1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵(1/3 A 2 )-1 有一个特征值等于（A）4/3（B） 3/4（C） 1/2（D）1/42 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则矩阵(P -1 AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT （C） P（D）(P -1 )T二、填空题3 矩阵 的非零正值是_.4 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值
2、是_.5 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2， 则 A的非零特征值为_.6 设向量 =(1， 2， n)T ，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T =0，记 n 阶矩阵 A=T 求：A 2 7 设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 ，则T=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设矩阵 是矩阵 A* 的一个特征向量，A 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵试求 a，b 和 的值9 若矩阵 相似于对角矩阵 A，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P，使 P-1
3、AP=A10 设矩阵 A= 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化10 11 试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；12 问 A 能否相似于对角阵?说明理由12 设矩阵 A 与 B 相似，且13 求 a，b 的值；14 求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B15 设矩阵 ，问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵16 设矩阵 ，已知 A 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的二重特征值，试求可逆矩阵 P，使得 P-1 AP 为对角形矩阵16 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3；是线性无关的三维
4、列向量，且满足 A1=1， 2， 3；， A 2=22+3， A 3=22+3317 求矩阵 B，使得 A(1， 2， 3；)=( 1， 2， 3)B；18 求矩阵 A 的特征值；19 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题3 【正确答案】 2 (-4)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 n-n-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征
5、向量5 【正确答案】 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A2=(T)(T)=a(T)T=OT=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 设 是属于特征值 0 的特征向量，即【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】
6、【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 因为 A-B，A 与 B 有相同的特征值，故矩阵 A 的特征值是1=2=2， 3=6【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 于是得到矩阵 A 的特征值： 1=2=2， 3=6.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，矩阵 C=(1， 2， 3)可逆，所以 C-1AC=B，即 A 与 B 相似由【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
