1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都有可能2 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于( )（A）（B）（C）（D）3 3 阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（A）秩 r(A)=0（B）秩 r(A)=1（C）秩 r(A)=2（D）条件不足，不能确定4 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩
2、阵，则( )（A）EA=E B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似5 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（A）充分必要条件（B）必要而非充分条件（C）充分而非必要条件（D）既非充分也非必要条件6 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P 一 1（B） PT（C） P（D）(P 一 1)T7 n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无
3、关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件8 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征向量是 A 和 B 相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分又非必要条件9 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，则下列命题中不正确的是 ( )（A）矩阵 AE 是不可逆矩阵（B）矩阵 A+E 和对角矩阵相似（C）矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交（D）方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成10 已知 A 是一个 3 阶实对称正定的矩阵，那么 A 的特征
4、值可能是( )（A）3，i，一 1（B） 2，一 1，3（C） 2，i，4（D）1，3，411 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）12 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=0二、填空题13 设 有二重特征根，则 a=_14 已知 =12 是 的特征值，则 a=_15 设 A 是 3 阶矩阵，如果矩阵 A 的每行元素的和都是 2，则矩阵 A 必定有特征向且_.16 设 =(1，一 l，a) T，=(1，a，2) T，A=E+
5、T，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是_.17 已知矩阵 和对角矩阵相似，则 a=_18 已知矩阵 有两个线性无关的特征向量，则 a=_19 已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设矩阵 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A 是否可相似对角化21 已知 求可逆矩阵 P，化 A 为标准形 A，并写出对角矩阵 A22 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 求 a，b 的值及矩阵 P，使P 一 1AP=B23 设矩阵 行列式A=一 1，又 A*有一个特征值 0，属于 0
6、的一个特征向量为 =(一 1，一 1，1) T，求 a，b，c 及 0 的值24 已知 A*是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量25 已知 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵，使 P 一 1AP=A26 设矩阵 是矩阵 A*的特征向量，其中 A*是 A 的伴随矩阵，求 a，b 的值27 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A28 证明：已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1,2,3 是相应的特征向量且线性无关，如
7、1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=329 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1=6， 2=3=3，其中与特征值 1=6 对应的特征向量为 p1=(1，1，1) T，求 A29 已知非齐次线性方程组 554 有 3 个线性无关的解，30 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；31 求 a，b 的值及方程组的通解32 三阶实对称矩阵的三个特征值为 1=6， 2=3=3，对应于 2=3=3 的特征向量为求对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A33 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2， 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量
8、，记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (1)验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； (2)求矩阵 B33 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2,且34 求 A 的所有特征值与特征向量；35 求矩阵 A36 设 A 为正交阵，且A=一 1，证明 =一 1 是 A 的特征值37 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，一 3，求 A*+3A+2E37 已知 的一个特征向量38 求参数 a， b 及特征向量 p 所对应的特征值；39 问 A 能否相似对角化，并说明理由考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列
9、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数特征值的重数r(A 33)=1，即 r(0E-A)=1，(0EA)x=0 必有两个线性无关特征向量故 =0 的重数2 至少是二重特征值，也可能是三重例如 ，但 =0 是三重特征值所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为(A 2)一 1 的特征值。因此 的特征值为 所以应选B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查下列矩阵 由于它们的特征值
10、全是零，而秩分别为 0，1，2所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确 综上可知选项 D E 确事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B 于是 P 一 1(tE 一 A)P=tEP 一 1AP=tEB可见对任意常数 t，矩阵 tE 一 A 与
11、tE 一 B 相似所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 一 B，即存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B，故E 一B=E 一 P 一 1AP=P 一 1(E 一 A)P=P 一 1E 一 AP = E一 A，即 A 与 B 有相同的特征值但当 A，B 有相同特征值时， A 与 B 不一定相似，虽然 A，B 有相同的特征值 1=2=0，但由于 r(A)r(B)，A ，B 不可能相似所以，相似的必要条件是 A，B 有相同的特征值所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵 (P 一 1AP)一 1
