[考研类试卷]考研数学二（矩阵）模拟试卷11及答案与解析.doc

1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 ( )，矩阵 AE T，BE 2 T，则 AB（A）0（B） E（C） E（D）E T2 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *AAA *（B） AmApA pAm（C） ATAAA T（D）(AE)(AE)(AE)(AE) 3 设 A，B，AB，A -1B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1B -1)-1（A）AB（B） A-1B -1（C） A(AB) -1B（D）(AB) -14 设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（A）A

2、B0 A0 或 B0（B） AB0 A0 且 B0（C） AB0 A 0 或B0（D）AB0 A0 且 B0 5 （A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P36 两个 4 阶矩阵满足 A2B 2，则（A）AB（B） AB （C） AB 或 AB （D）AB或AB二、填空题7 若 A ，则 A 2_，A 3_8 若 A ，则 A*_，(A *)*_9 设 A ，则 A-1_10 设矩阵 A ，BA 25A6E，则 _11 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A22AE0，则(A2E) -1_12 若 A ，则(A *)-1_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3、13 设 A-1 ，求(A *)-114 设 A ，求 An15 设 A，B 均为 n 阶矩阵，EAB 可逆，化简(EBA)EB)(EAB) -1A16 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABAC -1，证明 BACCAB17 若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA18 设 A 是 n 阶矩阵，A m0，证明 EA 可逆19 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 () 计算并化简 PQ； ()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b20 设

4、 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(E A) -1 是正交矩阵21 (1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 Ak 与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且 Ak 的对角线元素为 a11k，a 22k，a nnkf(A)的对角线元素为 f(a11)，f(a 22)， f(ann)(a 11，a 22，a nn 是 A 的对角线元素)22 n 维向量 (a，0， ，0，a) T，a0，AE T，A -1Ea -1T，求 a23 AE T，其中 ， 都是 n 维非零列向量

5、，已知 A23E2A ，求 T24 设 A T，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k，A k( T)k-1A(tr(A) k-1A(tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)25 设 A 求 An26 求27 设 A ， (1)证明当 n1 时 AnA n-2A 2E (2)求 An28 求29 阶矩阵 A，B 满足 ABA*2BA *E，其中 A ，求B30 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1 1 2 3，A 22 2 3，A 32 23 3 求作矩阵 B，使得A(1， 2， 3)( 1， 2， 3)B31 A 是 3

6、阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P(，A，A 2)可逆，并且A33A2A 2 (1)求 B，使得 APBP -1 (2)求AE32 设 3 阶矩阵 A( 1， 2， 3)，A1，B( 1 2 3， 12 23 3， 14 29 3)，求B33 已知34 3 维向量 1， 2， 3， 1， 2， 3 满足 1 32 1 20，3 1 2 1 30， 2 3 2 30， 已知 1， 2， 3，求 1， 2， 3考研数学二（矩阵）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB(E T)(E2 T)E 2 T T2 TT

7、 E T2 T(T) 注意 T ， 故 ABE应选 B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*A *AAE，A mApA pAmA m+p， (AE)(AE)(A E)(A E)A 2E， 所以选项 A、B、D 均正确 而故 C不正确【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1B -1)-1(EA -1B -1)-1(B -1BA-1B -1)-1 B -1(BA-1AA -1)-1B -1(BA)A -1-1 (A -1)-1(BA) -1(B-1)-1A(AB) -1B 故应选 C【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵5 【正确答

8、案】 B【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 A 2 A3A 2A【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 ；0【试题解析】 用定义A 113，A 126，A 133，A 216，A 22 12，A 236，A 313，A 326，A 333，故 A * 因为 r(A*)1，A *的二阶子式全为0，故(A *)* 0【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 利用易见【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 (4E A)【试题解析】 由(A2E)(A4E)9EA *2AE0 有 (A2E) (4EA)

9、E 所以(A2E) -1 (4EA)【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 A ，则由 r(B)1，知 B22B，B n2 n-1B 而，于是有【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 (E BA)EB(EAB) -1A EBAB(EAB) -1ABAB(EAB) -1A EBAB(EAB)(E AB) -1AEBABA E 【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因ABACE，即 A-1BAC又 CABA

10、E ，得 A-1CAB 从而 BACCAB【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 因为 ATA，B TB，那么(AB) TB TATBA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) TAB ，从而 ABBA反之，若 ABBA ，则(AB)T BAAB，即 AB 是反对称矩阵【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 由 Am0，有 EA mE于是 (E A)(EA A 2A m-1)EA mE 所以 EA 可逆，且(EA) -1E AA 2A m-1【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 () 由 AA*A *AAE 及 A*AA -1 有()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有A 2(b TA-1) 因为矩阵

