[考研类试卷]考研数学二(矩阵)模拟试卷21及答案与解析.doc

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1、考研数学二(矩阵)模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵,则必有( )(A)A+B = A+B。(B) AB=BA。(C) AB =BA。(D)(A+B) 1 =A1 +B1 。2 设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,则下列等式中必定成立的是 ( )(A)(A+B)(A B)=A2 一 B2。(B) (A+B)1 =A1 +B1 。(C) A+B=A+B。(D)(AB) *=B*A*。3 设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O,则( )(A)E A 不可逆,E+A 不可逆。(B) E

2、A 不可逆,E+A 可逆。(C) E 一 A 可逆,E+A 可逆。(D)E A 可逆,E+A 不可逆。4 设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则若 A 可逆,则 B 可逆; 若 B 可逆,则 A+B 可逆;若 A+B 可逆,则 AB 可逆; A 一 E 恒可逆。上述命题中,正确的个数为( )(A)1。(B) 2。(C) 3。(D)4。5 设 A 为 n 阶可逆矩阵,且 n2,则(A 1 )*=( )(A)AA 1 。(B) AA。(C) A1 A 1 。(D)A 1 A。6 设 。P 1=,则必有( )(A)AP 1P2=B。(B) AP2P1=B。(C) P1P2A=B。(D)P

3、 2P1A=B。7 设 n 阶矩阵 A,B 等价,则下列说法中不一定成立的是 ( )(A)若A0,则B0。(B)如果 A 可逆,则存在可逆矩阵 P,使得 PB=E。(C)如果 A 与 E 合同,则B0。(D)存在可逆矩阵 P 与 Q,使得 PAQ=B。8 设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,若 AB=E,则( )(A)r(A)=m,r(B)=m。(B) r(A)=m,r(B)=n 。(C) r(A)=n,r(B)=m 。(D)r(A)=n,r(B)=n 。二、填空题9 设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T= ,则T=_。10 设 =(1, 2,3) T,=(1, ,0

4、) T,A= T,则 A3=_。11 设方阵 A 满足 A2 一 A 一 2E=O,并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵,则(A+2E)1 =_。12 设 A、B 均为三阶矩阵,E 是三阶单位矩阵,已知 AB=2A+3B,A=,则(B 一 2E)1 =_。13 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ,则 A=_。14 已知 A= ,矩阵 X 满足 A*X=A1 +2X,其中 A*是 A 的伴随矩阵,则 X=_。15 设三阶方阵 A,B 满足 A1 BA=6A+BA,且 A= ,则B=_。16 设矩阵 A= ,则 A3 的秩为_。17 设 A 是 43 矩阵,且 A 的秩 r(A)=2,而 B= ,则

5、 r(AB)=_。18 设 A= ,B 是三阶非零矩阵,且 AB=O,则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 A= ,求 An。20 已知 PA=BP,其中 ,求 A2008。21 已知 A= ,B=PAP 1 ,求 B2016+A4。21 已知 A,B 是反对称矩阵,证明:22 A2 是对称矩阵;23 AB 一 BA 是反对称矩阵。23 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*,证明:24 若A=0,则A *=0 ;25 A *= A n1 。26 设 A 为 n 阶可逆矩阵,A *为 A 的伴随矩阵,证明:(A *)T=(AT)*。27 已知矩阵 A 的伴随矩

6、阵 A*=diag(1,1,1,8),且 ABA1 =BA1 +3E,求 B。28 设 A= ,问 k 为何值,可使: (I)r(A)=1;()r(A)=2;()r(A)=3。考研数学二(矩阵)模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为AB=AB= B A= BA,所以 C 正确。 取 B=一 A,则 A+B=O,而A+B不一定为零,故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知,B 不正确。 因(A+B)(A 1 +B1 )E,故 D 也不正确。 所以应选 C。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 根

7、据伴随矩阵的定义可知 (AB) *=AB(AB)1 =A BB 1 A1 =B*A*, 故选 D。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 已知(EA)(E+A+A 2)=EA3=E,(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E。故EA,E+A 均可逆。故应选 C。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B,有(A E)B=A。若 A 可逆,则(A E)B=AE B = A0,所以B 0 ,即矩阵 B 可逆,从而命题正确。同命题类似,由 B 可逆可得出 A 可逆,从而 AB 可逆,那么 A+B=AB 也可逆,故命题正确。因为 AB=A+B,若 A+B 可逆,则有

8、 AB 可逆,即命题正确。对于命题,用分组因式分解,即AB 一 A 一 B+E=E,则有(AE)(B 一 E)=E,所以得 AE 恒可逆,命题正确。所以应选 D。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 根据伴随矩阵的定义可知 (A 1 )*=A 1 (A 1 )1 =A 1 A, 故选 D。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵;对 Amn 作一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵,而经过观察 A、B 的关系可以看出,矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上,

