1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为2 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *3 设 A 为 3 阶
2、矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则（A）C=p -1AP（B） C=PAP-1（C） C=PTAP（D）C=PAP T4 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP= 若P=(a1，a 2，a 3)，Q=(a 1+a2，a 2，a 3)，则 QTAQ 为5 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1= ，则 A=（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-16 设 A 为 3 阶矩
3、阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P-1AP= 若 P=(a1，a 2，a 3)，Q=(a1+a2，a 2a3)，则 Q-1AQ=7 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆8 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有（A）ACB=E.（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E9 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（
4、A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -110 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+260（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+26011 已知 ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=0，则（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 212 设矩阵 B= ，已知矩阵 A 相似于曰，则秩(A-2E) 与秩(A-E)之和等于（A）2（B） 3（C） 4（D）5二、填空题13 设 A
5、 和 B 为可逆矩阵，X= 为分块矩阵，则 X-1=_。14 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则B-C 为 _.15 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_.16 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.17 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a T B=E+1/aaaT . 其中 A 的逆矩阵为 B，则a=_18 设 n(n3)阶矩阵 ，若矩阵 A 的秩为 n-1，则a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 为 n 维列向量，
6、b 为常数，记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵19 计算并化简 PQ；20 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 aTA-1ab21 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X22 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位矩阵，求 X22 已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵23 证明：矩阵 A-2E 可逆；24 若 B= ，求矩阵 A24 设 A=E-T，其中层为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的
7、转置 证明：25 A2=A 的充要条件是 T=1；26 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵考研数学二（矩阵）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 C【
8、知识模块】 矩阵12 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵二、填空题13 【正确答案】 【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 E【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 1【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 -1【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 1/(1-n)【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 丨 Q 丨=丨 A 丨(b-a TA-1a).Q 可逆的充分必要条件是 b-a TA-1a0，即 aTA-1ab【知识模块】 矩阵21 【正
9、确答案】 【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 2A-1B=B-4E 左乘 A 知 AB-2B-4A=0 从而 (A-2E)(B-4E)=8E 或 (A-2E)1/8(B-4E)=E 故 A-2E 可逆，且(A-2E) -1=1/8(B-4E)【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由(1)知 A=2E+8(B-4E)-1【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT =E-T+(T)T-T=A+(T)T-T， 那么 A2=A(T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，故 A2=AT-1=0即 T=1【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 反证法当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A -1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 矩阵
