1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 = ，则 AB 为( )（A）0（B） -E（C） E（D）E+ T2 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 A-B 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆3 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A-1+B1 为对称矩阵（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵4
2、设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=O（B） ABO 的充分必要条件是 A0 且 B0（C） AB=O 且 r(A)=n，则 B=O（D）若 ABO，则A0 或B05 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）A=B（B） AB （C）若 A=0 则B=0（D）若A0 则B06 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定二、填空题7 设 A 为 n 阶可逆矩
3、阵(n2)，则(A *)*-1=_(用 A*表示)8 设 =(1，-1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 A*=_9 A= ，且 n2，则 An-2An-1=_10 设 A= ，则 (A+3E)-1(A2-9E)=_11 A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是_12 设 A 是三阶矩阵，且A=4，则 =_13 设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 =_14 设 A 为四阶矩阵，A *=8，则 =_15 设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(-2A) *=_16 设 A= ，则 A-1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A= 求17 -2B；18 AB-
4、BA19 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=O20 设 AX=A+2X，其中 A= ，求 X21 设 A= ，且 AX+AE=A *+X，求 X22 设四阶矩阵 B 满足 ，求矩阵 B23 设 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，且 A= ，求 B24 设 B= ，求 B-125 设 A= (ai0，i=1，2，n)，求 A-1考研数学二（矩阵）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 T= ，得 AB=(E-T)(E+2T)=E，选(C) 【知识模块】 矩
5、阵2 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB= A B，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得 A-1+B-1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= O，显然 AB=O，故(A) 、(B)都不对，取 A= O，但A =0且B =0 ，故 (D)不对；由 AB=O 得 r(A)+r(B)n
6、，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=O，所以选 (C)【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P 2，Q 1，Q t，使得 B=PsP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q 1，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0 ，选(C)【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 矩阵二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA -1 得(A *)*=A *(A *)-
7、1=A .(A A -1)-1=A n-2A，故 E(A*)-1=【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 【试题解析】 T=3，A n=T.T=3T=3A，则 An=3n-1A=3n-1【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n-1A，A n-1=2n-2A，所以 An-2An-1=O【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 (A+3E) -1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E=【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2 的充分必要条件是
8、AB=BA【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 2【试题解析】 =2A -1=2 3A -1=2【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA -1=4A-1 得【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *=8，所以 A*=A 3=8，于是A=2又 AA*=AE=2E，所以 A*=2A-1，故 =4A -1-6A-1= (-2)A -1=(-2) 4A -1=16 =8【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 576【试题解析】 因为(-2A) *=(-2)2A*=4A*，所以(-2A)*= 4A*=4 3A 2=649=576【知识模块
9、】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 -2B=(-2) 3B=-8 ；【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 AB=【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=O 或AB=-BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=-BA 两边右乘 A 得ABA=-BA，则 AB=BA，于是 AB=O【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A，其中 A-2E=
10、 因为A-2E=-10，所以 X=(A-2E)-1A，【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 由 AX+AE=A *+X 得 (A-E)X=A *-A E=A *-AA*=(E-A)A*， 因为E-A =-30，所以 E-A 可逆，于是 X=-A*， 由A=6 得 X=-6A-1，【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 A=4，【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 A*BA=2BA-8E 得 AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A ，整理得(A+E)B=4E ，所以 B=4(A+E)-1=【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (B：E)【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 令 B=【知识模块】 矩阵
