1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶方阵，且 A+E 与 AE 均可逆，则下列等式中不成立的是( )（A）(A+E) 2(AE)=(AE)(A+E)2。（B） (A+E) 1(AE)=(AE)(A+E)1 。（C） (A+E)T(AE)=(AE)(A+E)T。（D）(A+E)(AE) *=(AE)*(A+E)。2 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（A）A+B 是对称矩阵。（B） AB 是对称矩阵。（C） A*+B*是对称矩阵。（D）A 一 2B 是对称矩阵。3 设 n 阶方阵 A、
2、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（A）ACB=E。（B） CBA=E。（C） BAC=E。（D）BCA=E。4 设 A=E 一 2T，其中 =(x1，x 2，x n)T，且有 T=1。则 A 是对称矩阵； A2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。5 设 A 是三阶矩阵，其中 a110，A ij=aij(i=1，2，3，j=1 ，2，3)，则2A T=( )（A）0。（B） 2。（C） 4。（D）8。6 设 A= ，那么(P 1 )2010A(Q2011)1 =( )
3、7 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1。（B） rr 1。（C） r=r1。（D）r 与 r1 的关系依 C 而定。8 设 A= ，B 是 42 的非零矩阵，且 AB=O，则( )（A）a=1 时， B 的秩必为 2。（B） a=1 时，B 的秩必为 1。（C） a1 时，B 的秩必为 1。（D）a1 时，B 的秩必为 2。二、填空题9 设 为三维列向量，且 T= ，则 T=_。10 已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= ，B= ，则C3=_。11 设 A= ，且 A，B，X 满足(E B1 A)TBT
4、X=E，则 X1 =_。12 设 A= ，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)1 =_。13 已知三阶矩阵 A 的行列式A=一 3，A *为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵。如果 kA 的逆矩阵为 A*一 ATA 1 ，则 k=_。14 已知 1=(1，0，0) T， 2=(1，2，一 1)T， 3=(一 1，1，0) T，且 A1=(2，1)T， A2=(一 1，1) T，A 3=(3，一 4)T，则 A=_。15 已知 A= ，且 A2 一 AB=E，其中 E 是三阶单位矩阵，则B=_。16 设 A= ，r(A)=2，则 a=_。17 已知 ，则秩 r(AB+2A)=_。18
5、 已知 A= ，B 是三阶非零矩阵，且 BAT=O，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知 A= ，求 An。20 已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 ，求 C3。21 已知 AB=A 一 B，证明：A，B 满足乘法交换律。21 已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax一 2A2x。22 记 p=(x，Ax，A 2x)。求三阶矩阵 B，使 A=PBP1 ；23 计算行列式A+E。24 设 A 为 n 阶方阵，且 n2。证明：A *=(一 A)*。24 已知 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为
6、 A 中元素 aij 的代数余子式，证明：25 aij AT=E，且A=1；26 aij=一 Aij ATA=E，且 A=一 1。27 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，其中 A= ，求矩阵 B。28 设 ， 为三维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。考研数学二（矩阵）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 A 与 E 可交换可得，A+E 与 AE 可交换，进而(A+E) 2 与 AE也可交换，故选项 A 正确。显然，(AE)(A+E)=(A+E)(AE
7、)。若在等式两边同时左、右乘(A+E) 1 ，可得(A+E) 1 (AE)=(AE)(A+E)1 ；若先在等式两边同时左、右乘(AE) 1 ，可得(A+E)(AE) 1 =(AE)1 (A+E)，再在所得的等式两边同时乘以AE，即得(A+E)(AE) *=(AE)*(A+E)。故选项 B，D 正确。事实上，只有当 ATA=AAT 时，(A+E) T(AE)=(AE)(A+E)T 才成立。而 ATA=AAT 不一定成立。例如：取 ，可见 ATAAAT。所以选 C。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则 (A+B) T=AT+BT=A+B，(kB) T=kBT=kB，
8、所以有 (A一 2B)T=AT 一 (2BT)=A 一 2B， 从而选项 A，D 是正确的。 首先来证明(A *)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A *)T 在位置(i，j)的元素等于 A*在(j，i)位置的元素，且为元素 aij 的代数余子式 Aij 而矩阵(A T)*在(i，j)位置的元素等于 AT 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 aji=aij 则该元素仍为元素 aij 的代数余子式 Aij。从而(A *)T=(AT)*=A*，故 A*为对称矩阵，同理，B *也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项 C 是正确的。 因为(AB) T=B
9、TAT=BA，从而选项B 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是AB=BA。 所以应选 B。 【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ABC=E，可知 A(BC)=E 或 (AB)C=E，即 A 与 BC 以及 AB与 C 均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E，比较四个选项，应选 D。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E 一 2T)T=ET 一(2 T)T=E 一 2T=A，成立。 A 2=(E 一2T)(E 一 2T)=E 一 4T+4TT=E 一 4T+4(T)T=E，成立。
10、 由、，得 A2=AAT=E，故 A 是正交矩阵，成立。 由 知正交矩阵是可逆矩阵，且 A1 =AT， 成立。 故应选 D。 【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 2A T=2 3A T=8A，且由已知 A=(A*)T，故 A*=AT。又由AA*=AAT= AE，两边取行列式，得 AAT= A 2=A E=A 3，即A 2(A一 1)=0，又 a110，则A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1220，故 A=1，从而2A T=8，所以应选 D。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q 均为初等矩阵，因为 P1 =P，且 P 左乘