9、再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的,这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1,因此选项 C 正确。【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 A【试题解析】 两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。 当 A 可逆时,r(A)=n,所以 r(B)=n,即 B 是可逆的,故 B1 B=E,选项 B 正确。 矩阵的合同是一种等价关系,若 A 与 E 合同,则 r(A)=r(E)=n,由选项 B 可知 C 项正确。 矩阵 A,曰等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q,使得 PAQ=B,选项 D 正确。 事实上,当A0(即 A 可逆) 时,我们只能得到B0(即 B 可逆),故 A

10、项不一定成立。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E,所以 r(AB)=m。又 r(AB)=mminr(A),r(B),即r(A)m,r(B)m,而 r(A)m,r(B)m,所以 r(A)=m,r(B)=m。故选 A。【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1,a 2,a 3)T,=(b 1,b 2,b 3)T,则 T=,而 T=(a1,a 2,a 3) =a1b1+a2b2+a3b3,可以看出 T就是矩阵 T 的主对角线元素的和,所以 T=1+6+(一 2)=5。【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 A= T= =2,

11、且矩阵的乘法满足结合律,所以 A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=。【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 (A 一 3E)【试题解析】 由 A2 一 A 一 2E=O,可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E,于是有(A+2E)1 (A+2E)(A 一 3E)=一 4(A+2E)1 ,因此(A+2E) 1 = (A 一 3E)。【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B,通过移、添加项构造出 B 一 2E,于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=6E,则有(A 一 3E)(B 一 2E)=6E。从而(B 一 2E)1 =。【知识模块】

12、 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由 AA*=AE 可得 A=A(A *)1 ,对等式两端取行列式并结合已知条件,可得A *=一 8=A 3,因此A= 一 2,又(A *)1 =。所以 A=A (A *)1 =。【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A,并把等式 AA*=AE 代入已知矩阵方程,得AX=E+2AX,移项可得(AE 一 2A)X=E,因此 X=(AE 一 2A)1 。已知A=4,所以 X=(4E 一 2A)1 = (2EA) 1= 。【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 将 A1 BA=6A+BA 变形可得(A 1 一 E)BA=6A,

13、即 B=6(A1 一 E)1 。又因为 A1 = ,所以 B=。【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 A3= ,故 r(A3)=1。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 2【试题解析】 因为B= =100,所以矩阵 B 可逆,因此 r(AB)=r(A)=2。【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=O,则有 r(A)+r(B)3,又已知矩阵 BO,因此 r(B)1,那么 r(A)3,则行列式 A=0 。而A= =一2(5A 一 4),所以 a= 。【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】

14、把矩阵 A 作如下拆分:An=(E+B)n=Cn0(E)nB0+Cn1(E)n1 B+Cn2(E)n2 B2【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 P =6,则矩阵 P 可逆。由 PA=BP 可得 A=P1 BP,于是A2008=P1 B2008P。B 2008= =E,所以 A2008=P1 P=E。【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 计算可得 A4=E,则 B2016=PA2016P1 =P(A4)504P1 =E,于是B2016+A4=2E。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 (A 2)T=ATAT=(一 A)(一 A)=A2,所以 A2 是对称矩阵。【知识模块】 矩

15、阵23 【正确答案】 (ABBA) T=BTATATBT=BAAB=一(AB BA),所以 ABBA是反对称矩阵。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (反证法)假设A *0,则有 A*(A*)1 =E。又因为AA*=AE,且A=0,故 A=AE=AA *(A*)1 =AE(A *)1 =O, 所以A*=O。这与A *0 矛盾,故当 A=0 时,有A *=0。【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由于 AA*=AE ,两端同时取行列式得 AA *=A n。 当 A0 时,A *= A n1 ;当A=0 时,A *=0。 综上,有A *= A n1 成立。【知识模块】 矩阵26

16、 【正确答案】 因为 A 可逆,所以A=A T,且 AA1 =E。 在 AA1 =E 两边同时取转置可得(A 1 )TAT=E,即(A T)1 =(A1 )T,所以 (A*)T=(AA 1 )T= A(A 1 )T=A T(A T)1 =(AT)*。【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 在 A*= AA 1 两端取行列式可得A *= A 4A 1 =A 3,因为 A*=diag(1,1,1,8),所以A *=8,即A=2。由 ABA1 =BA1 +3E 移项并提取公因式得,(AE)BA 1 =3E,右乘A 得(AE)B=3A ,左乘 A1 得(E 一 A1 )B=3E。由已求结果 A=2,知 A1 =,EA 1 =diag(1,1,1,1) 一,得(EA 1 )1 =diag(2,2,2, ),因此 B=3(EA1 )1 =diag(6,6,6,一 1)。【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 对 A 作初等变换,即 A=。()当 k=1 时,r(A)=1;()当 k=一 2 时,r(A)=2;()当 k1 且 k一 2 时,r(A)=3。【知识模块】 矩阵

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