_，A 的其他特征值为_。15 已知 =12 是 的特征值，则 a=_。16 已知矩阵 的特征值的和为 3，特征值的乘积是一 24，则b=_。17 已知 A*是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_。18 已知 =(1，3，2) T，=(1，一 1，一 2)T，A=
5、E 一 T，则 A 的最大的特征值为_.19 设 =(1，一 1，a) T，=(1，a，2) T，A=E+ T，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是_。20 设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 ExxT 的秩为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 n 阶矩阵 求 A 的特征值和特征向量。21 设向量 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0。记 n 阶矩阵 A=T。22 求 A2；23 求矩阵 A 的特征值和特征向量。24 设矩阵 B=P 一 1A*P，求 B+2E
6、 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为三阶单位矩阵。25 设矩阵 ，行列式A=一 1，又 A*的属于特征值 0 的一个特征向量为=(一 1，一 1，1) T，求 a，b，c 及 0 的值。26 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1,2,3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3。27 设 A 为正交矩阵，且A=一 1，证明：=一 1 是 A 的特征值。27 已知 的一个特征向量。28 求参数 a， b 及特征向量 P，所对应的特征值；29 问 A 能不能相似对角化?并说明理由。考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试
7、卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，所以矩阵 AE 的特征值是一1，0，一 2。由于 =0 是矩阵 AE 的特征值，所以 A 一 E 不可逆。故选 A。因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。(或由 AAA+EA+E 而知 A+E 可相似对角化)。由矩阵 A 有一个特征值等于 0 可知 r(A)=2，所以齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由 nr(A)=32=1 个解向量构成。选项 C 的错误在于，若 A
8、是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A*，结合 A*A=AE 得 A*Ax=A*(Ax)，即 Ax=AA *x，从而 可见 A*有特征值 所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1，一 1，2，4，所以 A*=一 8，又A=A * 4-1，因此A 3=一 8，于是A=一 2。那么，矩阵 A 的特征值是：一 2，2，一 1，
9、 。因此，AE 的特征值是一 3，1，一 2， 。因为特征值非零，故矩阵 AE 可逆。同理可知，矩阵 A+2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆。所以应选 C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 由于AEA T=(EA)=E 一 A，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 AT 有相同的特征值。由 A=，0 可得到 A2=2, 一1= 一 1，(AE)=( 一 1)，说明 A2、A 一 1、AE 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)。所以应选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题
10、解析】 因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为(A 2)-1 的特征值。因此 的特征值为 。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。R(A)=1，即 r(OEA)=1，(OE 一 A)x=0 必有两个线性无关的特征向量，故 =0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如 但 =0是三重特征值。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 D【试题解析】 考查下列矩阵 它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2。所以仅由特征值全是零
11、是不能确定矩阵的秩的。所以应选D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 A【试题解析】 矩阵 A 的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以 r(1,2,3)=3。由于所以a5。故选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 B【试题解析】 令 k1+k2A(1+2)=0，则(k 1+k21)1+k222=0。 因为 1,2 线性无关，所以 k1+k21=0，且 k22=0。 当 20 时，显然有 k10，k 2=0，此时 1，A( 1+2)线性无关；反过来，若 1， A(1+2) 线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1+2)=11 线性相关)，故应选
12、 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值人的特征向量，按定义有即有 所以 =一 4，a=一 2，b=6，故应选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题11 【正确答案】 2 或【试题解析】 如果 =2 是二重根，则 A=2 是 22 一 2(a 一 2)=0 的单根，故 a=2。如果 2 一 2 一 2(a2)=0是完全平方，则有=4+8(a 一 2)=0，满足 =1 是一个二重根，此时 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 4【试题解析】 矩阵 A 的特征多项式为所以非零特征值为 4。【知识模块】