12、 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 AT=A，有(P 一 1AP)T=，即 PTA(P 一 1)=把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即左端 =PTA(P 一 1)T(PT)=PT=PT=PT=右端所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 A【试题解析】 若 ，则有可逆矩阵 P 使 P 一1AP=AP=A，或 AP=PA令 P=(1， 2， n)，即从而有Ai=ii，i=1 ，2，n由 P 可逆，即有 i0，且 1， 2， n 线性无关根据定义可知 1， 2， n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量反之，若 A 有
13、n 个线性无关的特征向量 1,2 n，且满足 Ai=ii，i=1，2，n 那么，用分块矩阵有 由于矩阵P=(1,2 n)可逆，所以 P 一 1AP=A，即 A 与对角矩阵 A 相似所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 D【试题解析】 根据相似矩阵的定义，由 AB 可知，存在可逆矩阵 P 使 P 一1AP=B：若 A=，0，有 B(P 一 1)=(P 一 1AP)(P 一 1)=P 一 1A=(P 一 1)，即 是 A 的特征向量，P 一 1 是 B 的特征向量，即矩阵 A 与 B 的特征向量不同相反地，若矩阵 A 与 B 有相同的特征向量，且它们属于不同的特征值，即
14、A=，B=， ，因为矩阵 A 与 B 的特征值不同，所以矩阵 A 和 B 不可能相似所以矩阵 A 与 B 有相同的特征向量对于 AB 来说是既非充分又非必要，故选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，所以矩阵 AE 的特征值是一1，0，一 2由于 =0 是矩阵 AE 的特征值，所以 A 一 E 不可逆故命题 A 正确因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以A+E 可以相似对角化命题 B 正确(或由 A 一 AA+EA+E 而知 A+E 可相似对角化)因为矩阵 A 有三个不同的特
15、征值，知 因此，r(A)=r(A)=2，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 nr(A)=32=1 个解向量构成，即命题 D 正确命题 C 的错误在于，若 A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 D【试题解析】 因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项 A，C 都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项 B 也不正确；应用排除法，答案为 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化选项
16、 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化选项 C 是秩为 1 的矩阵，因为 EA= 3 一 42，可知矩阵的特征值是 4，0，0对于二重根 =0，由秩 r(0EA)=r(A)=1 可知齐次方程组(OEA)x=0 的基础解系有 3 一 1=2 个线性无关的解向量，即 =0 有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，一 1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩可知齐次方程组(EA)x=0 只有 32=1 个线性无关的解，亦即 =1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能
17、相似对角化，所以应当选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11，+k 2A(1+2)=0，则 k11+k211+k222=0，即(k 1+k21)1+k222=0因为 1， 2 线性无关，于是有 当 20 时，显然有k1=0，k 2=0，此时 1，A( 1+2)线性无关；反过来，若 1，A( 1+2)线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1+2)=11，线性相关 )，故应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 如果 =2 是二重根，则有 =2 的时候， 2 一 2 一 2(a 一 2)的值为 0
18、，可得 a 的值为 2如果 2 一 2 一2(a2)=0 是完全平方，则有( 一 1)2=0，满足 =1 是一个二重根，此时一 2(a2)=1， 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =12 是 A 的特征值，因此12EA=0，即所以 a=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 (1，1，1) T【试题解析】 已知矩阵 A 的每行的元素的和都是 2，因此有，所以可见矩阵 A必定有特征向量(1，1，1) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 k(1，一 1，1) T，k0【试题解析】 令 B=T，因为矩阵 B 的秩是
19、1，且 T=a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1因为 =3 是矩阵 A 的特征值，因此 a+2=3，可得 a=1那么就有 B=(T)=(T)=2=(1，一1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，因此也就是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为 所以矩阵 A的特征值分别为 2，3，3，可见矩阵 A 的特征值有重根，已知矩阵 A 和对角矩阵相似，因此对应于特征根 3 有两个线性无关的特征向量，因此可得(3EA)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵
20、 3E 一 A 的秩为 1因此可见 a=一 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 一 1【试题解析】 A 的特征多项式为 所以矩阵 A 的特征值是一 1，且为 3 重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，即 因此 a=一 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 因为如果矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则对应的 n 个特征向量是线性无关的已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知
21、 1+2+3=3，进一步可知1=2=3=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为如果 =2 是单根，则28+1 8+3a 是完全平方，那么有 18+3a=16，即 则矩阵 A 的特征值是2，4，4，而 ，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化如果 =2 是二重特征值，则将 =0 代入 2 一8+18+3a=0，则有 18+3a=12，即 a=一 2?于是 2 一 8+18+3a=( 一 2)( 一 6)，则矩阵 A 的特征值是 2,2，6，而 r(2EA)= 故 =2 有两个线性
22、无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 先求 A 的特征值、特征向量矩阵 A 的特征多项式于是 A 的特征值是一 1(二重)，0对 =一 1，解齐次方程组(一 EA)x=0，由系数矩阵得特征向量 1=(一 2，1，0) T， 2=(1，0，1) T对=0，解方程组 Ax=0，由系数矩阵 ，得特征向量3=(2， 0，1) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 AB，得 解得 a=7，b=一 2由矩阵 A 的特征多项式 得 A 的特征值是 1=5， 2=一 1它们亦是矩阵 B 的特征值分别解齐次线性方程组(5E A)x