11、 A 相当于互换矩阵 A的第一、三两行，所以 P2010A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而(P 1 )2010A=P2010A=A。又(Q 2011)1 =(Q1 )2011，且 Q1 = ，而 Q1 右乘 A 相当于把矩阵 A 的第二列上各元素加到第一列相应元素上去，所以 A(Q1 )2011 表示把矩阵 A 第二列的各元素 2011 倍加到第一列相应元素上去，所以应选 B。【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)。
12、所以应选 C。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则=4(a 一 1)20，即 r(A)=3。由于 AB=O，A 是34 矩阵，所以 r(A)+r(B)4。当 a=1 时，r(A)=1，1r(B)3。而 B 是 42 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2，因此选项 A、B 均不正确。当 a1 时，r(A)=3，必有 r(B)=1，选项 D 不正确。所以应选 C。【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 T 等于矩阵 T 的对角线元素之和，即 T=1+43=2。【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试
13、题解析】 由 2CA 一 2AB=CB，得 2CAC=2ABB，因此有 C(2AE)=(2AE)B。因为 2AE= 可逆，所以C=(2AE)B(2AE)1 ，于是 C3=(2AE)B2(2AE)1【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 由(EB 1 A)TBTX=E，得 B(EB1 A)TX=E，即(BA) TX=E，因此 X1 =(BA)T=【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA 1 可得(A *)1 = 。【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由A=一 3 可知 ，A*=AA 1 =一 3A1 ，即 kA 的逆矩阵为 A*一 。而(kA
14、)1 A1 ，所以 k= 。【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)= ，那么【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 A=10，在等式 A2 一 AB=E 两边同时左乘 A1 得 AB=A1 ，则【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 0【试题解析】 对 A 作初等行变换，则有当 a=0 时，r(A)=2。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB+2A=A(B+2E)，且 B+2E= ，是可逆矩阵，所以 r(AB+2A)=r(A)。对 A 作初等行变换，则 A=，因此可得 r(AB+2
15、A)=2。【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=O 可知，r(B)+r(A T)3，即 r(A)+r(B)3。又因为 BO，因此 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此A=3(一 2a 一 3)=0，于是可得 a= 。【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 将矩阵 A 分块，即。将 B 改写成B=3E+P，于是 Bn=(3E+P)n=3nE+Cn13n1 P+Cn23n2 P2，其中，P i=O(i=3，4， ，n)。将 C 改写成 C=，则 C2=6C，C n=6n1 C，所以 An=。【知识模块】 矩阵20
16、 【正确答案】 由 2CA 一 2AB=CB 得 2CAC=2ABB，且 C(2AE)=(2AE)B。因为 2AE= ，且2AE=1，所以 2AE 可逆，于是C3=(2AE)B3(2AE)1 =【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即(E+A)(EB)=E，这说明E+A 与 EB 互为逆矩阵，所以 (EB)(E+A)=E，将括号展开得 BA=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 令等式 A=PBP1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即A(x，Ax ，A 2x)=(Ax，A 2
17、x，A 3x)=(Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x)=(x，Ax，A 2x)，所以 B= 。【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由(I)知 AB，那么 A+EB+E，从而A+E=B+E=一 4。【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 设 A=(aij)，A中元素 aij 的代数余子式为 Aij，则A中一aij 的代数余子式 Bij=(一 1)n1 Aij。于是，(一 A)*=(一 1)n1 A*。所以 (一 A)*= (一 1)n1 A*=( 一 1)n1 nA *=A *。 ( 一 A)*=A(一 A)1 =(一 1)nA(一 1)A1 =(一 1)n1 A*， 故有(一 A)* =(一
18、 1)n1 A*=( 一 1)(n1)nA *= A *。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=A*A=AE。由于 A*为 n 阶非零实矩阵(a ij 不全为零)，所以 tr(AtA)= aij20，而 tr(ATA)=tr(A E)=nA，故A0。在 ATA=AE 两边取行列式，得A n2 =1，从而A=1。反之，若 ATA=E 且A=1 ，则 A*A=AE=A TA，于是 AT=A*，即 aij=Aij。【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 当 aij=A ij 时，有 AT=一 A*，则 ATA=一 A*A=一AE，此
19、时nA=tr( 一 ATA)= aij20，即A 0。在 ATA=一AE 两边取行列式，得A= 一 1。反之，若 ATA=E 且A= 一 1，则 A*A=AE= 一 E=一ATA=(一 AT)A，于是 AT=一 A*，即 aij=A ij。【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 A=一 2，利用恒等式 AA*=AE，在等式 A*BA=2BA 一8E 两边同时左、右分别乘 A、A 1 得AB=2AB 一 8E，移项合并得(A+E)B=4E，则 B=4(A+E)1 = 。【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 方法一： r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)r()+r()2。 方法二：因为 A=T+T，A 为 33 矩阵，所以 r(A)3。 因为 ， 为三维列向量，所以存在三维列向量 0，使得 T=0， T=0， 于是 A=T+T=0， 所以 Ax=0 有非零解，从而 r(A)2。【知识模块】 矩阵