13、 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 1；2 或一 2； 2=3=2【试题解析】 由题意可得A=一 4a2b2=一 12，所以 2a+b2=6。又 A 的特征多项式为 而 A有特征值一 3，所以 =一 3 必是方程 2 一(a 一 2) 一 6=0 的根，故 a=1，b=2 或一2。由E A=( 一 2)(2+ 一 6)=( 一 2)2(+3)可得矩阵 A 的另外两个特征值为 2=3=2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 1；2，2【试题解析】 因 A 有一个零特征值，所以A=2(a 1)=0，即 a=1。A 的特征多项式为 解得 A 的其他特征值为 =2(二重 )
14、。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =12 是 A 的特征值，因此12EA=0，即所以 a=4。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 一 3【试题解析】 矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+(一 1)=3，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以 b=一 3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 1，7，7【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式可得矩阵 A 的特征值为7，1，1。所以A=711=7。如果 A=，则有 因此 A*的特征值是 1，7，7。【知识模块
15、】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 7【试题解析】 因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中 tr(T)=T=一 6。所以 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，则 A 的最大的特征值为 7。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 k(1，一 1，1) T，k0【试题解析】 令 B=T，则矩阵 B 的秩是 1，且 T=a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。因为 A=3 是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 =(T)=(
16、T)=2，即 =(1，一 1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 xxT 的特征值为 0，0，1，故 E 一 xxT 的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E 一 xxT)=2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为则A 的特征值为 1+(n 一 1)b 和 1 一 b(n 一 1 重)。当 b=0
17、时，A 的特征值是 1(n 重)，任意 n 维非零列向量均为 A 的特征向量。当 b0 时，对方程组(1+n 一 1)bEAx=0 的系数矩阵作初等行变换得解得上述方程组的基础解系为 1=(1，1，1，1) T,所以 A 的属于 =1+(n 一 1)n 的全部特征向量为 k1=k(1，1，1，1) T，其中 k0。对方程组(1 一 b)EAx=0 的系数矩阵作初等行变换得 解得上述方程组的基础解系为 2=(1，一 1，0，0) T， 3=(1，0，一 1，0)T， ， n=(1，0，0，一 1)T，所以 A 的属于 =16 的全部特征向量为k22+k33+knn，其中 2，k 3，k n 是不
18、全为零的常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 T=0 可知 与 正交，则 A2=(T)(T)=(T)T=O。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 设 为 A 的特征值，则 2 为 A2 的特征值。因 A2=O，所以 A2 的特征值全为零，故 =0，即 A 的特征值全为零，于是方程组 Ax=0 的非零解就是A 的特征向量。不妨设 a10，b 10，对 A 作初等行变换得则 Ax=0 的基础解系为( 一 b2，b 1，0，0) T，(一b3，0，b 1，0) T，(一 bm，0，0，b 1)T，故矩阵 A 的特征向量
19、为 k1(一b2，b 1，0，0) T+k2(一 b3，0，b 1，0) T+kn-1(一 bn，0，0，b 1)T 其中k1，k 2，k n-1 不全为零。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于A=70 ，所以 0。又因 A*A=AE，故有 于是有因此， 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P 一 1。故 A 的特征值为 1=2=1， 3=7。当 1=2=1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为当 3=7 时，对应的一个特征向量可取为 由因此，B+2E的三个特征值分别为 9，9，3。对应于特征值 9 的全部特征
20、向量为 k1P-11+k2P-12=其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3P-13= 其中 k3 是不为零的任意常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 AA *=AE= 一 E。对于 A*=0，用 A 左乘等式两端，得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 A(1+2+3)=(1+2+3)。又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是有( 1)1+(2)2+(3)3=0。因为 1,2,3 线性无关，故 1=0， 一 2=0，3=0，即 1=
21、2=3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 要证 =一 1 是 A 的特征值，需证A+E =0。因为A+E=A+A TA=(E+A T)A=E+A TA=一A+E，所以A+E=0，故 =一 1 是 A 的特征值。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A一 E)p=0，即 从而有方程组解得 a=一 3，b=0，且 p 所对应的特征值 =一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 A 的特征多项式得 A 的特征值为 =一 1(三重)。若 A 能相似对角化，则特征值 =一 1 有三个线性无关的特征向量，而故 r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0 的基础解系只有一个解向量，A 不能相似对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
