1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（A）A+B = A+B。（B） AB=BA。（C） AB =BA。（D）(A+B) 1 =A1 +B1 。2 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是 ( )（A）(A+B)(A B)=A2 一 B2。（B） (A+B)1 =A1 +B1 。（C） A+B=A+B。（D）(AB) *=B*A*。3 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆。（B） E
2、A 不可逆，E+A 可逆。（C） E 一 A 可逆，E+A 可逆。（D）E A 可逆，E+A 不可逆。4 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆； A 一 E 恒可逆。上述命题中，正确的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。5 设 A 为 n 阶可逆矩阵，且 n2，则(A 1 )*=( )（A）AA 1 。（B） AA。（C） A1 A 1 。（D）A 1 A。6 设 。P 1=，则必有( )（A）AP 1P2=B。（B） AP2P1=B。（C） P1P2A=B。（D）P
3、 2P1A=B。7 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中不一定成立的是 ( )（A）若A0，则B0。（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E。（C）如果 A 与 E 合同，则B0。（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B。8 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（A）r(A)=m，r(B)=m。（B） r(A)=m，r(B)=n 。（C） r(A)=n，r(B)=m 。（D）r(A)=n，r(B)=n 。二、填空题9 设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T= ，则T=_。10 设 =(1， 2，3) T，=(1， ，0
4、) T，A= T，则 A3=_。11 设方阵 A 满足 A2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E)1 =_。12 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=，则(B 一 2E)1 =_。13 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，则 A=_。14 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A1 +2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_。15 设三阶方阵 A，B 满足 A1 BA=6A+BA，且 A= ，则B=_。16 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_。17 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 B= ，则
5、 r(AB)=_。18 设 A= ，B 是三阶非零矩阵，且 AB=O，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 A= ，求 An。20 已知 PA=BP，其中 ，求 A2008。21 已知 A= ，B=PAP 1 ，求 B2016+A4。21 已知 A，B 是反对称矩阵，证明：22 A2 是对称矩阵；23 AB 一 BA 是反对称矩阵。23 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明：24 若A=0，则A *=0 ；25 A *= A n1 。26 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，证明：(A *)T=(AT)*。27 已知矩阵 A 的伴随矩
6、阵 A*=diag(1，1，1，8)，且 ABA1 =BA1 +3E，求 B。28 设 A= ，问 k 为何值，可使： (I)r(A)=1；()r(A)=2；()r(A)=3。考研数学二（矩阵）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为AB=AB= B A= BA，所以 C 正确。 取 B=一 A，则 A+B=O，而A+B不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因(A+B)(A 1 +B1 )E，故 D 也不正确。 所以应选 C。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 根
7、据伴随矩阵的定义可知 (AB) *=AB(AB)1 =A BB 1 A1 =B*A*， 故选 D。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 已知(EA)(E+A+A 2)=EA3=E，(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E。故EA，E+A 均可逆。故应选 C。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B，有(A E)B=A。若 A 可逆，则(A E)B=AE B = A0，所以B 0 ，即矩阵 B 可逆，从而命题正确。同命题类似，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题正确。因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有
8、 AB 可逆，即命题正确。对于命题，用分组因式分解，即AB 一 A 一 B+E=E，则有(AE)(B 一 E)=E，所以得 AE 恒可逆，命题正确。所以应选 D。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 根据伴随矩阵的定义可知 (A 1 )*=A 1 (A 1 )1 =A 1 A， 故选 D。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上，
9、再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确。【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 A【试题解析】 两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。 当 A 可逆时，r(A)=n，所以 r(B)=n，即 B 是可逆的，故 B1 B=E，选项 B 正确。 矩阵的合同是一种等价关系，若 A 与 E 合同，则 r(A)=r(E)=n，由选项 B 可知 C 项正确。 矩阵 A，曰等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，选项 D 正确。 事实上，当A0(即 A 可逆) 时，我们只能得到B0(即 B 可逆)，故 A