23、=0，(一 EA)x=0，可得到矩阵 A 的属于 1=5， 2=一 1 的特征向量依次为 1=(1，1) T， 2=(一 2，1) T解齐次线性方程组(5E B)x=0，(一 EB)x=0，可得到矩阵 B 的特征向量分别是1=(一 7，1) T， 2=(一 1，1) T那么，令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 据已知，有 AA*=AE= 一 E对于 A*=0，用 A 左乘等式两端，得 由此可得(1)一(3)得 0=1将 0=1 代入(2)和(1)，得 b=一 3，a=c由A=一 1 和 a=c，有 ，即得 a=c=2故 a=2，b= 一 3，c=2， 0=1【知识模块】
24、矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为 ，而 r(B)=1，且有E B= 3 一 62，所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0故矩阵 A 的特征值是 5，一 1，一 1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，一 5，一 5?矩阵 B 属于 =6 的特征向量是 1=(1，1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(一 1，1，0) T 和 =(一1，0，1) T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =一 5 的特征向量是k22+k33(k2，k 3，不全为 0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 由矩阵 A 特征多项式知矩阵 A 的特征值为 1
25、=2=1， 3=一 2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(E 一 A)=1而所以 x=6当 =1 时，由(E 一 A)x=0，得基础解系 1=(一 2，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 =一 2 时，由(一 2EA)x=0，得基础解系 3=(一 5，1，3) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 设 A*=，由 AA*=AE，有A=A，即由(3)一(1)，得 (a2)=0由矩阵 A 可逆，知 A*可逆，那么特征值 0，所以 a=2由(1)b 一 (2)，得 (b2+b2)=0，因此 b=1 或 b=一 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 由
26、r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1,2,3 必线性相关，显然 1,2 线性无关设矩阵 A 属于 =0 的特征向量=(x1， x2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解出此方程组的基础解系 =(一 1，1，1) T根据 A(1,2,3)=(61， 62，0)，因此【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A(1+2+3)=(1+2+3)又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+
27、22+33，于是有(A 1)1+(A2)2+(A3)3=0因为 1， 2， 3 线性无关，故 一 1=0， 一2=0， 3=0即 1=2=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 因 A 是对称阵，必存在正交阵 Q，使得即 A=QQT设 Q=(1， 2， 3)，则特征值 1=6 对应的单位特征向量为 从而 A 一 3E=Q(A 一 3E)QT【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 设 1,2,3 是方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，其中则有 A(1 一 2)=0，A( 1 一 3)=0因此 1 一 2， 1一 3 是对应
28、齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性无关，(否则，易推出 1， 2， 1一 3 线性相关，矛盾) 所以 nr(A)2，即 4 一 r(A)2，那么 r(A)2又矩阵 A中有一个 2 阶子式 ，所以 r(A)2因此 r(A)=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 因为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 令 1=6 的特征向量为 1=(x1，x 2，x 3)T，则 12， 13那么【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量33 【正确答案】 (1)由 A1=1 得 A21=A1=1，依次递推，则有A31=3，A 51=1，故 B 1=(A5 一 4A3+E)1=
29、A51 一 4A31+1=-21，即 1 是矩阵B 的属于特征值一 2 的特征向量由关系式 B=A5-4A3+E 及 A 的 3 个特征值1=1， 2=2， 3=-2 得 B 的 3 个特征值为 1=-2， 2=1， 3=1设 2， 3 为 B 的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2、 3 正交，即 1T2=0， 1T3=0因此 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量34 【正确答案】 r(A)=23，因此A 有一个特征值为 0，另外两个特
30、征值分别是 1=一 1， 2=1由上式知， 1=一1， 2=1 对应的特征向量为 设 3=0 对应的特征向量为由此得 是特征值 0 对应的特征向量因此 k 11，k 22，k 3 依次对应于特征值一 1，1，0 的特征向量，其中 k1，k 2，k 3 为任意非零常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量35 【正确答案】 由于 A=PAP 一 1，【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量36 【正确答案】 要证 =一 1 是 A 的特征值，需证A+E =0因为A+E=A+A TA=(E+A T)A=E+A T.A=一A+E，因此A+E=0，所以 =一 1 是 A 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和
31、特征向量37 【正确答案】 因为A=12(一 3)=一 60，所以 A 可逆，故 A*=AA 一1=一 6A 一 1，A *+3A+2E=一 6A 一 1+3A+2E，设 为 A 的特征值，则一 6 一 1+3+2为一 6A 一 1+3A+2E 的特征函数令 ()=一 6 一 1+3+2，则 (1)=一 1，(2)=5，(一 3)=一 5 是一 6A 一 1+3A+2E 的特征值，故A *+3A+2E=一 6A 一1+3A+2E=(1).(2).(一 3)=(一 1)5(一 5)=25【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量38 【正确答案】 设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A E)p=0，即 解得 a=一3，b=0 ，且 p 所对应的特征值 =一 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量39 【正确答案】 A 的特征多项式为得 A 的特征值为 =一 1(三重)故若 A 能相似对角化，则特征值 =一 1 有 3 个线性无关的特征向量，而即 r(A+E)=2，所以齐次线性方程组 (A+E)x=0 的基础解系只有一个解向量，因此 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
