1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )2 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是 ( )（A）(A+A 1 )2=A2+2AA1 +(A1 )2。（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2。（C） (A+A*)2=A22AA *+(A*)2。（D）(A+E) 2=A2+2AE+E2。3 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) *=E，则(E+BA 1 )1 =( )（A）(A+B)B。（B） EAB 1 。（C） A(A+B)。（D）(A
2、+B)A。4 下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2=E，则 (BA)2=E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。5 设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是 ( )（A）A T。（B） A2。（C） A*。（D）2A。6 设 A= ，P 1=，则 B=( )（A）P 1P3A。（B） P2P3A。（C） AP3P2。（D）AP 1P3。7 设 A 为三阶矩阵，将 A 的
3、第二行加到第一行得到矩阵 B，再将 B 的第一列的一1 倍加到第二列得到矩阵 C。记 P= ，则( )（A）C=P 1 AP。（B） C=PAP1 。（C） C=PTAP。（D）C=PAP T。8 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn，必有行列式AB0。（B）当 mn，必有行列式AB=0。（C）当 nm，必有行列式AB0。（D）当 nm，必有行列式AB=0。9 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，若 r(A*)=1，则 a=( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）1 或 3。二、填空题10 如果 A= (B+E)，且 B2=E，则 A2=_。11 与矩阵
4、 A= 可交换的矩阵为 _。12 设 A= ，B=(E+A) 1 (EA)，则(E+B) 1 =_。13 设 =_。14 已知 ABC=D，其中 ，则B*=_。15 设三阶方阵 A，B 满足关系式 A1 BA=6A+BA，且 A= ，则B=_。16 设(2EC 1 B)AT=C1 ，其中 E 是四阶单位矩阵，A T 是矩阵 A 的转置矩阵，则 A=_。17 已知 n 阶矩阵 A= ，则 r(A2 一 A)=_。18 已知 ，且 AXA*=B，r(X)=2，则a=_。19 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A2 一 2A 一 8E=O，则 r(4EA)+r(2E+A)=_。三、解答题解答应写出文字
5、说明、证明过程或演算步骤。20 已知 ，且 AX+X+B+BA=O，求 X2006。21 已知 A= ，求 A2016。22 设 A= ，其中 ai0，i=1， 2，n，求 A1 。22 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P=其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。23 计算并化简 PQ；24 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b。25 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA1 =BA1 +3E，其中 E 为四阶单位矩阵，求矩阵 B。25 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。2
6、6 证明 B 可逆；27 求 AB1 。28 设 A=(1， 2， 3)为三阶矩阵，且A=1 。已知 B=(2， 1，2 3)，求 B*A。29 设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明 r(A*)=考研数学二（矩阵）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB= AB=0 ，故有A=0 或B=0，反之亦成立，故应选 C。取 ，则 AB=O，但 AO，BO，选项 A 不成立。取 ，选项 B 不成立。取=E，选项 D 不成立。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配
7、律可知 (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 当且仅当矩阵 A，B 可交换(即 AB=BA)时，(A+B)2=A2+2AB+B2 成立。 由于 A 与 A1 ，A *，E 都是可交换的，而 A 与 AT 不一定可交换，所以选 B。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为(E+BA 1 )1 =(AA1 +BA1 )1 =(A+B)A1 1 =(A1 )1 (A+B)1 =A(A+B)，所以应选 C。 注意，由(A+B) 2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B) 1 =(A+B)。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题
8、解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题 当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。若A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2=E，即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是ABA=B1 ，从而 BABA=E，即(BA) 2=E。因此正确。若设 a=，显然 A、B 都不可逆，但 A+B= 可逆，可知 不正确。由于 A、B 为均 n 阶不可逆矩阵，知A= B=0，且结合行列式乘法公式，有AB= AB=0，故 AB 必不可逆。因此正确。所以应选 D。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 为正交矩阵，所以 AAT=ATA=E，且A
9、2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故 2A 不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 AT(AT)T=ATA=E，(A T)TAT=AAT=E，可知 AT 为正交矩阵。 由 A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A 2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知 A2 为正交矩阵。 由A*=AA 1 =A A T，可得 A*(A*)T=AA T(A A)=A 2ATA=A 2E=E， (A *)TA*=(A A) AA T=A 2AAT=A 2E=E， 故 A*为正交矩阵。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 AP
