1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP-1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵2 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵3 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T，则 A 的线性无关特征向量个
2、数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A-1B -1（C） A*B *（D）AB二、填空题5 设 AB，其中 ，则_， y_ 6 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 13， 2 35，且 13 对应的线性无关的特征向量为 1 ，则 2 35 对应的线性无关的特征向量为_7 设 ， 为三维非零列向量，(，) 3，A T，则 A 的特征值为_8 设 )是矩阵 A 的特征向量，则 a_，b_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)1，A 23A
3、O，设(1，1，1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2) 求矩阵 A10 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 18， 2 32，矩阵 A 的属于特征值18 的特征向量为 1 ，属于特征值 2 3 2 的特征向量为 2 ，求属于 2 32 的另一个特征向量11 设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且 ab证明：A 可对角化12 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A T证明：A 不可以相似对角化13 设 A (1)证明：A 可对角化； (2)求 Am14 设 A 有三个线性无关的特征向量，求 ，y 满足的条件15 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自
4、然数 k，使得 AkO证明：A 不可以对角化16 设 A 为三阶矩阵，A ii，(i1，2，3)， 1 ， 2 ， 3 ，求 A17 设 为 A 的逆矩阵 A-1 的特征向量求 ，y，并求 A-1对应的特征值 18 设 A ，A1， 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 19 设 AB， (1)求 a，b； (2)求可逆矩阵 P，使得 P-1APB 20 设 且 A B (1) 求 a； (2)求可逆矩阵 P，使得 P-1APB21 设 A 有三个线性无关的特征向量 (1)求 a； (2)求 A 的特征向量； (3)求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角
5、阵22 (1)设 A， B 为 n 阶矩阵，E-AEB且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2) 设 ，矩阵 A，B 是否相似?若 A，B 相似，求可逆矩阵 P，使得 P-1APB考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然 B、C 、D 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向
6、量，A 有竹个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A TO，则 r(A)1， 又因为 r(A)r( T)r()1，所以 r(A)1 令 AXX，由 A2X T.TXO 2X 得0， 因为 r(0EA)r(A)1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B
7、 正定，所以 A-1，B -1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X(CX) TA(CX)0(因为 C可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A-1B -1 与 A*B *都是正定矩阵，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 3；1【试题解析】 因为 AB，所以 解得3，y1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 35 对应的特征向量为 ，由 1T 0 得 2 35 对应的线性无关的特征向量为2 ， 3 【知识模块】 矩
8、阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A23A，令 AXX，因为 A2X 2X，所以有( 23A)X0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 2 3tr(A) (，) ，所以1， 2 30【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 2；3【试题解析】 由 A 得 解得 5，a 2，b3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 (1)A 23AO A3E A 0 0，3，因为 r(A)1，所以 13， 2 30 (2)设特征值 0 对应的特征向量为 (1， 2， 3)T，则1
9、2 30，则 0 对应的特征向量为 2(1，1，0) T， 3(1，0，1) T，令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1T2 1 k0 k1 18 对应的特征向量为 1 令 2 32 对应的另一个特征向量为 3 ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 1 2 30【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 由(aE A)(bEA)O，得aEA .bEA0，则aEA0 或者bEA 0又由(aE A)(bEA)O，得，r(aEA)r(bE A)n同时 r(aE A)r(bE A)r(aE A)(bEA)r(ab)
10、E n所以 r(aE A)r(bE A)n(1)若aE A0，则 r(aEA)n，所以 r(bEA)0，故 AbE (2)若bEA0，则 r(bEA)n，所以 r(aEA) 0，故 AaE(3)若aE A0 且bEA0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aEA)X 0 的基础解系含有 nr(aE A) 个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(aEA)个；方程组(bE A)X 0 的基础解系含有 nr(bE A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(bE A)个因为 nr(aEA) nr(bEA)n，所以矩阵 A 有 n
11、个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AXX，显然 A2X 2X，因为 ， 正交，所以 A2 T.TO ，于是2X0，而 x0，故矩阵 A 的特征值为 1 2 n0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(OEA) r(A)1，所以 nr(OEA)n 1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 (1)由EA(1) 2(2)0 得 1 21， 32 当1 时，由(EA)X0 得 1 对应的线性无关的特征向量为当 2 时，由(2E A)
12、X 0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 3 ， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化 (2)令 P ，则 P-1 ，且【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 由E A (1)(1) 20 得11， 2 31， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)1， 由 EA 得y0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 令 AXAX(X0)，则有 AkX kX，因为 AkO ，所以 kX0，注意到 X0，故 k0，从而 0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0EA)r(A)1，所以方程组(OEA)X0 的基础解
13、系至多含 n1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 令 则 P-1AP，于是【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 令 A 0，即 ，解得04，10 ，y9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由得 因为A1，所以 a2，于是 a2，b3，c 2， 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 22，因为 A相似于对角阵，所以 r(2EA) 1，而 2
14、EA，于是 a5， 再由 tr(A)tr(B) 得 b6【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 tr(A)tr(B) ，即 2a01(1)2，于是 a0 (2)由EA ( 1)( 1)(2)0 得A，B 的特征值为 11， 21， 32 当 1 时，由(E A)X0 即(EA)X0 得 (0，1，1) T； 当 1 时，由(E A)X0 得 12(0，1，1) T； 当 2 时，由(2EA)X0 得 3(1 ，0，0) T，取 P1 ，则 P 1-1AP1 当 时，由(E B)X0 即(E B)X 0 得1(0，1，2) T； 当 1 时，由(EB)X0
15、 得 2(1 ，0，0) T； 当 2 时，(2EB)X0 得 3(0，0，1) T，取 P2 ，则 P 2-1BP2 由 P1-1AP1P 2-1BP2 得(P 1P2-1)-1A(P1P2-1)B， 取 PP 1P2-1，则 P-1APB【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 (1)由EA (2)(1) 20 得矩阵 A 的特征值为 12 ， 2 31， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以A 可以相似对角化，从而 r(EA) 1， 由 EA得 a1 (2)将 2 代入(E A)X0，即(2E A)X 0， 由 2EA得 2 对应的线性无关的特征向量为 1 ： 将 1
16、代入 (2EA)X0，即(E A)X0， 由 EA得 1 对应的线性无关的特征向量为(3)令 P ，则 P-1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 (1)因为EAEB，所以 A，B 有相同的特征值，设为 1， 2， n，因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得由 P1-1AP1P 2-1BP2 得(P 1P2-1)-1A(P1P2-1)B， 取 P1P2-1 P，则 P-1APB，即 AB (2)由EA ( 1) 2(2)0 得 A 的特征值为12， 2 31； 由 EB ( 1) 2(2)0 得 B 的特征值为 12， 2 31 由 EA 得r(E A)1，即 A 可相似对角化； 再由 EB 得 r(EB)1，即B 可相似对角化，故 AB 由 2EA 得 A 的属于 12 的线性无关特征向量为 得 A 的属于 2 31 的线性无关的特征向量为 由 2EB 得 B 的属于 12 的线性无关特征向量为 ； 由 EB 得 B 的属于 2 31 的线性无关的特征向量为 再令 PP 1P2-1 ， 则 P-1APB【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