10、项不一定成立。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E，所以 r(AB)=m。又 r(AB)=mminr(A)，r(B)，即r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m。故选 A。【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则 T=，而 T=(a1，a 2，a 3) =a1b1+a2b2+a3b3，可以看出 T就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以 T=1+6+(一 2)=5。【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 A= T= =2，
11、且矩阵的乘法满足结合律，所以 A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=。【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 (A 一 3E)【试题解析】 由 A2 一 A 一 2E=O，可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E，于是有(A+2E)1 (A+2E)(A 一 3E)=一 4(A+2E)1 ，因此(A+2E) 1 = (A 一 3E)。【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B 一 2E，于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=6E，则有(A 一 3E)(B 一 2E)=6E。从而(B 一 2E)1 =。【知识模块】
12、 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由 AA*=AE 可得 A=A(A *)1 ，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A *=一 8=A 3，因此A= 一 2，又(A *)1 =。所以 A=A (A *)1 =。【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A，并把等式 AA*=AE 代入已知矩阵方程，得AX=E+2AX，移项可得(AE 一 2A)X=E，因此 X=(AE 一 2A)1 。已知A=4，所以 X=(4E 一 2A)1 = (2EA) 1= 。【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 将 A1 BA=6A+BA 变形可得(A 1 一 E)BA=6A，
13、即 B=6(A1 一 E)1 。又因为 A1 = ，所以 B=。【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 A3= ，故 r(A3)=1。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 2【试题解析】 因为B= =100，所以矩阵 B 可逆，因此 r(AB)=r(A)=2。【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=O，则有 r(A)+r(B)3，又已知矩阵 BO，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式 A=0 。而A= =一2(5A 一 4)，所以 a= 。【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】
14、把矩阵 A 作如下拆分：An=(E+B)n=Cn0(E)nB0+Cn1(E)n1 B+Cn2(E)n2 B2【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 P =6，则矩阵 P 可逆。由 PA=BP 可得 A=P1 BP，于是A2008=P1 B2008P。B 2008= =E，所以 A2008=P1 P=E。【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 计算可得 A4=E，则 B2016=PA2016P1 =P(A4)504P1 =E，于是B2016+A4=2E。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 (A 2)T=ATAT=(一 A)(一 A)=A2，所以 A2 是对称矩阵。【知识模块】 矩
15、阵23 【正确答案】 (ABBA) T=BTATATBT=BAAB=一(AB BA)，所以 ABBA是反对称矩阵。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (反证法)假设A *0，则有 A*(A*)1 =E。又因为AA*=AE，且A=0，故 A=AE=AA *(A*)1 =AE(A *)1 =O， 所以A*=O。这与A *0 矛盾，故当 A=0 时，有A *=0。【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由于 AA*=AE ，两端同时取行列式得 AA *=A n。 当 A0 时，A *= A n1 ；当A=0 时，A *=0。 综上，有A *= A n1 成立。【知识模块】 矩阵26
16、 【正确答案】 因为 A 可逆，所以A=A T，且 AA1 =E。 在 AA1 =E 两边同时取转置可得(A 1 )TAT=E，即(A T)1 =(A1 )T，所以 (A*)T=(AA 1 )T= A(A 1 )T=A T(A T)1 =(AT)*。【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 在 A*= AA 1 两端取行列式可得A *= A 4A 1 =A 3，因为 A*=diag(1，1，1，8)，所以A *=8，即A=2。由 ABA1 =BA1 +3E 移项并提取公因式得，(AE)BA 1 =3E，右乘A 得(AE)B=3A ，左乘 A1 得(E 一 A1 )B=3E。由已求结果 A=2，知 A1 =，EA 1 =diag(1，1，1，1) 一，得(EA 1 )1 =diag(2，2，2， )，因此 B=3(EA1 )1 =diag(6，6，6，一 1)。【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 对 A 作初等变换，即 A=。()当 k=1 时，r(A)=1；()当 k=一 2 时，r(A)=2；()当 k1 且 k一 2 时，r(A)=3。【知识模块】 矩阵