10、3P2，AP 1P3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2 倍加至第三行也可得到 B。而 P2P3A 正是后者，所以应选 B。【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 令 Q= ，则 Q=P1 。P 是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵，则 B=PA；Q 是将单位矩阵第一列的一 1 倍加到第二列所得的初等矩阵，则 C=BQ；所以 C=PAQ=PAP1 。故选 B。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵
11、，且r(AB)rainr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB=0 ，所以应选 B。【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 D【试题解析】 伴随矩阵秩的公式为 r(A*)=所以A=1 或 3 时，均有 r(A*)=1。因此应选 D。【知识模块】 矩阵二、填空题10 【正确答案】 A【试题解析】 已知 A= (B+E)且 B2=E，则 A2=A，即 A2=A。【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 ，其中 x2 和 x4 为任意实数【试题解析】 设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得即 x3=一 2x2，x 1=4x2+x4，所以 B= ，其中 x2
12、 和 x4 为任意实数。【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 由 B+E=(E+A)1 (EA)+E=(E+A)1 (EA)+(E+A)1 (E+A)=(E+A)1 (EA)+(E+A)=2(E+A)1 ，可得(E+B) 1 = (E+A)。已知 A=，因此(E+B) 1 = 。【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 A=1，B=(21)(31)(32)=2 ，所以 A，B 均可逆，则也可逆。由 A*A=AA*=AE 可得A *=A 21 =1，同理可得B *= B 31 =4，且【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 A=1，C=一 1，D=6，即矩阵
13、A，B，D 均可逆。由ABC=D 可得 B=A1 DC1 ，且B =A 1 DC 1 =一 6。于是B*=BB 1 =一 6(A1 DC1 )1 =一 6(CD1 A)=。【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 在等式 A1 BA=6A+BA 两端右乘 A1 ，可得 A1 B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(E 一 A)B=6A，即 B=6(EA)1 A，且【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 在等式(2EC 1 B)AT=C1 两边同时左乘 C 得(2CB)A T=E。对上式两端同时取转置得 A(2CTBT)=E，则 A=(2CTBT)1
14、 =。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A2 一 A=A(AE)，且矩阵 A= 可逆，所以 r(A2 一 A)=r(AE)，而 r(AE)=1，所以 r(A2 一 A)=1。【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 0【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此 r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得B=0，则B= =A=0。【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 n【试题解析】 已知 A2 一 2A 一 8E=O，可得(4EA)(2E+A)=O ，根据矩阵秩的性质可知 r(4E A)+r(2E+A)n， 同时 r(4EA)+r(2E+A)r
15、(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此 r(4EA)+r(2E+A)=n。【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由 AX+X+B+BA=O 可得(A+E)X= 一 B(E+A)，而 A+E 可逆的，所以 X=一(A+E) 1 B(E+A)， 故 X2006=(A+E)1 B2006(E+A)=(A+E)1 (E+A)=E。【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 令 ，则 A2016=。【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 令 由分块矩阵的逆可得 。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE 及 A*
16、=A A 1 有【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b 一 TA1 )。 由此可知，Q 可逆的充分必要条件是B 一 TA1 0，即 TA1 b。【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE，知A *=A n1 ，因此有8=A *= A 3，于是A=2。在等式 ABA1 =BA1 +3E 两边先右乘 A，再左乘 A*，得 2B=A*B+3A*A，即(2EA *)B=6E。于是 B=6(2EA*)1 =。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵
17、的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E(i，j)A，因此有B =E(i，j)A =一A0，所以矩阵 B 可逆。【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 AB 1 =AE(i，j)A 1 =AA1 E1 (i，j)=E 1 (i，j)=E(i ，j)。【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 根据题意可知 B=(1， 2， 3) =AP，其中P= 。则P =一 2 且 P1 = ，所以B= AP= 一2。于是 B*A=BB 1 A=一 2P1 (A 1 A)=一 2P1 = 。【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A0，则有A *=A n1 0，从而 A*可逆，即 r(A*)=n。 当 r(A)=n 一 1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r(A*)1。 又因 r(A)=n 一 1 时，有A=0，且由 AA*=AE 知 AA*=O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A*)n， 把 r(A)=n 一 1 代入上式，得 r(A*)1。 综上所述，有 r(A*)=1。 当 r(A)n一 2 时，A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，也就是 A*的任一元素均为零，即 A*=O，从而r(A*)=0。【知识模块】 矩阵