11、 A 可逆，行列式A0，故QA(b TA-1) 由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b TA-1O，即 TA-1b【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 (EA)(EA) -1(EA)(EA) -1T (EA)(EA) -1(EA) -1T(EA) T (EA)(EA) -1(EA) T-1(EA) (EA)(E A) -1(EA) -1(EA) (EA)(E A)(EA) -1(EA) (EA)(EA)(EA) -1(EA) (EA)(EA)-1(EA) -1(EA)E 所以(EA)(E A) -1 是正交矩阵【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 (1)设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，

12、CAB，要说明 C 的对角线下的元素都为 0，即 i时，c ij0c ijA 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵， A 的第 i 个行向量的前面i1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 nj 个分量都是 0，而i1njn(ij1)n，因此 cij0 iia i1b1ia ii-1bi-1ia iibiia ii+1b i+1ia inbni aiibii(ai1a ii-10，b i+1ib ni0) (2)设 A是上三角矩阵由(1)，直接可得 Ak 是上三角矩阵，并且对角线元素为a11k，a 22k，a nnk 设

13、f(A)a mAma m-1Am-1a 1Aa 0Ea iAi 都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A) 也是上三角矩阵f(A) 的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是 f(a11)，f(a 22)， ，f(a nn)【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 (E T)(Ea -1T)E Ea -1T Ta -1TTE a -1T Ta -1TT0， ( T2a) (a -12a) T 0， a -112a0，(因为 t 不是零矩阵) 1a 2a 2 0a1【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 A 23E2A， A 22A 一 3E0， (A3E)(AE)0， (4E T)( T)0， 4 T T

14、T0，( T 是数!) (4 T)T0，(由于 ，都是非零列向量， T 不是零矩阵) 4 T0， T4，从而 T T4【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 A k( T)k ( T)(T)( T)T( T)k-1A Ta 1b1a 2b2a nbn，而 a1b1，a 2b2，a nbn 正好的 A T 的对角线上各元素，于是 Ttr(A)， A k(tr(A) k-1A【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由题意得，先求 A2 A 22A A 22A 即 AA2A ，A 在乘 A 上的作用相当于 2 乘 A，于是 A nA n-1A2 n-1A【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 此矩阵为 A

15、即A2A2A 则 A2017(A 2)1008A( 2) 1008A2 1008A【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)A n An-2A 2E 即 A nA n-2 A2E A n-2(A2E) A 2E 只要证明 A(A2E) A 2E 此式可以直接检验：(2)把 AnA n-2A 2E 作为递推公式求 An n 是偶数 2k 时：A 2kA 2k-2A 2EA 2k-42(A 2E)k(A 2E)E n 是奇数 2k1 时：A2K+1AA 2KAk(A 2E)E k(A 2E)A【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 记此矩阵为 A则 A EBE 因为 B 和 E 乘积可交换，对 A

16、10(BE) 10 可用二项展开式：(BE) 10 C10iB10-i 注意矩阵 B满足：B 2 ，而当 n2 时 Bn 是零矩阵 于是A10CBCBE45B 10BE【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 用 A 从右侧乘 ABA*2BA *E 的两边，得 AAB2ABA， A(A2E)BA， 两边取行列式 A 3A2EBA， B【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 用矩阵分解 A( 1， 2， 3)(A 1，A 2，A 3)( 1 2 3，2 2 3，2 23 3) ( 1， 2， 3) 得 B【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 (1)A PBP -1 即 APPB 或 A(，A，A 2)

17、(，A，A 2)B A(，A，A 2)(A ，A 2，A) (Aa，A 2，3A2A 2) (，A，A 2)(矩阵分解法) B (2)AE P(B E)P -1则 AE PB EP -1BE 4【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 B( 1 2 3， 12 23 3， 14 29 3) ( 1， 2， 3)B 1， 2， 3 2【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 记 ( 1， 2， 3)T， (b 1，b 2，b 3)T，(c 1，c 2，c 3)T，所求行列式相应的矩阵为： ( ，) 将它对(，) 做矩阵分解，得 ( ， ) ( ，) 两边求行列式，得所求行列式的值： ， 3( 3 3)【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 1 32 1 2，3 1 2 1 3， 2 3 2 3， (1 3，3 1 2， 2 3)(2 1 2， 1 3， 2 3) 用矩阵分解，得4 1， 2， 3 1， 2， 3 1， 2， 34a【知识模块】 矩阵